2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-函数与导数.pdf

20192019 高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-函数与导数函数与导数1.天津文19、本小题总分值 14 分函数32()4361,f xxtxtxtxR，其中tR、当1t 时，求曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程；当0t 时，求()f x的单调区间；证明：对任意的(0,),()tf x在区间(0,1)内均存在零点、【解析】19本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，总分值 14 分。解：当1t 时，322()436,(0)0,()1266f xxxx ffxxx(0)6.f 所以曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程为6.yx 解：22()1266fxxtxt，令()0fx，解得.2txtx 或因为0t，以下分两种情况讨论：1假设0,2tttx 则当变化时，(),()fxf x的变化情况如下表：x,2t,2tt,t()fx+-+()f x所以，()f x的单调递增区间是,;()2ttf x 的单调递减区间是,2tt。2假设0,2ttt 则，当x变化时，(),()fxf x的变化情况如下表：x,t,2tt,2t()fx+-+()f x所以，()f x的单调递增区间是,;()2ttf x 的单调递减区间是,.2tt证明：由可知，当0t 时，()f x在0,2t内的单调递减，在,2t内单调递增，以下分两种情况讨论：1当1,22tt即时，()f x在0，1内单调递减，2(0)10,(1)643644230.ftftt 所以对任意2,),()tf x在区间0，1内均存在零点。2当01,022tt即时，()f x在0,2t内单调递减，在,12t内单调递增，假设33177(0,1,10.244tfttt 2(1)643643230.fttttt 所以(),12tf x在内存在零点。假设3377(1,2),110.244ttfttt (0)10ft 所以()0,2tf x在内存在零点。所以，对任意(0,2),()tf x在区间0，1内均存在零点。综上，对任意(0,),()tf x在区间0，1内均存在零点。2.北京文18、本小题共 13 分函数()()xf xxk e.求()f x的单调区间；求()f x在区间0,1上的最小值.【解析】18 共 13 分解：.)1()(3ekxxf令 0 xf，得1 kx、)(xf与)(xf 的情况如下：xkk,1k),1(k)(xf 0+)(xf1ke所以，)(xf的单调递减区间是1,k；单调递增区间是),1(k当01k，即1k时，函数)(xf在0，1上单调递增，所以fx在区间0，1上的最小值为;)0(kf当21,110kk即时，由知()0,1f xk 在上单调递减，在(1,1k 上单调递增，所以()f x在区间0，1上的最小值为1(1)kf ke；当1,2ktk 即时，函数()f x在0，1上单调递减，所以()f x在区间0，1上的最小值为(1)(1).fk e3.(全国大纲文)21、本小题总分值 l2 分 注意：在试题卷上作答无效函数32()3(36)124f xxaxa xaaRI证明：曲线()0yf xx在处的切线过点2，2；II假设0()f xxx在处取得极小值，0(1,3)x，求 a 的取值范围。【解析】21、解：I2()3636.fxxaxa 2 分由(0)124,(0)36fafa得曲线()0yf xx在处的切线方程为由此知曲线()0yf xx在处的切线过点2，26 分II由2()021 20.fxxaxa 得i当2121,()af x 时没有极小值；ii当2121,()0aafx 或时由得221221,21,xaaaxaaa 故02.xx由题设知21213.aaa 当21a 时，不等式21213aaa 无解。当21a 时，解不等式25121321.2aaaa 得综合i ii得 a 的取值范围是5(,21).212 分4.全国新文21、本小题总分值 12 分函数ln()1axbf xxx，曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为230 xy、I求 a，b 的值；II证明：当 x0，且1x 时，ln()1xf xx、【解析】21解：221(ln)()(1)xxbxfxxx由于直线230 xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1(1),2ff 即1,1,22bab 解得1a，1b。由知ln1f()1xxxx，所以)1ln2(111ln)(22xxxxxxxf考虑函数()2lnh xxxx12(0)x，那么22222)1()1(22)(xxxxxxxh所以当1x时，,0)1(,0)(hxh而故当)1,0(x时，;0)(11,0)(2xhxxh可得当),1(x时，;0)(11,0)(2xhxxh可得从而当.1ln)(,01ln)(,1,0 xxxfxxxfxx即且5.