2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列(综合题).pdf

120192019 年高考数学真题分类汇编年高考数学真题分类汇编专题专题 1818：数列（综合题）：数列（综合题）1.（2019江苏）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”.（1）已知等比数列an满足：，求证:数列an*nN245324,440a aa aaa为“M数列”；（2）已知数列bn满足:，其中Sn为数列bn的前n项和 111221,nnnbSbb求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“M数列”cn，对任意正整数k，当*nNkm时，都有成立，求m的最大值1kkkcbc【答案】（1）解：设等比数列an的公比为q ，所以a10，q0.由 ，得 ，解得 a2a4=a5a3-4a2+4a1=0a21q4=a1q4a1q2-4a1q+4a1=0a1=1q=2因此数列 为“M数列”.an（2）解：因为 ，所以 1Sn=2bn-2bn+1由 得 ，则 .b1=1,S1=b111=21-2b2b2=2由 ，得 ，1Sn=2bn-2bn+1Sn=bnbn+12(bn+1-bn)当 时，由 ，得 ，n鈮?mbrimbri2bn=Sn-Sn-1bn=bnbn+12(bn+1-bn)-bn-1bn2(bn-bn-1)整理得 bn+1+bn-1=2bn所以数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n .由知，bk=k ，.k鈭?mbrimbriN*2因为数列cn为“M数列”，设公比为q ，所以c1=1，q0.因为ckbkck+1 ，所以 ，其中k=1，2，3，m.当k=1 时，有q1；当k=2，3，m时，有 设f（x）=，则 lnxx(x 1)令 ，得x=e.列表如下：x(1,e)e(e，+)+0 f（x）极大值因为 ，所以 ln22=ln860，因为ckbkck+1 ，所以 ，其中k=1，2，3，m ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出 m的最大值。2.（2019上海）已知等差数列的公差，数列满足，na0,d nb sinnnba集合*|,nSx xb nN（1）若，求集合 S；120,3ad（2）若，求 d 使得集合 S 恰好有两个元素；12a（3）若集合 S 恰好有三个元素：，T 是不超过 7 的正整数，求 T 的所n Tnbb有可能的值【答案】（1）解：等差数列 的公差 ，数列 满足 anbn，集合 bn=sin(an)当 ，集合 S=-32,0,32（2）解：，数列 满足 ，集合 恰a1=蟺2bnbn=sin(an)好有两个元素，如图：4根据三角函数线，等差数列 的终边落在 轴的正负半轴上时，集合 anyS恰好有两个元素，此时 ，d=蟺 终边落在 上，要使得集合 恰好有两个元素，可以使 ，的终a1OASa2a3边关于 轴对称，如图 ，yOBOC此时 ，d=2蟺3综上，或者 d=2蟺3d=蟺（3）解：当 时，集合 ，符合题意T=3bn+3=bnS=b1,b2,b3当 时，或者 T=4bn+4=bnsin(an+4d)=sinan，an+4d=2k蟺-an等差数列 的公差 ，故 ，又 and=k蟺2k=1,2当 时满足条件，此时 k=1S=-1,0,1当 时，或者 T=5bn+5=bnsin(an+5d)=sinan，因为 ，故 an+5d=2k蟺-ank=1,2当 时，满足题意k=1当 时，T=6bn+6=bnsin(an+6d)=sinan所以 或者 ，故 an+6d=2k蟺-ank=1,2,3当 时，满足题意k=1S=32,1,32 5当 时，所以 ，或者 T=7bn+7=bnsin(an+7d)=sinan，故 an+7d=2k蟺-ank=1,2,3当 时，因为 对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，k=1必然有 ，不符合条件m-n=7m 7当 时，因为 对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，K=2必然有 ，不是整数，不符合条件m-n当 时，因为 对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，K=3必然有 或者 ，或者 ，此时，4蟺m-n均不是整数，不符合题意综上，T=3,4,5,6【考点】元素与集合关系的判断，集合的确定性、互异性、无序性，等差数列，等差数列的通项公式 【解析】分析】（1）等差数列 的公差 ，数列 满足 anbn，集合 ，利用元素和集合间的关系求出结合等差bn=sin(an)数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，从而求出当 anbn时的集合 S.(2)当等差数列首项 时，利用数列 满足 ，用等差数列a1=蟺2bnbn=sin(an)的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，再利用数列的anbnbn通项公式结合元素和集合间的关系，利用三角函数线求出使得集合 恰好有两S个元素的 d 的值。