2016年山东省高考数学试卷(理科解析).doc

2016年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（ ）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
解：复数z满足2z+=3﹣2i，
设z=a+bi，
可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．
解得a=1，b=﹣2．
z=1﹣2i．
故选：B．
2．设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）

解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），
B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），
∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．
故选：C．
3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）

A．56 B．60 C．120 D．140
解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+008+0.04）×2.5=0.7，
故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，
故选：D
4．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12
解：由约束条件作出可行域如图，

∵A（0，﹣3），C（0，2），
∴|OA|＞|OC|，
联立，解得B（3，﹣1）．
∵，
∴x2+y2的最大值是10．
故选：C．
5．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ）

A．+π B．+π C．+π D．1+π
解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，
半球的直径为棱锥的底面对角线，
由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．
故R=，故半球的体积为：=π，
棱锥的底面面积为：1，高为1，
故棱锥的体积V=，
故组合体的体积为：+π，
故选：C
6．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立，
当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，
故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，
故选A
7．函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（ ）
A． B．π C． D．2π
解：数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=2sin（x+）•2cos（x+）=2sin（2x+），
∴T=π，
故选：B
8．已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）
A．4 B．﹣4 C． D．﹣
解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），
∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，
解得：t=﹣4，
故选：B．
9．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），
∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．
∴f（6）=f（1），
∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（1）=﹣f（﹣1），
∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，
∴f（﹣1）=﹣2，
∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，
∴f（6）=2．
故选：D．
10．若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　）
A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3
解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；
当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；
当y=ex时，y′=ex＞0恒成立，不满足条件；
当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；
故选：A
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为

解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．
第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＜b，故i=2；
第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＜b，故i=3；
第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＜b，
故输出的i值为：3，
故答案为：3
12．若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a= ．
解：（ax2+）5的展开式的通项公式Tr+1=（ax2）5﹣r=a5﹣r，
令10﹣=5，解得r=2．
∵（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80
∴a3=﹣80，
得a=﹣2．
13．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是
解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，
由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），
由2|AB|=3|BC|，可得
2•=3•2c，即为2b2=3ac，
由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，
解得e=2（负的舍去）．
故答案为：2．

14．在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为
解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．
圆心到直线y=kx的距离为，
要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．
∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．
故答案为：．
15．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是
解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：
∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，
∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，
必须4m﹣m2＜m（m＞0），
即m2＞3m（m＞0），
解得m＞3，
∴m的取值范围是（3，+∞），
故答案为：（3，+∞）．

三、解答题,：本大题共6小题，共75分.
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．
解：（Ⅰ）证明：由得：
；
∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；
∴2sin（A+B）=sinA+sinB；
即sinA+sinB=2sinC（1）；
根据正弦定理，；
∴，带入（1）得：；
∴a+b=2c；
（Ⅱ）a+b=2c；
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；
∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；
又a，b＞0；
∴；
∴由余弦定理，=；
∴cosC的最小值为．
17．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．
（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．

证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，
∵G、H为EC、FB的中点，
∴GQ，QH∥，
又∵EFBO，∴GQBO，
∴平面GQH∥平面ABC，
∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．
解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，
又∵OO′⊥面ABC，
∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3），
=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），
由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），
设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，
则，即，
取x0=1，则=（1，﹣1，﹣），
∴cos＜，＞===﹣．
∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，
∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．

18．已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．
解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n，
∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，
n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5；
∵an=bn+bn+1，
∴an﹣1=bn﹣1+bn，
∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．
∴2d=6，
∴d=3，
∵a1=b1+b2，
∴11=2b1+3，
∴b1=4，
∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；
（Ⅱ）cn==6（n+1）•2n，
∴Tn=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，
∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，
①﹣②可得﹣Tn=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，
∴Tn=3n•2n+2．
19．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，
故概率P=++=++=，
（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，
则P（X=0）==，
P（X=1）=2×[+]=，
P（X=2）=+++=，
P（X=3）=2×=，
P（X=4）=2×[+]=
P（X=6）==
故X的分布列如下图所示：
X
0
1
2
3
4
6
P

∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×==
20．已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．
（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+，
得f′（x）=a（1﹣）+
==（x＞0）．
若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；
若a＞2，当x∈（0，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
（Ⅱ）解：∵a=1，
令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx﹣1=x﹣lnx+．
∵ex＞1+x，
∴x＞ln（1+x），
∴ex﹣1＞x，则x﹣1＞lnx，
∴F（x）＞=．
令φ（x）=，则φ′（x）=（x∈[1，2]）．
∴φ（x）在[1，2]上为减函数，则
∴F（x）＞恒成立．
即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．
21．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上；
（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．

解：（I）由题意可得e==，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，）
即有b=，a2﹣c2=，
解得a=1，c=，
可得椭圆的方程为x2+4y2=1；
（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，
由y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，
则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），
可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，
可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2=，即有中点D（，﹣），
直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=﹣．
即有点M在定直线y=﹣上；
（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），
则S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0）=x0（1+x02）；
S2=|PM|•|x0﹣|=（y0+）•=x0•，
则=，
令1+2x02=t（t≥1），则==
==2+﹣=﹣（﹣）2+，
则当t=2，即x0=时，取得最大值，
此时点P的坐标为（，）．
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