辽宁文20、本小题总分值 12 分设函数)(xf=x+ax2+blnx，曲线y=)(xf过P1,0，且在P点处的切斜线率为 2、I求a，b的值；II证明：)(xf2x-2、【解析】20、解：I()12.bfxaxx 2 分由条件得(1)0,10,(1)2.122.fafab即解得1,3.ab 5 分II()(0,)f x的定义域为，由I知2()3ln.f xxxx设2()()(22)23ln,g xf xxxxx那么3(1)(23)()12.xxg xxxx 01,()0;1,()0.()(0,1),(1,).xg xxg xg x当时当时所以在单调增加在单调减少而(1)0,0,()0,()22.gxg xf xx故当时即12 分6.江西文20、本小题总分值 13 分设321().3f xxmxnx1如果()()23x2g xfxx 在处取得最小值-5，求f(x)的解析式；2如果mn10(m,nN),f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求 m 和 n 的值；注；区间a，b的长度为 b-a【解析】20、本小题总分值 13 分解：1由题得222()2(1)(3)(1)(3)(1)g xxmxnxmnm()2g xx 在处取得最小值-5所以212(3)(1)5mnm ，即3,2mn即得所要求的解析式为321()32.3f xxxx2因为2()2,()fxxmxnf x且的单调递减区间的长度为正整数，故()0fx 一定有两个不同的根，从而22440mnmn 即，不妨设为21221,|2x xxxmn则为正整数，故2m 时才可能有符合条件的 m，n当 m=2 时，只有 n=3 符合要求当 m=3 时，只有 n=5 符合要求当4m 时，没有符合要求的 n综上所述，只有 m=2，n=3 或 m=3，n=5 满足上述要求。7.山东文21、本小题总分值 12 分某企业拟建造如下图的容器不计厚度，长度单位：米，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803立方米，且2lr、假设该容器的建造费用仅与其表面积有关、圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c、设该容器的建造费用为y千元、写出y关于的函数表达式，并求该函数的定义域；求该容器的建造费用最小时的、【解析】21、解：I设容器的容积为 V，由题意知23480,33Vr lrV又故322248044 203()333Vrlrrrrr由于2lr因此02.r所以建造费用2224 202342()34,3yrlr crrr cr 因此21604(2),02.ycrrrII由I得3221608(2)208(2)(),02.2cycrrrrrc由于3,20,cc所以当3320200,.22rrcc时令320,2mc则所以2228(2)()().cyrm rrmmr1当9022mc即时，当r=m 时,y=0;当r(0,m)时,y 0.所以rm是函数 y 的极小值点，也是最小值点。2当2m 即932c时，当(0,2),0,ry时函数单调递减，所以 r=2 是函数 y 的最小值点，综上所述，当932c时，建造费用最小时2;r 当92c 时，建造费用最小时320.2rc8.陕西文21、本小题总分值 14 分设()ln.()()()f xx g xf xfx。求()g x的单调区间和最小值；讨论()g x与1()gx的大小关系；求a的取值范围，使得()()g ag x1a对任意x0 成立。【解析】21、解由题设知1()ln,()lnf xx g xxx，21(),xg xx令()g x0 得x=1，当x0，1时，()g x0，故0，1是()g x的单调减区间。当x1，+时，()g x0，故1，+是()g x的单调递增区间，因此，x=1是()g x的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1)1.gII1()lnxgxx 设11()()()2lnh xg xgxxxx，那么22(1)()xh xx，当1x 时，(1)0h即1()()g xgx，当(0,1)(1,)x时(1)0h，因此，()h x在(0,)内单调递减，当01x时，()(1)0h xh即1()().g xgx当x1,()(1)0h xh时1()()g xgx即III由I知()g x的最小值为 1，所以，1()()g ag xa，对任意0 x，成立1()1,g aa 即ln1,a 从而得0ae。9.上海文21、14 分函数()23xxf xab，其中常数,a b满足0ab。1假设0ab，判断函数()f x的单调性；2假设0ab，求(1)()f xf x时x折取值范围。【解析】21、解：当0,0ab时，任意1212,x xR xx，那么121212()()(22)(33)xxxxf xf xab121222,0(22)0 xxxxaa，121233,0(33)0 xxxxbb，12()()0f xf x，函数()f x在R上是增函数。当0,0ab时，同理，函数()f x在R上是减函数。(1)()2230 xxf xf xab当0,0ab时，3()22xab，那么1.5log()2axb；当0,0ab时，3()22xab，那么1.5log()2axb。