（3）利用元素和集合间的关系结合已知条件集合 恰好有三个元素，用分类S 6讨论的方法结合已知条件，用等差数列的通项公式和正弦值的求解an方法求出数列的通项公式，再利用 是不超过 7 的正整数，从而求出满足bn要求的 的所有可能的值 3.（2019浙江）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，a3=4.a4=S3，数列bn满足：对每个 nN*，Sn+bn，Sn+1+bn、Sn+2+bn成等比数列（1）求数列an，bn的通项公式;（2）记 Cn=，nN*，证明：C1+C2+Cn2，nN*.2nnabn【答案】（1）设数列 的公差为d ，由题意得 an ，a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d解得 a1=0,d=2从而 由 成等比数列得Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn (Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn)解得 bn1d(S2n+1-SnSn+2)所以 （2）我们用数学归纳法证明当n=1 时，c1=02，不等式成立；假设 时不等式成立，即 那么，当 时，n=k+1 7 2 k+2k+1+k=2 k+2(k+1-k)=2 k+1即当 时不等式也成立n=k+1根据（1）和（2），不等式 对任意 成立n鈭?mbrimbriN*【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数学归纳法 【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，解方程，结合等比中项，即可求出相应的表达式；（2）采用数学归纳法，现在 n=1 时式子成立，假设 n=k 时式子成立，再证n=k+1 时式子也成立即可.4.（2019天津）设是等差数列，是等比数列，公比大于 0，已知 na nb 1123223,43.abba ba（）求和的通项公式；na nb（）设数列满足 求.nc*1 12222nna ca ca cnN【答案】解：（）解：设等差数列 的公差为 d，等比数列 的公比anbn为 q 依题意，得 ，解得 ，故 3q=3+2d3q2-15+4dd=3q=3.an=3+3(n-1)=3n,bn=3脳3n-1=3n所以，的通项公式为 ，的通项公式 为 .anan=3nbnbn=3n（）解：=.，8-得，.所以，【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和 【解析】【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出，设 an的公差为 ，的公比为 ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立dbnq方程求得 和 ，进而可得 、的通项公式；dqanbn（II）数列 的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得cn前 项和 nSn5.（2019天津）设是等差数列，是等比数列.已知 na nb 1122334,6,22,24.abbaba（）求和的通项公式；na nb（）设数列满足 其中.nc111,22,1,2,kknkknccb n*.kN（i）求数列的通项公式；221nnac（ii）求.2*1niiiac nN.【答案】解：（）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 andbn.依题意得 解得 故 q6q=6+2d,6q2=12+4d,d=3,q=2,.所以，的通项公式为 的通项公式为 .anbn=3脳2n（）（i）.9所以，数列 的通项公式为 .a2n(c2n-1)（ii）【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和 【解析】【分析】本题主要考查等差数列、等比数列以及通项公式及其前项和公式。（）由 ，根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，即可求 和 的通项公式；anbn（）由（）的通项公式为 的通项公式为 ，anbn=3脳2n 得出数列 的通项公式；a2n(c2n-1)（）将 代值并化简即可求值。6.（2019卷）已知是各项均为正数的等比数列，na1322,216.aaa（1）求的通项公式；na（2）设，求数列的前 n 项和。2lognnba nb【答案】（1）解：设的公比为 q，由题设得 na ，即 .2q2=4q+16q2-2q-8=0解得 （舍去）或 q=4.q=-2 10因此 的通项公式为 .anan=2脳4n-1=22n-1（2）由（1）得 ，因此数列的前 n 项和为 bn=(2n-1)log22=2n-1 nb.