1、
第4讲 角平分线、垂直平分线
本讲知识归纳
1．(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
(2)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
2．三角形三条边的垂直平分线交于一点（称为三角形的外心），这点到三角形三顶点的距离相等．
基础回顾
例1 已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，P是AD
2、上任一点．求证：PE=PF．
例2 如图，在平面直角坐标系中，AF、BE为角平分线，MN⊥AF交y轴于N点．
(1)求∠AME；
(2)求证：AM=MN；
(3)连FG，问FG与AB的位置关系并证明，
练习
1．如图，AD为△ABC,的高，∠B=2∠C．求证：CD=AB+BD.
2．如图，A（-1，0），B（0，），∠AB0=30°，∠OAB的角平分线与OB的垂直平分线相交于P点．
(1)求P点的坐标；
(2)作∠ABO的平分线交AP于M，判断△PBM的形状．
方法运用
例3 如图，∠AOB= 3
3、0°，点P是∠AOB内一点，P0=8，在∠AOB的两边上分别有点R、Q(均不同于O).
(1)求△PQR周长的最小值；
(2)当△PQR周长取最小值时，求∠QPR的值．
分析：由对称变换作出符合要求的点Q与R，根据对称的性质，结合已知条件求出∠PQR的周长与∠QPR的值．
例4 如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA-PB最大，并说明理由.
练习
3．已知，如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB= 90°．D是BC上一点，CD=2，BD=BE，∠DBE=90°，连接CE，交AB于M，且CE=6
4、．在AB上找一点P，使△PCD周长最小，并求出这个最小值．
4．如图，长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P点出发，分别撞击球桌的边BC、CD、DA各一次后，又回到出发点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等(如图中∠=∠).已知AB=3，BC=4，求此球所走路线的总长度.
问题探究
例5 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（-1，0），点C的坐标是(1，0)，点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，过D作DM⊥AC于M．
(1)求证：∠ABD=∠ACD；
(2)若点E在BA延长线上，求证：AD平分∠
5、CAE；
(3)当A点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由．
例6 已知等腰△ABC和等腰△ADE的顶点公共，B、A、E在同一条直线上，∠BAC=∠DAE，PB=PD,PC=PE．
(1)如图1，若∠BAC=90°，则∠BPC+∠DPE= ；
(2)如图2，若∠BAC=，则∠BPC+∠DPE= ；
(3)在图1的基础上将等腰Rt△ABC绕点A旋转一个角度，得到图3，则∠BPC+∠DPE= _ ；并证明你的结论.
图1
6、 图2 图3
练习
5．如图，P为△ABC的BC边垂直平分线上的一点，且∠PBC=∠A,BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、E．求证：BE=CD.
6．已知：△ACB为等腰直角三角形，点P在BC上，以AP为边长作正方形APEF.
(1)如图①，当点P在BC上时，求∠EBP；
(2)如图②，当点P在BC的延长线上时，求∠EBP.
图① 图②
7．如图，A（-4，O），B(O，4)，AE⊥BE，∠OAE=22.5°．
(1)
7、求证：BD=2AE；
(2)若∠AP0=45°，问PA与PB有何位置关系．
图① 图②
8．如图，△ACO为等腰直角三角形．
(1)如图①，C(-1，3)，求A点坐标；
(2)如图②，过A点作AE⊥AC，若∠EFO=∠CFO，求∠EOF的大小；
(3)如图③，当△ACO绕O点旋转时，过C点作CN⊥y轴，M为AO的中点，问∠MNO大小是否发生变化？
图① 图② 图③
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