10.四川文22、本小题共 l4 分函数21()32f xx，()h xx、设函数F(x)18f(x)x2h(x)2，求F(x)的单调区间与极值；设aR，解关于x的方程33lg(1)2lg()2lg(4)24f xh axhx；设*nN，证明：1()()(1)(2)()6f n h nhhh n、本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力、解：223()18()()129(0)F xf xx h xxxx，2()312F xx、令()0F x，得2x 2x 舍去、当(0,2)x时、()0F x；当(2,)x时，()0F x，故当0,2)x时，()F x为增函数；当2,)x时，()F x为减函数、2x 为()F x的极大值点，且(2)824925F 、方法一：原方程可化为42233log(1)log()log(4)24f xh axhx，即为4222log(1)loglog4log4axxaxxx，且,14,xax当14a时，1xa，那么14axxx，即2640 xxa，364(4)2040aa，此时6204352axa，1xa，此时方程仅有一解35xa、当4a 时，14x，由14axxx，得2640 xxa，364(4)204aa，假设45a，那么0，方程有两解35xa；假设5a 时，那么0，方程有一解3x；假设1a 或5a，原方程无解、方法二：原方程可化为422log(1)log(4)log()xhxh ax，即2221log(1)log4log2xxax，10,40,0,(1)(4).xxaxxxax 214,(3)5.xxaax 当14a时，原方程有一解35xa；当45a时，原方程有二解35xa；当5a 时，原方程有一解3x；当1a 或5a 时，原方程无解、由得(1)(2)()12hhh nn，1431()()666nf n h nn、设数列na的前n项和为nS，且1()()6nSf n h n*nN从而有111aS，当2100k时，14341166kkkkkaSSkk、又1(43)(41)16kakkkkk221(43)(41)(1)6(43)(41)1kkkkkkkk1106(43)(41)1kkkk、即对任意2k 时，有kak，又因为111a ，所以1212naaan、那么(1)(2)()nShhh n，故原不等式成立、11.浙江文 21 本小题总分值 15 分设函数axxxaxf22ln)(，0a求)(xf的单调区间；求所有实数a，使2)(1exfe对,1 ex恒成立、注：e为自然对数的底数、【解析】21此题主要考查函数的单调性、导数运算法那么、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。总分值 15 分。解：因为22()ln.0f xaxxaxx其中所以2()(2)()2axaxafxxaxx 由于0a，所以()f x的增区间为(0,)a，减区间为(,)a 证明：由题意得，(1)11,facac 即由知()1,f xe在内单调递增，要使21()1,ef xexe 对恒成立，只要222(1)11,()faef eaeaee 解得.ae12.重庆文19、本小题总分值 12 分，小题 5 分，小题 7 分设3.2()21f xxaxbx的导数为()fx，假设函数()yfx的图像关于直线12x 对称，且(1)0f、求实数,a b的值求函数()f x的极值【解析】19、此题 12 分解：I因322()21,()62.f xxaxbxfxxaxb故从而22()6(),66aafxxb即()yfx关于直线6ax 对称，从而由题设条件知1,3.62aa 解得又由于(1)0,620,12.fabb 即解得II由I知32()23121,f xxxx2()6612fxxx6(1)(2).xx令12()0,6(1)(2)0.2,1.fxxxxx 即解得当(,2),()0,()(,2)xfxf x 时故在上为增函数；当(2,1),()0,()(2,1)xfxf x 时故在上为减函数；当(1,),()0,()(1,)xfxf x时故在上为增函数；从而函数1()2f xx 在处取得极大值2(2)21,1fx在处取得极小值(1)6.f 13.安徽文 18 本小题总分值 13 分设21)(axexfx，其中a为正实数.当34a时，求()f x的极值点；假设()f x为R上的单调函数，求a的取值范围.【解析】18 本小题总分值 13 分此题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.解：对)(xf求导得.)1(1)(222axaxaxexfxI当34a，假设.21,23,0384,0)(212xxxxxf解得则综合,可知所以,231x是极小值点,212x是极大值点.II假设)(xf为 R 上的单调函数，那么)(xf 在 R 上不变号，结合与条件 a0，知0122 axax在 R 上恒成立，因此,0)1(4442aaaa由此并结合0a，知.10 a14.福建文22、本小题总分值 14 分a，b 为常数，且 a0，函数 fx=-ax+b+axlnx，fe=2e=2、71828是自然对数的底数。