2016年山东省高考数学试卷(理科解析).doc

2016年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1若复数z满足2z+=32i，其中i为虚数单位，则z=（ ）A1+2iB12iC1+2iD12i解：复数z满足2z+=32i，设z=a+bi，可得：2a+2bi+abi=32i解得a=1，b=2z=12i故选：B2设集合A=y|y=2x，xR，B=x|x210，则AB=（ ）A（1，1）B（0，1）C（1，+）D（0，+）解：A=y|y=2x，xR=（0，+），B=x|x210=（1，1），AB=（0，+）（1，1）=（1，+）故选：C3某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5，25），25，27.5），27.5，30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A56B60C120D140解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7200=140，故选：D4若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（ ）A4B9C10D12解：由约束条件作出可行域如图，A（0，3），C（0，2），|OA|OC|，联立，解得B（3，1），x2+y2的最大值是10故选：C5一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为（ ）A+B+C+D1+解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=故R=，故半球的体积为：=，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为：+，故选：C6已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：当“直线a和直线b相交”时，“平面和平面相交”成立，当“平面和平面相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，故“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件，故选：A7函数f（x）=（sinx+cosx）（cosxsinx）的最小正周期是（ ）ABCD2解：数f（x）=（sinx+cosx）（cosxsinx）=2sin（x+）2cos（x+）=2sin（2x+），T=，故选：B8已知非零向量，满足4|=3|，cos，=若（t+），则实数t的值为（）A4B4CD解：4|=3|，cos，=，（t+），（t+）=t+2=t|+|2=（）|2=0，解得：t=4，故选：B9已知函数f（x）的定义域为R当x0时，f（x）=x31；当1x1时，f（x）=f（x）；当x时，f（x+）=f（x）则f（6）=（ ）A2B1C0D2解：当x时，f（x+）=f（x），当x时，f（x+1）=f（x），即周期为1f（6）=f（1），当1x1时，f（x）=f（x），f（1）=f（1），当x0时，f（x）=x31，f（1）=2，f（1）=f（1）=2，f（6）=2故选：D10若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质下列函数中具有T性质的是（）Ay=sinxBy=lnxCy=exDy=x3解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1，当y=sinx时，y=cosx，满足条件；当y=lnx时，y=0恒成立，不满足条件；当y=ex时，y=ex0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y=3x20恒成立，不满足条件；故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为 解：输入的a，b的值分别为0和9，i=1第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件ab，故i=2；第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件ab，故i=3；第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件ab，故输出的i值为：3，故答案为：312若（ax2+）5的展开式中x5的系数是80，则实数a= 解：（ax2+）5的展开式的通项公式Tr+1=（ax2）5r=a5r，令10=5，解得r=2（ax2+）5的展开式中x5的系数是80a3=80，得a=213已知双曲线E：=1（a0，b0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=b=，由题意可设A（c，），B（c，），C（c，），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2=32c，即为2b2=3ac，由b2=c2a2，e=，可得2e23e2=0，解得e=2（负的舍去）故答案为：214在1，1上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x5）2+y2=9相交”发生的概率为 解：圆（x5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x5）2+y2=9相交，则3，解得k在区间1，1上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x5）2+y2=9相交相交的概率为=故答案为：15已知函数f（x）=，其中m0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是 解：当m0时，函数f（x）=的图象如下：xm时，f（x）=x22mx+4m=（xm）2+4mm24mm2，y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4mm2m（m0），即m23m（m0），解得m3，m的取值范围是（3，+），故答案为：（3，+）三、解答题,：本大题共6小题，共75分.16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+（）证明：a+b=2c；（）求cosC的最小值解：（）证明：由得：；两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根据正弦定理，；，带入（1）得：；a+b=2c；（）a+b=2c；（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；a2+b2=4c22ab，且4c24ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b0；由余弦定理，=；cosC的最小值为17在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；（）已知EF=FB=AC=2AB=BC，求二面角FBCA的余弦值证明：（）取FC中点Q，连结GQ、QH，G、H为EC、FB的中点，GQ，QH，又EFBO，GQBO，平面GQH平面ABC，GH面GQH，GH平面ABC解：（）AB=BC，BOAC，又OO面ABC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），O（0，0，3），F（0，3），=（2，3），=（2，2，0），由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，则，即，取x0=1，则=（1，1，），cos，=二面角FBCA的平面角是锐角，二面角FBCA的余弦值为18已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n，bn是等差数列，且an=bn+bn+1（）求数列bn的通项公式；（）令cn=，求数列cn的前n项和Tn解：（）Sn=3n2+8n，n2时，an=SnSn1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，an=6n+5；an=bn+bn+1，an1=bn1+bn，anan1=bn+1bn12d=6，d=3，a1=b1+b2，11=2b1+3，b1=4，bn=4+3（n1）=3n+1；（）cn=6（n+1）2n，Tn=622+322+（n+1）2n，2Tn=6222+323+n2n+（n+1）2n+1，可得Tn=622+22+23+2n（n+1）2n+1=12+66（n+1）2n+1=（6n）2n+1=3n2n+2，Tn=3n2n+219甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P=+=+=，（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）=，P（X=1）=2+=，P（X=2）=+=，P（X=3）=2=，P（X=4）=2+=P（X=6）=故X的分布列如下图所示： X 012 3 4 6 P数学期望EX=0+1+2+3+4+6=20已知f（x）=a（xlnx）+，aR（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a=1时，证明f（x）f（x）+对于任意的x1，2成立（）解：由f（x）=a（xlnx）+，得f（x）=a（1）+=（x0）若a0，则ax220恒成立，当x（0，1）时，f（x）0，f（x）为增函数，当x（1，+）时，f（x）0，f（x）为减函数；当a0，若0a2，当x（0，1）和（，+）时，f（x）0，f（x）为增函数，当x（1，）时，f（x）0，f（x）为减函数；若a=2，f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）上为增函数；若a2，当x（0，）和（1，+）时，f（x）0，f（x）为增函数，当x（，1）时，f（x）0，f（x）为减函数；（）解：a=1，令F（x）=f（x）f（x）=xlnx1=xlnx+ex1+x，xln（1+x），ex1x，则x1lnx，F（x）=令（x）=，则（x）=（x1，2）（x）在1，2上为减函数，则，F（x）恒成立即f（x）f（x）+对于任意的x1，2成立21平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（ab0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点（I）求椭圆C的方程；（）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为S1，PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标解：（I）由题意可得e=，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，），即有b=，a2c2=，解得a=1，c=，可得椭圆的方程为x2+4y2=1；（）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，由y=x2的导数为y=x，即有切线的斜率为x0，则切线的方程为yy0=x0（xx0），可化为y=x0xy0，代入椭圆方程，可得（1+4x02）x28x0y0x+4y021=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，即有中点D（，），直线OD的方程为y=x，可令x=x0，可得y=即有点M在定直线y=上；（ii）直线l的方程为y=x0xy0，令x=0，可得G（0，y0），则S1=|FG|x0|=x0（+y0）=x0（1+x02）；S2=|PM|x0|=（y0+）=x0，则=，令1+2x02=t（t1），则=2+=（）2+，则当t=2，即x0=时，取得最大值，此时点P的坐标为（，）第12页（共12页）