北京市各区高三数学上学期期中、期末考试分类解析(12)圆锥曲线.doc

十二、圆锥曲线
1. 设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐
近线垂直，那么双曲线的离心率是（ D ）
A． B. C. D.
2. （2011年东城区高三示范校高三综合练习(一)理5）双曲线的渐近线与圆相切，则等于（ A ）
A． B. C. D.
3.（2012年昌平区高三期末考试文8） 一圆形纸片的圆心为点,点是圆内异于点的一定点，点是圆周上一点.把纸片折叠使点与重合，然后展平纸片，折痕与交于点.当点运动时点的轨迹是（ B ）
A．圆 B.椭圆 C. 双曲线 D.抛物线
4. （2012年海淀区高三期末考试文9）双曲线的离心率为 .
答案：。
5.（2012年东城区高三期末考试理13）如图，已知椭圆的左顶

y
x
A
F
O
B
点为，左焦点为，上顶点为，若，则该椭圆的离心率是 .
答案：。

6.（2012年昌平区高三期末考试文12）已知双曲线的右焦点恰好是抛物线
的焦点，则 .
答案：3。
7.（2012年西城区高三期末考试理10）若双曲线的一个焦点是，则实
数______．
答案：.
8.（2012年西城区高三期末考试文10）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是______．
答案：.
9.（2012年海淀区高三期末考试理11）物线过点，则点到此抛物线的焦点的距离为 .
答案：
10. （顺义区2012届高三尖子生综合素质展示9）已知为双曲线C: 的
左、右焦点，点P在C上，若则= .
答案：17。
11.（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示文10）两条分别平行于轴和轴的直线与椭圆：交于、、、四点，则四边形面积的最大值为 。
答案：30。
12.（2011年东城区高三示范校高三综合练习(一)文3）已知椭圆的一个顶点为，离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．
解：（Ⅰ）设，依题意得 ，
解得. 所以椭圆的方程为. ………….6分
（Ⅱ）①当………….7分
②当与轴不垂直时，设直线的方程为，
由已知得 ………….… 8分
代入椭圆方程，整理得
于是 …….…………….…9分
故

当且仅当时等号成立，此时 ………12分
③当 …….………….………13分
综上：，
面积取最大值 …….….………14分
13.（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示文18）设椭圆：
的离心率为，点（，0），（0，），原点到直线的距离为．（Ⅰ）
求椭圆的方程；（Ⅱ）设点为（，0），点在椭圆上（与、均不重合），
点在直线上，若直线的方程为，且，试求直线的方程．
解：（Ⅰ）由得 …………2分
由点（，00，）知直线的方程为，
于是可得直线的方程为 …………4分
因此，得，，，
所以椭圆的方程为 …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知、的坐标依次为（2，0）、，
因为直线经过点，所以，得，
即得直线的方程为 …8分
因为，所以，即 …9分
设的坐标为，则
得，即直线的斜率为4 ……12分
又点的坐标为，因此直线的方程为 ……13分
14.（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示19）已知的顶点A、B在椭圆（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及的面积；（Ⅱ）当，且斜边AC的长最大时，求AB所在
直线的方程.
解：（Ⅰ）因为且AB通过原点（0，0），所以AB所在直线的方程为
由得A、B两点坐标分别是A（1，1），B（-1，-1）。

…2分
又的距离。
………5分
（Ⅱ）设AB所在直线的方程为
由
因为A，B两点在椭圆上，所以

即 …7分
设A，B两点坐标分别为，则

且 …8分

……9分
又的距离，
即

边最长。（显然） …12分
所以，AB所在直线的方程为 …13分
15.（2012年昌平区高三期末考试文19）已知椭圆的中心在原点，左焦点为，离心率为．设直线与椭圆有且只有一个公共点，记点在第一象限时直线与轴、轴的交点分别为，且向量.求：（I）椭圆的方程；（II）的最小值及此时直线的方程.
解：(Ⅰ)由题意可知，，所以，于是，由于焦点在轴上，故C椭圆的方程为 ………5分
（Ⅱ）设直线的方程为：，
消去得： …7分
直线与曲线有且只有一个公共点，
即① …… 9分
∵
② …11分
将①式代入②得：