I求实数 b 的值；II求函数 fx的单调区间；III当 a=1 时，是否同时存在实数 m 和 Mm0得x1,由f (x)0得0 x0,g(x)=0的两根都小于 0，在(0,)上，()0fx，故()(0,)f x在上单调递增、(3)当2a A时,0,g(x)=0的两根为221244,22aaaaxx，当10 xx时，()0fx；当12xxx时，()0fx；当2xx时，()0fx，故()f x分别在12(0,),(,)xx 上单调递增，在12(,)x x上单调递减、II由I知，2a、因为1212121212()()()(lnln)xxf xf xxxaxxx x，所以1212121212()()lnln11f xf xxxkaxxx xxx A又由(I)知，121x x、于是1212lnln2xxkaxxA假设存在，使得2.ka那么1212lnln1xxxx、即1212lnlnxxxx、亦即222212ln0(1)(*)xxxx再由I知，函数1()2lnh tttt 在(0,)上单调递增，而21x，所以222112ln12ln10.1xxx 这与(*)式矛盾、故不存在，使得2.ka18.广东文19、本小题总分值 14 分设 a0,讨论函数 fx=lnx+a1-ax2-21-a的单调性。【解析】19、本小题总分值 14 分解：函数()f x的定义域为(0,).22(1)2(1)1(),aa xa xfxx当212(1)10aa x 时,方程2a(1-a)x的判别式112(1).3aa 当10,0,()3afx 时有两个零点，12(1)(31)(1)(31)110,22(1)22(1)aaaaxxaaaaaa且当12120,()0,()(0,)(,)xxxxfxf xxx或时在与内为增函数；当1212,()0,()(,)xxxfxf xx x时在内为减函数；当11,0,()0,()(0,)3afxf x 时所以在内为增函数；当11,()0(0),()(0,)afxxf xx时在内为增函数；当1(1)(31)11,0,0,22(1)aaaxaaa 时2(1)(31)10,()22(1)aaxfxaaa所以在定义域内有唯一零点1x，且当110,()0,()(0,)xxfxf xx时在内为增函数；当1xx时，1()0,()(,)fxf xx在内为减函数。()f x的单调区间如下表：103a113a1a 1(0,)x12(,)x x2(,)x(0,)1(0,)x1(,)x 其中12(1)(31)(1)(31)11,22(1)22(1)aaaaxxaaaaaa19.江苏19、a，b是实数，函数,)(,)(23bxxxgaxxxf)(xf 和)(xg是)(),(xgxf的导函数，假设0)()(xgxf在区间I上恒成立，那么称)(xf和)(xg在区间I上单调性一致1设0a，假设)(xf和)(xg在区间),1上单调性一致,求 b 的取值范围；2设,0a且ba，假设)(xf和)(xg在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值【解析】19、本小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。总分值 16 分.解：.2)(,3)(2bxxgaxxf1由题意知),10)()(在xgxf上恒成立，因为 a0，故,032 ax进而20,2xbbx 即在区间-1,+)上恒成立，所以2.b 因此b的取值范围是2,).2令()0,.3afxx 解得假设0,00(,).baa b由得又因为(0)(0)0fgab，所以函数()()f xg x和在(,)a b上不是单调性一致的，因此0.b 现设0.(,0),()0bxg x 当时；当(,)3ax 时，()0.fx因此，当(,)3ax 时，()()0.fx g x故由题设得,33aaa 且b-从而110,0.33ab于是因此11|,033abab 且当时等号成立，又当211,0,()()6()39abfx g xx x 时，从而当1(,0)()()03xfx g x 时故当函数1()()(,0)3f xg x和在上单调性一致，因此|ab的最大值为1.320.江苏17、请你设计一个包装盒，如下图，ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB=xcm1某广告商要求包装盒侧面积 Scm2最大，试问x应取何值？2某广告商要求包装盒容积 Vcm3最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。P【解析】17、本小题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象力、数学阅读能力及解决实际问题的能力。总分值 14 分.解：设馐盒的高为 hcm，底面边长为 acm，由得.300),30(22260,2xxxhxa1,1800)15(8)30(842xxxahS所以当15x时，S 取得最大值.2).20(26),30(22222xxVxxhaV由00 xV得舍或 x=20.当)20,0(x时，.0)30,20(;0VxV时当所以当 x=20 时，V 取得极大值，也是最小值.此时1122ha即装盒的高与底面边长的比值为1.2xxEFABDC