(试题附答案)高中数学选修一总结(重点).pdf

名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一总结（精选试题附答案）高中数学选修一总结(重点重点)超详细超详细 单选题 1、已知直线斜率为k，且1 3，那么倾斜角的取值范围是（）A0,3 2,34)B0,3 34,)C0,6 2,34)D0,6 34,)答案：B 分析：根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角的取值范围.解：直线l的斜率为k，且1 3，1 tan 3，0,).0,3 34,).故选：B.2、已知抛物线:2=8的焦点为，过点的直线交于，两点，则的中点到的准线的距离的最小值为（）A2B4C5D6 答案：B 分析：设出直线的方程=+2，联立后利用弦长公式表达出，求出长度的最小值，再利用抛物线的定义来进行转化，得到的中点到的准线的距离为的一半，进而求出点到的准线的距离的最小值.如图，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，则|=|+|2=|+|2=|2 设直线的方程为=+2，(1，1)，(2，2).联立=+22=8，整理得2 8 16=0，则1+2=8，12=16.|=1+2(1+2)2 412=8(1+2)8|4.故选：B.3、已知1，2是椭圆：29+24=1的两个焦点，点在上，则|1|2|的最大值为（）A13B12C9D6 答案：C 分析：本题通过利用椭圆定义得到|1|+|2|=2=6，借助基本不等式|1|2|(|1|+|2|2)2即可得到答案 由题，2=9,2=4，则|1|+|2|=2=6，所以|1|2|(|1|+|2|2)2=9（当且仅当|1|=|2|=3时，等号成立）故选：C 小提示：4、椭圆2100+264=1的焦点为1，2，椭圆上的点满足12=60，则点到轴的距离为（）A6433B9133C3239D643 答案：C 分析：利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得|1|2|，一方面12=12|1|2|sin60，另一方面设点到轴的距离为，则12=12|12|，所以12|1|2|sin60=12|12|，即可求解 易得=2 2=6设|1|=1，|2|=2，则1+2=20 在 12中，由余弦定理得(2)2=12+22 212cos60，即144=12+22 12=(1+2)2 312=400 312，则12=2563，所以12=1212sin60=12256332=6433 设点到轴的距离为，则12=12|12|=6，故6=6433，解得=3239 故选：C 5、已知从点(5,3)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：(1)2+(1)2=5的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A2 3+1=0B2 3 1=0 C3 2+1=0D3 2 1=0 答案：A 分析：根据反射性质，结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可.设点的坐标为(5,3)，圆(1)2+(1)2=5的圆心坐标为(1,1)，设(,0)是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆(1)2+(1)2=5的圆周，所以反射光线经过点(1,1)，由反射的性质可知：+=0 305+101=0 =12，于是=101(12)=23，所以反射光线所在的直线方程为：=23(+12)2 3+1=0，故选：A 6、已知点P是抛物线y22x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点(72，4)，则|PA|+|PM|的最小值是（）A5B92C4D32 答案：B 分析：先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM交准线于H点推断出|PA|PH|，进而表示出|PM|，问题转化为求|PF|+|PA|的最小值，由三角形两边长大于第三边得到|PF|+|PA|的最小值，则|PA|+|PM|的最小值可得 依题意可知焦点(12,0)，准线 x=12，延长PM交准线于H点 则|PF|PH|，|PM|PH|12=|PF|12|PM|+|PA|PF|+|PA|12，要使|PM|+|PA|当且仅当|PF|+|PA|最小 由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|FA|，当与线段与抛物线的交点0重合时取到最小值，由(72,4),可得|=(7212)2+42=5 则所求为(|+|)min=5 12=92 故选：B 7、已知椭圆1:212+212=1（1 1 0）与双曲线2:222222=1（2 0，2 0）有公共焦点1，2，且两条曲线在第一象限的交点为P若 12是以1为底边的等腰三角形，曲线1，2的离心率分别为1和2，则1112=（）A1B2C3D4 答案：B 分析：设曲线1，2的焦距为 2c，则可得|2|=|12|=2，然后结合椭圆和双曲线的定义可求出1,2,的关系，变形后可得结果.