1、
2019年上海市高考数学试卷
2019.06.07
一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1. 已知集合，，则
2. 已知，且满足，求
3. 已知向量，，则与的夹角为
4. 已知二项式，则展开式中含项的系数为
5. 已知、满足，求的最小值为
6. 已知函数周期为1，且当，，则
7. 若，且，则的最大值
2、为
8. 已知数列前项和为，且满足，则
9. 过曲线的焦点并垂直于轴的直线分别与曲线交于、，在上
方，为抛物线上一点，，则
10. 某三位数密码，每位数字可在09这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有
两位数字相同的概率是
11. 已知数列满足（），若均在双曲线上，
则
12. 已知（，），与轴交点为，若对于图像
上任意一点，在其图像上总存在另一点（、Q异于），满足，且
，则
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知直线方
3、程的一个方向向量可以是（ ）
A. B. C. D.
14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
15. 已知，函数，存在常数，使得为偶函数，
则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
16. 已知，有下列两个结论：① 存在在第一
4、象限，在第三象限；② 存在在第二象限，在第四象限；则（ ）
A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，在长方体中，为上一点，已知，，，.
（1）求直线与平面的夹角；
（2）求点A到平面的距离.
18. 已知，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若在时有零点，求的取值范围.
19. 如图，为海岸线，AB为线段，为四分之
5、一圆弧，km，，，.
（1）求的长度；
（2）若km，求D到海岸线的最短距离.
（精确到0.001km）
20. 已知椭圆，、为左、右焦点，直线过交椭圆于A、B两点.
（1）若直线垂直于x轴，求；
（2）当时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；
（3）若直线交y轴于M，直线交y轴于N，是否存在直线l，使得，
若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由.
21. 数列有100项，，对任意，存在，
，若与前n项中某一项相等，则称具有性质P.
（1）若，，求所有可
6、能的值；
（2）若不是等差数列，求证：数列中存在某些项具有性质P；
（3）若中恰有三项具有性质P，这三项和为c，请用a、d、c表示.
参考答案
一. 填空题
1.
2. ，
3. ，
4. ，的系数为
5. ，线性规划作图，后求出边界点代入求最值，当，时，
6. ，
7. ，法一：，∴；
法二：由，（），求二次最值
8. ，由得：（），∴为等比数列，且，
，∴
9. ，依题意求得：，，设坐标为，
有：，带入有：，
即
10. ，法一：（分子含义：选相同数字选位置选第三个数字）；
法二：（分子含义：
7、三位数字都相同+三位数字都不同）
11. ，法一：由得：，∴，，利用两点间距离公式求解极限：；
法二（极限法）：当时，与渐近线平行，在轴投影为1，渐近线斜角满足：，∴
12.
二. 选择题
13. 选D，依题意：为直线的一个法向量，∴方向向量为
14. 选B，依题意：，
15. 选C，法一：依次代入选项的值，检验的奇偶性；
法二：，若为偶函数，则，且
也为偶函数（偶函数偶函数=偶函数），∴，当时，
16. 选D，取特殊值检验法：例如：令和，求是否存在（考试中，
若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在）
三. 解答题
17.（1）；（2）.
18.（1）；（2）.
19.（1）km；（2）35.752km.
20.（1）；（2），；（3）.
21.（1）3、5、7；（2）略；（3）.
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