2017全国高考复数复习专题.doc

复数
一、复数的概念及运算：
1、复数的概念：
（1）虚数单位；
（2）实部：a，虚部：b；
（3）复数的分类()；
（4）相等的复数：
2、复数的加、减、乘、除法则：
（1）加减法具有交换律和结合律； （2）乘法具有交换律、结合律、分配律；
（3）除法：。
3、复数的共轭与模：
共轭复数: 复数的模:
复平面:复数与点是一一对应关系，另：与关于轴对称，表示对应点与原点的距离。
二、复数中的方程问题：
1、实系数一元二次方程的根的情况：
对方程（其中且），令，
当时，方程有两个不相等的实数根。
当=0时，方程有两个相等的实根；
当时，方程有两个共轭虚根：。
2、一元二次方程的根与系数的关系：
若方程（其中且）的两个根为，则；
考点1：复数的基本运算
1. 复数等于

2. 已知复数z满足（＋3i）z＝3i，则z＝

3. ＝

4.复数等于

5. 复数的值是

考点2：复数的模长运算
1.已知复数，则等于

2. 已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是

考点3：复数的实部与虚部
1. 复数的虚部为

考点4：复数与复平面内的点关系
1. 在复平面内，复数对应的点位于
2. 在复平面内，复数对应的点位于 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. 在复平面内，复数对应的点位于 ( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4. 若对应的点在虚轴上，则实数

考点5：共轭复数
1.复数的共轭复数是

2. 若与互为共轭复数，则实数a、b的值分别为

3. 把复数z的共轭复数记作，已知,则等于

考点6：复数的周期
1.已知，则集合的元素个数是 （ 　）
A．2 B. C. 4 D. 无数个

考点7：复数相等
1. 已知，求实数x、y的值。

2. 已知，且，求x、y的值。

3. 设，若，求实数a、b。

4. 已知

考点8：复数比较大小
1.使得不等式成立的实数的值为_______

考点9：复数的各种特殊形式
1. 已知i是虚数单位，复数，当m取什么实数时，z是
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数； （4）零。

2. 如果复数是实数，则实数

若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为
考点10：复数的综合问题
1. 若，则的最大值是

2. 下列各式不正确的是 （ ）
A． B. C. D
3. 对于两个复数，，有下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论的为（ ）个

4. 设则

5．若且的最小值是

6. 设复数，则的关系是 （ ）

A．不能比较大小 B． C． D．

7.在复平面内，若复数满足，则所对应的点的集合构成的图形是

8.已知中，对应的复数分别为则对应的复数为

9.在复平面内，复数对应的点分别为,若为线段的中点，则点对应的复数是

10. 复数在复平面内对应点位于 象限

11. 已知复数Z满足，求的最值

四、精选
例1：已知，求；

例2：已知，求；

例3：设为虚数，为实数，且。
（1）求的值及的实部的取值范围；
（2）证明：为纯虚数；

例4：已知关于的方程有两个根，且满足。
（1）求方程的两个根以及实数的值；
（2）当时，若对于任意，不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围。

例5：已知复数满足，其中为虚数单位，，若，求的取值范围。

例6：设虚数满足。
（1）求的值；
（2）若为实数，求实数的值；
（3）若在复平面上对应的点在第一、第三象限角平方线上，求复数。

例7：已知方程有两个根和，。
（1）若，求实数；
（2）若，求实数；

例8：已知复数是方程的根，复数满足，求的取值范围。

例9：关于的方程有实根，求一个根的模是2，求实数的值。

例10：设两复数满足（其中且，），求是虚数。
（1）求证：是定值，求出此定值；
（2）当时，求满足条件的虚数的实部的所有项的和。

例11：设两个复数满足，并且是虚数，当时，求所以满足条件的虚数的实部之和。

例12：计算：（1）
（2）
（3）

例13：给定复数，在，这八个值中，不同值的个数至多是___________。
例14：已知下列命题
（1）；（2）为纯虚数；（3）；
（4）；（5）；（6）.
其中正确的命题是____________；
例15：是否存在复数同时满足条件：①；②的实部、虚部为整数。若存在，求出复数，若不存在，说明理由。

例16：设是已知复数，为任意复数且，则复数对应的点的轨迹是( )
A、以的对应点为圆心、1为半径的圆；
B、以的对应点为圆心，1为半径的圆；
C、以的对应点为圆心、为半径的圆；
D、以的对应点为圆心，为半径的圆；
例17：满足方程的复数对应的点的轨迹是 ( )。
A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
例18：复平面内，满足的复数所对应的点的轨迹是 )
A、椭圆 B、双曲线 C、一条线段 D、不存在
例19：满足方程的复数对应的点的轨迹是 ( )
A、四个点 B、四条直线 C、一个圆 D、两个圆

例20：设复数，当在内变化时，求的最小值。

例21：若复数和满足：，且。和在复平面中对应的点为和，坐标原点为O，且，求面积的最大值，并指出此时的值。

例22：已知复数，i为虚数单位，且对于任意复数，有。
（1）试求m的值，并分别写出a和b用x、y表示的关系式；
（2）将作为点P的坐标，作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。

例23：已知复数和，其中均为实数，且。
（1）若复数所对应的点在曲线上运动，求复数所对应的点的轨迹方程；
（2）将（1）中点P的轨迹上每一点沿向量方向平移，得到新的轨迹C，求C的方程。
（3）轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线交轴于点B。问：以为直径的圆是否恒过轴上一定点？若存在，求出此定点坐标；若不存在，则说明理由。

例题答案：
1、；2、1； 3、（1）；（2）略；5、；6、（1）；（2）；（3）；7、（1）；（2）①当时，方程无解；②当时，；③当时，；8、；9、当时，；当时，。
10、（1），定值；（2）时，；时，；
11、95；12、略；13、4； 14、（1）（4）；15、存在、或；
16、D；17、D；18、C；19、C；
20、；21、8，此时，提示：由条件得，
当且仅当时等号成立。
22、（1）；（2）；（3）存在直线，
；
提示：设存在直线满足条件，由条件该直线不能平行与坐标轴，设方程为，则变换后的直线为，即。它与重合，当时，方程无解。当时，；

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