高中数学必修2知识点总结：第四章-圆与方程.doc

高中数学必修2知识点总结

第四章 圆与方程
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程：
圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点与圆的关系的判断方法：
（1）>，点在圆外 （2）=，点在圆上
（3）<，点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程：
2、圆的一般方程的特点：
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．　②没有xy这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当时，直线与圆相离；（2）当时，直线与圆相切；
（3）当时，直线与圆相交；
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；
（3）当时，圆与圆相交；
（4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含；
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
4.3.1空间直角坐标系
1、点M对应着唯一确定的有序实数组，、、分别是P、Q、R在、、轴上的坐标
2、有序实数组，对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点到点之间的距离公式

一、知识概述
1、圆的标准方程
　　圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2．
　　由于圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．
2、圆的一般方程
　　对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．
　　(1)当D2＋E2－4F>0时，方程表示以为圆心、为半径的圆．此时方程就叫做圆的一般方程．
　　(2)当D2＋E2－4F=0时，方程表示一个点．
　　(3)当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形．
　　即圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D2＋E2－4F>0）．
　　圆的一般方程也含有三个待定的系数D，E，F，因此必须具备三个独立条件，才能确定一个圆．
3、圆的参数方程
　　（1）以（a，b）为圆心，r为半径的圆的参数方程为，特别地，以原点为圆心的圆的参数方程为.
　　（2）θ的几何意义：圆上的点与圆心的连线与过圆心和x轴平行的直线所成的角.
4、用待定系数法求圆的方程的大致步骤是：
　　(1)根据题意选择方程的形式：标准方程或一般方程；
　　(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
　　(3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
二、重难点知识归纳：1、理解圆的定义，以及圆的标准方程与一般方程的推导．2、注意圆的一般方程成立的条件．3、利用待定系数法求圆的方程．
三、典型例题剖析
例1、(1)已知圆心在直线5x－3y=8上，又圆与坐标轴相切，求此圆的方程；
(2)圆心在y=－2x上且与直线y=1－x相切于(2，－1)，求圆的方程．
分析：(1)圆心在5x－3y=8上，又与两坐标轴相切，则圆心又在y=x或y=－x上，这样就能求出圆心及半径；
　　(2)圆心在y=－2x上，与y=1－x相切于(2，－1)，知圆心在过(2，－1)且垂直于y=1－x的直线上；
　　解：(1)设所求圆的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2=r2，
　　圆心在5x－3y=8上，又与坐标轴相切，
　　解得或
　　∴圆心坐标为(4，4)或(1，－1)，半径为r=|x0|=4或r=|x0|=1．
　　∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2=16，或(x－1)2＋(y＋1)2=1．
　　(2)设圆心为(a，－2a)，由题意，圆与y=1－x相切于点(2，－1)，则
　　．　解得a=1，所求圆心为(1，－2)，半径r=．
　　所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2=2．
例2、已知曲线C：x2＋y2－2x－4y＋m=0 （1）当m为何值时，曲线C表示圆；（2）若曲线C与直线x＋2y－4=0交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值．分析：要考虑圆的一般方程成立的前提条件．
　　解：（1）由D2＋E2－4F=4＋16－4m=20－4m>0，得m<5．
　　（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由OM⊥ON得x1x2＋y1y2=0．
联立方程组消去y得5x2－8x＋4m－16=0．
由韦达定理得x1＋x2=　①，x1x2=　②．又由x＋2y－4=0得y=(4－x)，
∴x1x2＋y1y2=x1x2＋(4－x1)·(4－x2)=x1x2－(x1＋x2)＋4=0．　将①、②代入得m=.
例3、已知动点M到定点A(3，0)与定点O(0，0)的距离之比为常数k(k>0)，求动点M的轨迹．分析：按直接法求出轨迹方程．为说明轨迹类型，对k进行分类讨论．
解：设M(x，y)，由题意得，即|MA|2=k2|MO|2．
代入坐标得(x－3)2＋y2=k2(x2＋y2)，化简得(k2－1)x2＋(k2－1)y2＋6x－9=0．①当k=1时，方程化为，轨迹是线段AO的垂直平分线．②当k>0且k1时，方程化为，轨迹是以为圆心，为半径的圆．
例4、已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20=0，其中k－1．
(1)求证：曲线C都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；
(2)证明：曲线C过定点；
(3)若曲线C与x轴相切，求k的值．
(1)证明：原方程可化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2=5(k＋1)2．①
　　∵k－1，∴5(k＋1)2>0．故方程表示圆心在(－k，－2k－5)、半径为|k＋1|的圆．
　　设圆心为(x，y)，有消去k，得2x－y－5=0．
　　∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5=0上．
　　(2)证明：将原方程变形为k(2x＋4y＋10)＋(x2＋y2＋10y＋20)=0．②
　　上式关于参数k是恒等式．
　　解得∴曲线C过定点(1，－3)．
(3)解：∵圆C与x轴相切，　∴圆心到x轴的距离等于半径，
即|－2k－5|=|k＋1|．两边平方，得(2k＋5)2=5(k＋1)2．．
例5、直线l经过点P(5，5)，且和圆C：x2＋y2=25相交，截得弦长为，求l的方程．
解析：设直线l的方程为y－5=k(x－5)，且与圆C交于两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，
消去y得，
　　，解得k>0．
　　，．　由斜率公式，得．

