高中数学必修2知识点总结：第四章-圆与方程.doc

高中数学必修2知识点总结第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程2、点与圆的关系的判断方法：（1），点在圆外 （2）=，点在圆上（3）0时，方程表示以为圆心、为半径的圆此时方程就叫做圆的一般方程(2)当D2E24F=0时，方程表示一个点(3)当D2E24F0）圆的一般方程也含有三个待定的系数D，E，F，因此必须具备三个独立条件，才能确定一个圆3、圆的参数方程（1）以（a，b）为圆心，r为半径的圆的参数方程为，特别地，以原点为圆心的圆的参数方程为.（2）的几何意义：圆上的点与圆心的连线与过圆心和x轴平行的直线所成的角.4、用待定系数法求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意选择方程的形式：标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程二、重难点知识归纳：1、理解圆的定义，以及圆的标准方程与一般方程的推导2、注意圆的一般方程成立的条件3、利用待定系数法求圆的方程三、典型例题剖析例1、(1)已知圆心在直线5x3y=8上，又圆与坐标轴相切，求此圆的方程；(2)圆心在y=2x上且与直线y=1x相切于(2，1)，求圆的方程分析：(1)圆心在5x3y=8上，又与两坐标轴相切，则圆心又在y=x或y=x上，这样就能求出圆心及半径；(2)圆心在y=2x上，与y=1x相切于(2，1)，知圆心在过(2，1)且垂直于y=1x的直线上；解：(1)设所求圆的方程为(xx0)2(yy0)2=r2，圆心在5x3y=8上，又与坐标轴相切，解得或圆心坐标为(4，4)或(1，1)，半径为r=|x0|=4或r=|x0|=1所求圆的方程为(x4)2(y4)2=16，或(x1)2(y1)2=1(2)设圆心为(a，2a)，由题意，圆与y=1x相切于点(2，1)，则解得a=1，所求圆心为(1，2)，半径r=所求圆的方程为(x1)2(y2)2=2例2、已知曲线C：x2y22x4ym=0 （1）当m为何值时，曲线C表示圆；（2）若曲线C与直线x2y4=0交于M、N两点，且OMON(O为坐标原点)，求m的值分析：要考虑圆的一般方程成立的前提条件解：（1）由D2E24F=4164m=204m0，得m0)，求动点M的轨迹分析：按直接法求出轨迹方程为说明轨迹类型，对k进行分类讨论解：设M(x，y)，由题意得，即|MA|2=k2|MO|2代入坐标得(x3)2y2=k2(x2y2)，化简得(k21)x2(k21)y26x9=0当k=1时，方程化为，轨迹是线段AO的垂直平分线当k0且k1时，方程化为，轨迹是以为圆心，为半径的圆例4、已知曲线C：x2y22kx(4k10)y10k20=0，其中k1(1)求证：曲线C都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；(2)证明：曲线C过定点；(3)若曲线C与x轴相切，求k的值(1)证明：原方程可化为(xk)2(y2k5)2=5(k1)2k1，5(k1)20故方程表示圆心在(k，2k5)、半径为|k1|的圆设圆心为(x，y)，有消去k，得2xy5=0这些圆的圆心都在直线2xy5=0上(2)证明：将原方程变形为k(2x4y10)(x2y210y20)=0上式关于参数k是恒等式解得曲线C过定点(1，3)(3)解：圆C与x轴相切，圆心到x轴的距离等于半径，即|2k5|=|k1|两边平方，得(2k5)2=5(k1)2例5、直线l经过点P(5，5)，且和圆C：x2y2=25相交，截得弦长为，求l的方程解析：设直线l的方程为y5=k(x5)，且与圆C交于两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，消去y得，解得k0，由斜率公式，得两边平方，整理得2k25k2=0解得k=或k=2符合题意故直线l的方程为x2y5=0或2xy5=0 