【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前 n 项和 【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于 q 的方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。（2）由已知求出数列 的通项公式，再利用等差数列的前 n 项和公式即可求出结果。nb7.（2019北京）设an是等差数列，a1=-10，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列.（I）求an的通项公式；（）记an的前 n 项和为 Sn，求 Sn的最小值.【答案】解：（I）根据三者成等比数列，可知 ，(a3+8)2=(a2+10)(a4+6)故 ，(-10+2d+8)2=(-10+d+10)(-10+3d+6)解得 d=2，故 ；an=-10+2(n-1)=2n-12（）由（I）知 ，该二次函数开口向上，对称轴为 n=5.5，故 n=5 或 6 时，取最小值-30.Sn【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前 n 项和 【解析】【分析】（I根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出 d，即可求出 ；（）由（1），求出 ，结合二次函数的性质，即可求出相应anSn的最小值.118.（2019卷）已知数列an和bn满足 a1=1，b1=0，1434,nnnaab 1434.nnnbba（1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式.【答案】（1）解：由题设得 ，即 4(an+1+bn+1)=2(an+bn)an+1+bn+1=12(an+bn)又因为a1+b1=l，所以 是首项为 1，公比为 的等比数列an+bn12由题设得 ，4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8即 an+1-bn+1=an-bn+2又因为a1b1=l，所以 是首项为 1，公差为 2 的等差数列an-bn（2）由（1）知，an+bn=12n-1an-bn=2n-1所以 ，an=12(an+bn)+(an-bn)=12n+n-12 bn=12(an+bn)-(an-bn)=12n-n+12【考点】等差数列与等比数列的综合 【解析】【分析】（1）整理已知的递推公式即可得出 an+1+bn+1=12(an+bn)，则 是首项为 1，公比为 的等比数列，再结合已知条件可推出 an+bn12 即可得出 是首项为 1，公差为 2 的等差数an+1-bn+1=an-bn+2an-bn列（2）结合（1）的结论把两个数列 、的通项公式相减，an+bnan-bn即可得出两个数列an和bn的通项公式。9.（2019北京）已知数列an，从中选取第 i1项、第 i2项第 im项（i1i2im）.若 ai1ai2aim.则称新数列 ai1 ，ai2 ，aim.为an的长度为 m 的递增子列.规定：数列an的任意一项都是an的长度为 1 的递增子列.12（I）写出数列 1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为 4 的递增子列；（II）已知数列an的长度为 P 的递增子列的末项的最小值为 am0 ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为 an0，若 pq，求证：am0an0；（III）设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若an的长度为 s 的递增子列末项的最小值为 2s-1，且长度为 s 末项为 2s-1 的递增子列恰有 2s-1个（s=1.2.），求数列an的通项公式。【答案】解：（I）1,3,5,6 或 1,3,5,9 或 1,3,6,9 或 3,5,6,9 或1,5,6,9（写出任意一个即可）；（II）设数列 的长度为 q 的一个递增数列为 且 anai1,ai2,ai3,.,aiq,aiq=an0；设数列 的长度为 p 的一个递增数列为 且 ；anaj1,aj2,aj3,.,ajp,ajp=am0因为 p ;aiq ajpan0am0（III）（用数学归纳法证明即可）.【考点】数列的应用 【解析分析】（I）根据题意直接写出符合题意的数列即可；（II）构造数列证明即可；（III）根据题意写出通项公式即可.10.（2019卷）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 Sn=-a5 （1）若 a3=4，求an的通项公式。（2）若 a10，求使得 Snan的 n 取值范围。【答案】（1）解：设 的公差为d an由 得 S9=-a5a1+4d=0由a3=4 得 a1+2d=4 13于是 a1=8,d=-2因此 的通项公式为 anan=10-2n（2）由（1）得 ，故 .a1=-4dan=(n-5)d,Sn=n(n-9)d2由 知 ，故 等价于 ，解得 1n10a1 0d 0d 0式求解集的方法结合 n 自身的取值范围，从而求出 n 的取值范围。