设曲线1，2的焦距为 2c 12是以1为底边的等腰三角形，则|2|=|12|=2 由点P在第一象限，知|1|=21|2|=22+|2|，即21 2=22+2，即1 2=2，即1112=2 故选：B 8、直线=1过抛物线:2=2(0)的焦点，且与交于、两点，则|=（）A6B8C2D4 答案：B 分析：联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可 因为抛物线:2=2(0)的焦点坐标为(2,0)，又直线=1过抛物线:2=2(0)的焦点F，所以=2，抛物线的方程为2=4，由=12=4，得2 6+1=0，所以+=6，所以|=+=6+2=8 故选：B 9、如果 0且 0且 0；令=0，得=0；所以直线+=0不经过第三象限.故选：C.10、在棱长为 1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设=,=,1=，则 (+)的值为（）A1B0C-1D-2 答案：B 分析：由正方体的性质可知,1 两两垂直，从而对 (+)化简可得答案 由题意可得 ,1,所以 ,，所以 =0,=0，所以 (+)=+=0，故选：B 填空题 11、已知椭圆C：22+22=1(0)的左、右焦点分别为1，2，点(1,1)，(1,1)在椭圆上，其中1 0，1 0，若|=2|2|，|11|33，则椭圆的离心率的取值范围为_ 答案：(22，3 1 分析：设1=，2=，由已知得到的范围，再由椭圆的定义得到n，m间的关系，代入、换元，求出e的范围.设1=，2=，由1 0，1 0，知 ，因为，在椭圆上，|=2|2|，所以四边形12为矩形，1=2；由|1|1|33，可得331，由椭圆的定义可得+=2，2+2=42 ，平方相减可得=2(22)，由得422(22)=2+2=+；令t=+，令=33，1)，所以=+1(2，433，即2 422(22)433，所以22 2233(22)，所以12 2233(12)，所以12 2 4 23，解得22 3 1.所以答案是：(22，3 1.12、过点(2,3)，且斜率为2的直线的斜截式方程为_ 答案：=2 1 分析：利用点斜式可求得直线方程，整理可得斜截式方程.直线的点斜式方程为：3=2(2)，整理可得其斜截式方程为=2 1.所以答案是：=2 1.13、已知椭圆的两个焦点分别为1,2，点为椭圆上一点，且tan12=13，tan21=3，则椭圆的离心率为 _ 答案：104 分析：由题意得到tan12(tan21)=1，即1 2，进而求得|1|=610,|2|=210，结合|1|+|2|=2，得到810=2，即可求得椭圆的离心率.因为tan12=13，tan21=3则tan12(tan21)=1，所以1 2,且cos12=310,sin12=110，所以|1|=|12|cos12=610,|2|=|12|sin12=210，又由|1|+|2|=2，即610+210=2，即810=2，所以=104.所以答案是：104.14、已知1，2分别是具有公共焦点1，2的椭圆和双曲线的离心率，点是两曲线的一个公共点，是12的中点，且=2，则1212+22=_ 答案：22 分析：连接1，2设1=，2=，在 12中，=2=1，得到1 2，设椭圆的长轴长为21，双曲线的实轴长为22，焦距为2，由2+2=42+=21 =22 求解.如图所示：连接1，2设1=，2=，在 12中，=2=1，1 2记椭圆的长轴长为21，双曲线的实轴长为22，焦距为2，则2+2=42+=21 =22，(+)2+()22+2=12+222=2，2=122+222=112+122=12+221222，1212+22=22 所以答案是：22 15、过圆:(1)2+2=1外一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.若PAB为等边三角形，则过D(2，1)的直线l被P点轨迹所截得的最短弦长为_.答案：22 分析：先根据APC30，可得P点轨迹方程为圆，再数形结合可知当l与CD垂直时，l被圆所截得的弦长最短，结合垂径定理计算即可 由题意知(1,0)，连接PC，因为PAB为等边三角形，所以APC30，所以|=1sin30=2，所以P点轨迹的方程为(1)2+2=4.因为(2 1)2+12=2 0)，双曲线经过(3,42)和(94，5)两点，则有9 32=18116 25=1，解可得：=19，=116，则双曲线的标准方程为：21629=1 17、如图，在棱长为 1 的正方体 1111中，E，F分别为1，BD的中点，点G在CD上，且=14 （1）求证：1；（2）求EF与 C1G 所成角的余弦值 答案：（1）证明见解析；（2）33 分析：（1）建立空间直角坐标系，直接利用向量法证明 1；（2）直接利用向量法求EF与CG所成角的余弦值（1）建立以D点为坐标原点，,1所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,12)，(12,12,0)，1(1,1,1)，(0,1,0)，则=(12,12,12)，1=(1,0,1)，所以 1=12(1)+0+(12)(1)=0，即 1，所以 1.