判断直线l与圆C位置关系的两种方法：判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解如果有解，直线l与圆C有公共点有两组实数解时，直线l与圆相交；有一组实数解时，直线l与圆相切；无实数解时，直线l与圆C相离判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径长r的关系如果dr，直线l与圆C相离 圆与圆的位置关系设圆C1的半径为R，圆C2的半径是r，圆心距为d，则当dRr时，两圆相离；当d=Rr时，两圆外切；当|Rr|dRr时，两圆相交；当d=|Rr|时，两圆内切；当d|Rr|时，两圆内含 空间直角坐标系空间直角坐标系三要素：原点、坐标轴方向、单位长常用对称点坐标：点P（x，y，z）关于x轴对称：点P1（x，y，z）；点P（x，y，z）关于y轴对称：点P2（x，y，z）；点P（x，y，z）关于z轴对称：点P3（x，y，z）；点P（x，y，z）关于平面xOy对称：点P4（x，y，z）；点P（x，y，z）关于平面yOz对称：点P5（x，y，z）；点P（x，y，z）关于平面xOz对称：点P6（x，y，z）；点P（x，y，z）关于原点成中心对称：点P7（x，y，z）. 空间两点间的距离公式空间点、间的距离是典型例题剖析例1、(1)求圆心在C(2，1)，且截直线y=x1所得弦长为的圆的方程； (2)求圆x2y2=4上与直线4x3y12=0距离最小的点的坐标分析：(1)应用圆的标准方程，只需借助几何图形，用勾股定理求出r；(2)借助图形转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系，可求出过圆心与4x3y12=0垂直的直线方程解：(1)设圆的方程为(x2)2(y1)2=r2，由题设圆心到直线y=x1的距离又直线y=x1被圆截得弦长为，所求圆的方程为(x2)2(y1)2=4(2)过圆心(0,0)作直线4x3y12=0的垂线，垂线方程为直线与圆x2y2=4的靠近直线4x3y12=0的交点就是所要求的点解方程组解得点是与直线4x3y12=0距离最远的点，而点是与直线4x3y12=0距离最短的点故所求点的坐标为.例2、设P在x轴上，它到点的距离为到点的距离的两倍，求点P的坐标解析：因为点P在x轴上，设点P的坐标为(x,0,0)则，故点P的坐标为(1,0,0)或(1,0,0)例3、求与两平行直线x3y5=0和x3y3=0相切，圆心在2xy3=0上的圆的方程解析：设所求圆的方程是(xa)2(yb)2=r2由已知，两平行线之间的距离是所以，所求圆的半径长是由于圆心(a,b)到直线x3y5=0和x3y3=0的距离都是，于是，且即|a3b5|=1，且|a3b3|=1又圆心在2xy3=0上，于是有2ab3=0解方程组，得或当时，不满足|a3b3|=1，所以，所以，所求圆的方程为例4、求半径为4，与圆x2y24x2y4=0相切且和直线y=0相切的圆的方程、解析：依题意，所求圆与直线y=0相切且半径为4，则圆心的坐标为或，又已知圆的圆心坐标为，半径r=3，若两圆相切，则或(1)当圆心为时，有(a2)2(41)2=72，解得，或(a2)2(41)2=12，无解故所求圆的方程为或(2)当圆心为时，有(a2)2(41)2=72，解得，或(a2)2(41)2=12，无解故所求的圆的方程为或综合(1)(2)可知所求圆的方程为或或或例5、由一点A(3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆C：x2y24x4y7=0相切，求光线l所在直线的方程解析：因为点A(3,3)关于x轴的对称点为，设直线l1的斜率为k，则过点的直线l的方程为y3=k(x3)，将y=k(x3)3代入圆的方程，整理得(1k2)x22(3k25k2)x(9k230k8)=0，若直线l1与圆相切，则，即12k225k12=0，解之得，或所以，所求直线l的方程为y3=(x3)，或y3=(x3)，即3x4y3=0，或4x3y3=010