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解三角形
1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求
其他元素的过程叫作解三角形。
以下若无特殊说明，均设的三个内角的对边分别为，则有以下关系成立：
（1）边的关系：，，（或满足：两条较短的边长之和大于较长边）
（2）角的关系：，，，，
， ，，
（3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形
板块一：正弦定理及其应用
1．正弦定理：，其中为的外接圆半径
2．正弦定理适用于两类解三角形问题：
（1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；
（2
2、已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解
的可能），再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边
【例1】考查正弦定理的应用
（1）中，若，，，则_____；
（2）中，若，，，则____；
（3）中，若，，，则____；
（4）中，若，则的最大值为_____。
总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能
如图，在中，已知、、
（1）若为钝角或直角，则当时，有唯一解；否则无解。
（2）若为锐角，则当时，三角形无解；
3、 当时，三角形有唯一解；
当时，三角形有两解；
当时，三角形有唯一解
实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。
板块二：余弦定理及面积公式
1．余弦定理：在中，角的对边分别为，则有
余弦定理： ， 其变式为：
2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题：
（1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角
4、和定理”求得第三个角；
（2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角；
说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决
3．三角形的面积公式
（1） （、、分别表示、、上的高）；
（2）
（3） （为外接圆半径）
（4）；
（5） 其中
（6）（是内切圆的半径，是三角形的周长）
【例】考查余弦定理的基本应用
（1）在中，若，，，求；
（2）在中，若，，，求边上的高；
（3）在中，若，，，求
【例】（1）在中，若，，，则中最大角的余弦值为_______
5、
（2）（10上海理）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则（ ）
A．不能作出这样的三角形 B．作出一个锐角三角形
C．作出一个直角三角形 D．作出一个钝角三角形
（3）以为三边组成一个锐角三角形，则的取值范围为__________
【例】考查正余弦定理的灵活使用
（1）在中，若，其面积，则_____
（2）在中，若，则_____
（3）（07天津理）在中，若，，则_____
（4）（10江苏）在锐角中，若，则_________
【例】判断满足下
6、列条件的三角形形状
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5），
板块三：解三角形综合问题
【例】（09全国2）
在中，角的对边分别为、、，，，求
【例】（11西城一模）在中，角的对边分别为，且，
（1）当时，求角的度数； （2）求面积的最大值
【例】在中，，，，求的值和的面积
【例】在中，角的对边分别为，已知，
（1）若的面积等于，求；
（2）若，求的面积
【例5】（09江西理）在中，角的对边分别为，且，
（1）求 （2）若，求
【例】（09安徽理）在中，,
（1）求的值； （2）设，求的面积
【例】（10辽宁理）在中，角的对边分别为，
且
（1）求的大小； （2）求的最大值
【例】在中，角的对边分别为，，
（1）求的大小； （2）求的范围
【例】（11全国2）设的内角的对边分别为，已知，
，求
【江西理】在中，角的对边分别是，已知
（1）求的值； （2）若，求边的值
【11江西文】在中，角的对边分别是，已知
（1）求的值； （2）若，，求边的值
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