（2）由（1）知，(0,34,0)，=(0,14,0)，则cos=|=0+12(14)+03214=33，因为EF与CG所成角的范围为0,2，所以其夹角余弦值为33.18、已知定圆:(+1)2+2=16，动圆过点(1,0)，且和圆相切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)若过点的直线交轨迹于,两点，与轴于点，且=,=，当直线的倾斜角变化时，探求+的值是否为定值？若是，求出+的值；否则，请说明理由.答案：(1)24+23=1；(2)是，83.分析：（1）利用椭圆的定义即求；（2）利用韦达定理及向量的共线定理可得，+=111+212=1+22121(1+2)+12，即得.（1）由题可知圆的圆心为(1,0)，半径1=4，设动圆的半径为2，依题意有2=|，由|=2，可知点在圆内，从而圆内切于圆，故|=1 2，即|+|=4 2=|，所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为 4 的椭圆，设其方程为22+22=1(0)，则=2,=1,=2 2=3，圆心的轨迹的方程为24+23=1；（2）直线与轴相交于，故斜率存在，又(1,0)，设直线方程为=(1)，则(0,)，设交椭圆(1,1),(2,2)，由=(1)24+23=1，消去得(3+42)2 82+42 12=0，1+2=823+42,12=42123+42，又=，(1,1+)=(1 1,1)，=111，同理=212，+=11 1+21 2=1+2 2121 (1+2)+12=823+422(42 12)3+421 823+42+42 123+42=83.当直线的倾斜角变化时，+的值为定值83.19、抛物线C的顶点为坐标原点O焦点在x轴上，直线l：=1交C于P，Q两点，且 已知点(2,0)，且 与l相切（1）求C，的方程；（2）设1,2,3是C上的三个点，直线12，13均与 相切判断直线23与 的位置关系，并说明理由 答案：（1）抛物线:2=方程为(2)2+2=1；（2）相切，理由见解析 分析：（1）根据已知抛物线与=1相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,坐标，由 ，即可求出；由圆与直线=1相切，求出半径，即可得出结论；（2）方法一：先考虑12斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若12,13,23斜率存在，由1,2,3三点在抛物线上，将直线12,12,23斜率分别用纵坐标表示，再由12,12与圆相切，得出2+3,2 3与1的关系，最后求出点到直线23的距离，即可得出结论.（1）依题意设抛物线:2=2(0),(1,0),(1,0)，,=1 02=1 2=0,2=1，所以抛物线的方程为2=，(2,0),与=1相切，所以半径为1，所以 的方程为(2)2+2=1；（2）方法一：设1(11),2(2,2),3(3,3)若12斜率不存在，则12方程为=1或=3，若12方程为=1，根据对称性不妨设1(1,1)，则过1与圆相切的另一条直线方程为=1，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3，不合题意；若12方程为=3，根据对称性不妨设1(3,3),2(3,3),则过1与圆相切的直线13为 3=33(3)，又13=1313=11+3=13+3=33,3=0，3=0,3(0,0)，此时直线13,23关于轴对称，所以直线23与圆相切；若直线12,13,23斜率均存在，则12=11+2,13=11+3,23=123，所以直线12方程为 1=11+2(1)，整理得 (1+2)+12=0，同理直线13的方程为 (1+3)+13=0，直线23的方程为 (2+3)+23=0，12与圆相切，|2+12|1+(1+2)2=1 整理得(12 1)22+212+3 12=0，13与圆相切，同理(12 1)32+213+3 12=0 所以2,3为方程(12 1)2+21+3 12=0的两根，2+3=21121,2 3=312121，到直线23的距离为：|2+23|1+(2+3)2=|2+3 1212 1|1+(2112 1)2=|12+1|(121)2+412=12+112+1=1，所以直线23与圆相切；综上若直线12,13与圆相切，则直线23与圆相切.方法二【最优解】：设1(1,1),12=1,3(3,3),32=3,2(2,2),22=2 当1=2时，同解法 1 当1 2时，直线12的方程为 1=2121(1)，即=1+2+121+2 由直线12与 相切得|2+121+2|(11+2)2+1=1，化简得212+(1 1)2 1+3=0，同理，由直线13与 相切得213+(1 1)3 1+3=0 因为方程21+(1 1)1+3=0同时经过点2,3，所以23的直线方程为21+(1 1)1+3=0，点M到直线23距离为|2(11)1+3|412+(11)2=|1+1|(1+1)2=1 所以直线23与 相切 综上所述，若直线12,13与 相切，则直线23与 相切【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用12,13的对称性，抽象出2+3,2 3与1关系，把2,3的关系转化为用1表示，法二是利用相切等条件得到23的直线方程为21+(1 1)1+3=0，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路