高中数学向量的加减与数乘知识总结+题库.doc

向量的概念、加减、数乘

高考要求

向量

要求层次
重难点
平面向量的相关概念
B
①理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．
②理解向量的几何表示．
向量的线
性运算
向量加法与减法
C
① 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
② 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含．
③ 了解向量线性运算的性质及其几何意义．
向量的数乘
C
两个向量共线
B

例题精讲

板块一：向量的基本概念

（一） 知识内容
⑴ 向量的概念：在高中阶段，我们把具有大小和方向的量称为向量．
有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点．例如，力就是既有大小和方向，又有作用点的向量．有些量只有大小和方向，而无特定的位置．例如，位移、速度等，通常把后一类向量叫做自由向量．高中阶段学习的主要是自由向量，以后我们说到向量，如无特别说明，指的都是自由向量．是可以任意平行移动的．向量不同于数量，数量之间可以进行各种代数运算，可以比较大小，两个向量不能比较大小．
⑵ 向量的表示：①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量.的方向，线段的长度表示向量的长度．②字母表示法：，注意起点在前，终点在后．
⑶ 相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．可根据右图的正六边形，或根据下题平行四边形讲解相等向量．

已知、、、分别是平行四边形边、、、的中点，为对角线与的交点，分别写图中与，，相等的向量．

解：

⑷ 向量共线或平行：通过有向线段的直线，叫做向量的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量平行于向量，记作∥．
说明：共线向量的方向相同或相反，　
注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同．事实上，在高等数学中，重合直线是平行直线的特殊情形．
　⑸ 零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：．零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行．
⑹ 用向量表示点的位置：任给一定点和向量，过点作有向线段，则点相对于点位
置被向量所唯一确定，这时向量又常叫做点相对于点的位置向量．
．

（二）典例分析：
【例1】 给出命题
⑴零向量的长度为零，方向是任意的.
⑵若，都是单位向量，则＝.
⑶向量与向量相等.
⑷若非零向量与是共线向量，则，，，四点共线.
以上命题中，正确命题序号是（ ）
A．⑴ B．⑵ C．⑴⑶ D．⑴⑷

【例2】 下列命题中正确的有：( )
⑴四边形是平行四边形当且仅当；
⑵向量与是两平行向量；
⑶向量与是共线向量，则，，，四点必在同一直线上；
⑷单位向量不一定都相等；
⑸与共线，与共线，则与也共线；
⑹平行向量的方向一定相同；

【变式】 平面向量，共线的充要条件是（ ）
A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量
C．， D．存在不全为零的实数，，

【例3】 ⑴设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，
则；③若与平行且，则．上述命题中，假命题个数是（ ）
A． B． C． D．

⑵若非零向量，满足，则（ ）
A．　　B． C． D．

【变式】 给出下列命题：
①若，则；
②若是不共线的四点则是四边形为平行四边形的充要条件；
③若，，则；
④的充要条件是且；
⑤若，，则；
其中正确的序号是 ．

【例4】 如图所示，，，，…，是的个等分点，以，，…，及这个点中任意两个为起始点和终点的向量中，模等于半径倍的向量有多少个？

【变式】 （海淀区2008-2009学年度第一学期期末试卷）
如图，在正方形中，下列描述中正确的是（ ）
A． B．
C． D．

板块二：向量的加减运算

（一） 知识内容
1. 向量的加法：

⑴ 向量加法的三角形法则：
已知向量，在平面上任取一点，作，，再作向量，则向量叫做和的和（或和向量），记作，即．
⑵ 向量求和的平行四边形法则：
① 已知两个不共线的向量，，作，，则，，三点不共线，以，为邻边作平行四边形，则对角线上的向量，这个法则叫做向量求和的平行四边形法则．
② 向量的运算性质：
向量加法的交换律：
向量加法的结合律：
关于：
⑶ 向量求和的多边形法则：
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．

2. 向量的减法：

⑴ 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量，记作．
零向量的相反向量仍是零向量．
⑵ 差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减
向量的终点为终点的向量．
推论：一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量
，或简记“终点向量减始点向量”．
⑶ 一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量
（三）典例分析：
【例5】 设是所在平面内的一点，，则（　　）
A． B． C． D．

【变式】 如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ）
A．　　　　 B．
C． D．

【例6】 是的边上的中点，则向量（ ）
A． B． C． D．.