．两边平方，整理得2k2－5k＋2=0．
解得k=或k=2符合题意．故直线l的方程为x－2y＋5=0或2x－y－5=0．
² 判断直线l与圆C位置关系的两种方法：
　　①判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l与圆C有公共点．有两组实数解时，直线l与圆相交；有一组实数解时，直线l与圆相切；无实数解时，直线l与圆C相离．
　　②判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径长r的关系．如果dr，直线l与圆C相离．
² 圆与圆的位置关系
设圆C1的半径为R，圆C2的半径是r，圆心距为d，则
①当d>R＋r时，两圆相离；②当d=R＋r时，两圆外切；
③当|R－r|x，－y，z）；
点P（x，y，z）关于平面xOy对称：点P4（x，y，－z）；
点P（x，y，z）关于平面yOz对称：点P5（－x，y，z）；
点P（x，y，z）关于平面xOz对称：点P6（x，－y，z）；
点P（x，y，z）关于原点成中心对称：点P7（－x，－y，－z）.
² 空间两点间的距离公式
　　空间点、间的距离是．
典型例题剖析
例1、(1)求圆心在C(2，－1)，且截直线y=x－1所得弦长为的圆的方程；
　　 (2)求圆x2＋y2=4上与直线4x＋3y－12=0距离最小的点的坐标．
分析：(1)应用圆的标准方程，只需借助几何图形，用勾股定理求出r；
　　(2)借助图形转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系，可求出过圆心与4x＋3y－12=0垂直的直线方程．
解：(1)设圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2=r2，由题设圆心到直线y=x－1的距离．又直线y=x－1被圆截得弦长为，　．　所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2=4．
　(2)过圆心(0,0)作直线4x＋3y－12=0的垂线，垂线方程为．①
　　直线①与圆x2＋y2=4的靠近直线4x＋3y－12=0的交点就是所要求的点．
　　解方程组解得．
　　点是与直线4x＋3y－12=0距离最远的点，而点是与直线4x＋3y－12=0距离最短的点．　故所求点的坐标为.
例2、设P在x轴上它到点的距离为到点的距离的两倍，求点P的坐标．解析：因为点P在x轴上，设点P的坐标为(x,0,0)
则，

故点P的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．
例3、求与两平行直线x＋3y－5=0和x＋3y－3=0相切，圆心在2x＋y＋3=0上的圆的方程．
解析：设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2=r2．　由已知，两平行线之间的距离是．　所以，所求圆的半径长是．
由于圆心(a,b)到直线x＋3y－5=0和x＋3y－3=0的距离都是，于是
，且．即|a＋3b－5|=1，且|a＋3b－3|=1．
又圆心在2x＋y＋3=0上，于是有2a＋b＋3=0．
解方程组，得或
当时不满足|a＋3b－3|=1，所以，
所以，所求圆的方程为．
例4、求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4=0相切且和直线y=0相切的圆的方程．、解析：依题意，所求圆与直线y=0相切且半径为4，则圆心的坐标为或，又已知圆的圆心坐标为，半径r=3，若两圆相切，则或．
(1)当圆心为时，有(a－2)2＋(4－1)2=72，解得，或(a－2)2＋(4－1)2=12，无解．故所求圆的方程为或．　
(2)当圆心为时，有(a－2)2＋(－4－1)2=72，解得，或(a－2)2＋(－4－1)2=12，无解．故所求的圆的方程为或．
综合(1)(2)可知所求圆的方程为或或或
例5、由一点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7=0相切，求光线l所在直线的方程．
　解析：因为点A(－3,3)关于x轴的对称点为，设直线l1的斜率为k，则过点的直线l的方程为y＋3=－k(x＋3)，将y=－k(x＋3)－3代入圆的方程，整理得
(1＋k2)x2＋2(3k2＋5k－2)x＋(9k2＋30k＋8)=0，
　若直线l1与圆相切，则，即12k2＋25k＋12=0，
解之得，或．
所以，所求直线l的方程为y－3=(x＋3)，或y－3=(x＋3)，
即3x＋4y－3=0，或4x＋3y＋3=0

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