当且仅当时，等号成立，故，此时直线方程为：
. ………14分
16.（2012年朝阳区高三期末考试文19）已知椭圆的离心率为，且过点，为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于、两点（点在两点之间），若与的面积相等，试求直线的方程.
解：（Ⅰ）因为，所以，. …………1分
设椭圆方程为，又点在椭圆上,所以，
解得， ……………3分
所以椭圆方程为. ……………4分
（Ⅱ）易知直线的斜率存在,
设的方程为， ………………5分
由消去整理，得
， …………6分
由题意知，
解得. ………………7分
设，，则， ①， .… ②.
因为与的面积相等，
所以，所以. ③ …………10分
由①③消去得. ④
将代入②得. ⑤
将④代入⑤，
整理化简得，解得，经检验成立. ……12分
所以直线的方程为. ……13分
17.（2012年海淀区高三期末考试文19）已知椭圆:的右焦点为，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程及左顶点的坐标；（Ⅱ）设过点的直线
交椭圆于两点，若的面积为，求直线的方程.
解：（Ⅰ）由题意可知：，，所以.
所以 .
所以 椭圆的标准方程为，左顶点的坐标是. ……4分
（Ⅱ）根据题意可设直线的方程为，.
由可得：.
，，.…7分
所以 的面积…9分
.…10分
因为的面积为， 所以.
令，则.
解得（舍），.
所以.
所以直线的方程为或.……13分
18.（2012年西城区高三期末考试理18）已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.
（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距是.依题意，得 . …1分
因为椭圆的离心率为，
所以，. ……3分
故椭圆的方程为 . ……4分
（Ⅱ）解：当轴时，显然. ……5分
当与轴不垂直时，可设直线的方程为.
由 消去整理得 .……7分
设，线段的中点为，
则 . ……8分
所以 ，.
线段的垂直平分线方程为.
在上述方程中令，得. ……10分
当时，；当时，.
所以，或. …12分
综上，的取值范围是. ……13分
19.（2012年海淀区高三期末考试理19）已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于，两点.（ⅰ）若直线垂直于轴，求的大小;（ⅱ）若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，且.
由题意可知：，. ………2分
所以.
所以，椭圆的标准方程为. ………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.设.
（ⅰ）当直线垂直于轴时，直线的方程为.
由 解得：或
即（不妨设点在轴上方）.…………5分
则直线的斜率，直线的斜率.
因为 ，
所以 .
所以 . …………6分
（ⅱ）当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为.
由消去得：.
因为 点在椭圆的内部，显然.
……………8分
因为 ，，，
所以

.
所以 .
所以 为直角三角形. ………………11分
假设存在直线使得为等腰三角形，则.
取的中点，连接，则.
记点为.
另一方面，点的横坐标，
所以 点的纵坐标.
所以
.
所以 与不垂直，矛盾.
所以 当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形.…………13分
20.（2012年东城区高三期末考试文19）已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点（）．
解：（Ⅰ）由已知可得 ，
所求椭圆方程为． …5分
（Ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为，依题意．
设，，
由 得 ． …7分
则．
由已知，
所以，
即． …10分
所以，整理得 ．
故直线的方程为，即（）．
所以直线过定点（）． ………12分
若直线的斜率不存在，设方程为，
设，，
由已知，
得．此时方程为，显然过点（）．
综上，直线过定点（）． …13分
21.（2012年朝阳区高三期末考试理19） 已知椭圆的离心率为，直线过点，，且与椭圆相切于点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，使得?若存在，试求出直线的方程；若不存在请说明理由.
解: （Ⅰ）由题得过两点，直线的方程为.……… 1分
因为，所以，.
设椭圆方程为,
由消去得，.
又因为直线与椭圆相切,所以,解得.
所以椭圆方程为. …………………… 5分
（Ⅱ）易知直线的斜率存在,设直线的方程为，………… 6分
由消去，整理得. ………… 7分
由题意知，
解得. ………………………………… 8分
设，，则，. 9分
又直线与椭圆相切，
由解得，所以. ……………10分
则. 所以.
又

所以，解得.经检验成立. ……… 13分
所以直线的方程为. ……………………… 14分
22.（2012年东城区高三期末考试理19）已知椭圆的右焦点为
，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭
圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为△的垂心（垂
心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）由△是等腰直角三角形，得，，
故椭圆方程为． 　　…5分
（Ⅱ）假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心，
设，
因为，，故． …7分
于是设直线的方程为，
由得．
由，得， 且,． ……9分
由题意应有，又，
故，
得．
即．
整理得．
解得或． …12分
经检验，当时，△不存在，故舍去．
当时，所求直线存在，且直线的方程为．………13分

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