【例7】 设，，，分别是的三边、、上的点，且则与( )
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直

【例8】 根据图示填空：

⑴ ；⑵ ．

【例9】 化简下列各式：
⑴ ； ⑵

【例10】 如图，，，分别是的边，，的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．

【例11】 已知是平面上的三个点，直线上有一点，满足则( )
A． B． C． D．

【例12】 如图所示，是四边形的对角线的中点，已知，求向量．

【例13】 已知是平面上的三个点，直线上有一点，满足，则（ ）A． B． C． D．

【例14】 已知任意四边形中，分别是的中点，求证：．

【例15】 ⑴ 已知的两条对角线交于点，设，，用向量和表示向量，．
⑵ 已知的两条对角线交于点，设对角线=，=，用，表示，．

【例16】 设是正六边形的中心，若，，试用向量，表示、、　．

【例17】 在中，，．若点满足，则（ ）
A． B． C． D．
⑵在平行四边形中，和分别是边和的中点．若，其中，，则 ．

【变式】 证明：若向量的终点共线，当且仅当存在实数满足等式，使得．

【变式】 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为 ．

【变式】 在平行四边形中，和分别是边和的点．且，，
若，其中，，则 ．

【变式】 设正六边形的对角线分别被内点分成为，如果共线，求的值．

【变式】 证明：若向量的终点共线，当且仅当存在实数满足等式，使得．

板块三：向量的数乘与共线

（一） 知识内容
3. 数乘向量：
定义：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长
<教师备案> 判断正误：已知．
①；（√） ②；（√）
③；（√） ④．（×）
4. 向量共线的条件
⑴ 平行向量基本定理：如果，则∥；反之，如果∥，且，则一定存在唯一的一个实数，使．
⑵ 单位向量：给定一个非零向量，与同方向且长度等于的向量，叫做向量的单位向量．如果的单位向量记作，由数乘向量的定义可知或．
（三）典例分析：
【例18】 设是不共线的向量，已知向量，若三点共线，求的值．

【变式】 设，，为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知与共线，且与共线，则 ．

【变式】 已知是不共线的向量，，，，则四点中共线的三点是___________

【变式】 设是不共线的两个向量，已知，，，若三点共线，求的值．

【变式】 证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．

【例19】 如图，平行四边形中，分别是的中点，为的交点,若
=，=，试以，为基底表示、、．

【变式】 如图，在中，、、分别是、、上的中线，它们交于点，则
下列各等式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．

【变式】 已知五边形，、、、分别是边、、、的中点，、分别是和的中点，求证：平行且等于.

【变式】 如图，、分别是平行四边形的边、的中点，、与对角线分别交于点和点．求证．(向量法)

【变式】 四边形中，，，，分别为，，，的中点，为的中点，试用向量的方法证明：也是的中点．

【变式】 ⑴在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则( )

A． B．
C． D．

⑵如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若， 则  ， = ．

【变式】 若等边的边长为，平面内一点满足，则 ， ．（用，向量表示）

板块四：三角形有五心相关证明

三角形有五心：内心、外心、垂心、重心和旁心，这里我们用向量这个工具来研究三角形的前四心，有些地方涉及到数量积，老师可以根据情况先补充数量积的知识，或将这些地方跳过去以后再讲．
⑴内心：过点，方向平行于向量的直线过的内心(的角分线所在直线)；为的内心；
⑵外心：为的外心；
⑶垂心：为的垂心（先补充数量积的相关知识）
⑷重心：为的重心．
另外：在中，为平面上任意一点，有为的重心
，
即，知为的重心；
若为的重心，则
，故.

【例20】 在中，为的中点，为的中点，为交点，利用向量证明，即重心为中线的一个三等分点．

【变式】 ⑴已知，则

⑵已知，方向相同，且，，则

【变式】 若是内一点，，则是的（　　）
Ａ．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

【变式】 （2003年天津）
是平面内一定点，,,是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的( )
A．外心　　　　B．内心 C．重心 D．垂心

【变式】 若点是的外心，且，则内角的大小为____

【变式】 已知点是的重心，过作直线与、两边分别交于、两点，且设，，则．

【变式】 非正的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，，求实数的值．

【变式】 如图，设为的重心，过的直线与分别交于和，已，，与的面积分别为和．求证：

⑴；⑵．

【例21】 已知任意四边形中，分别是的中点，求证：．

【例22】 如图所示，是四边形的对角线的中 点，已知，求向量．

【变式】 在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则=（ ）
A． B．
C． D．

【变式】 已知点是的重心，，用表示．

【变式】 、分别是的边、的靠近的三等分点．求证：，且∥．

【变式】 已知矩形中，宽为，长为，，，，试作出向量，并求其长度．

【变式】 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为 ．