河南中考数学探究题专项训练.doc

河南中考数学 第22题探究题训练
1. （1）问题发现
如图（1）,在△OAB和△OCD中,,连结AC、BD,填空:
①的值为_________;
②的度数为_________;
（2）类比探究
如图（2）,在△OAB和△OCD中,,
,连结AC,交BD的延长线于点M.请判断的值及的度数,并说明理由.
（3）拓展延伸
在（2）的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC、BD所在直线交于点M.若,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.

图1 图2

备用图

2. （1）问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连结BE.
填空:
①的度数为_________;
②线段AD、BE之间的数量关系为__________.
（2）拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连结BE.请判断的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由.
（3）解决问题
如图3,在正方形ABCD中,.若点P满足,且,请直接写出点A到BP的距离.

3. 如图,在等边三角形ABC中,点D、E分别是边AC、BC的中点,点D、E同时沿射线DE的方向以相同的速度运动,某一时刻分别运动到点M、N处,连结CM、CN、AM、BN.
（1）写出图（1）中的一对全等三角形;
（2）如图（2）所示,当点M在线段DE的延长线上时,画出示意图,判断（1）中所写的一对三角形是否仍然全等,并说明理由;
（3）在点D运动的过程中,若△ACM是直角三角形,请直接写出此时线段CN的长度.

4. 【问题发现】
（1）如图（1）四边形ABCD中,若,则线段BD、AC的位置关系为__________;
【拓展探究】
（2）如图（2）,在Rt△ABC中,点F为斜边BC的中点,分别以AB、AC为底边,在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,连结FD、FE,分别交AB、AC于点M、N.试猜想四边形FMAN的形状,并说明理由;
【解决问题】
（3）如图（3）,在正方形ABCD中,,以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转,得到正方形,请直接写出的长度.

5. 如图（1）,菱形ABCD的边长为2,,对角线AC、BD交于点O.
（1）操作发现
小芳同学将△CBD绕点O旋转得到△CEF,当CF落在AD上时,如图（2）,连结ED,请直接写出ED与AC的位置关系和数量关系;
（2）问题解决
小芳同学继续旋转△CEF（A、C不重合）,如图（3）,连结ED、AC,她认为（1）中的结论仍然成立,你同意吗?请说明理由;
（3）深入思考
若直线ED与直线AC的交点为H,请直接写出BH的最大值.

6. （1）如图（1）,在矩形ABCD中,,且的直角顶点在BC边上,.
①特殊情形
若MP过点A,NP过点D,则_________;
②类比探究
如图（2）,将绕点P按逆时针方向旋转,使PM交AB边于点E,PN交AD边于点F,当点E与点B重合时,停止旋转.在旋转过程中,的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由;
（2）拓展探究
如图（3）,在Rt△ABC中,,,⊙A的半径为1, 点E是⊙A上一动点, ,CF交AD于点F. 请直接写出当△AEB为直角三角形时,的值.

7. 如图,在△ABC中,,点D是射线BC上一动点,过点B作,垂足为点E,交直线AC于点P.
【问题发现】
（1）如图（1）,若点D在BC的延长线上,且点E在线段AD上,试猜想AP、CD、BC之间的数量关系为____________;
【类比探究】
（2）如图（2）,若点D在线段BC上,试猜想AP、CD、BC之间的数量关系,并说明理由;
【拓展应用】
（3）当点E为BP的中点时,直接写出线段CD的长度.

8. 观察猜想
（1）如图（1）,在Rt△ABC中,,点D与点A重合,点E在边BC上,连结DE,将线段DE绕点D顺时针旋转得到线段DF.连结BF.
BE与BF的位置关系是________________;
__________;
探究证明
（2）在（1）中,如果将点D沿AB方向移动,使,其余条件不变,如图（2）,判断BE与BF的位置关系,并求的值,请写出你的理由或计算过程;
拓展延伸
（3）如图（3）,在△ABC中,,点D在边BA的延长线上,,点E在边BC上,连结DE,将线段DE绕点D顺时针旋转,旋转角,连结BF,则的值是多少?请用含的式子直接写出结论.

9. 【问题引入】
（1）如图（1）,在Rt△ABC中,,点D为平面内一点,且,
,连结CD,求CD的长.

下面是小明的解题思路:
如图（2）,过点D作,过点A作AD的垂线,交DE于点E.
∵
∴
∴△ADE为等腰直角三角形
∴
在△BAE和△CAD中,
∴△BAE≌△CAD
∴
………………
请根据小明的解题思路直接写出CD的长度;
【类比探究】
（2）若将图（1）中的△ABD沿AB翻折,得到△,连结,如图（3）所示,请类比上述方法,求线段的长;
【拓展延伸】
（3）将图（1）中的△ABC改成等边三角形ABC,点D为BC下方一点,且
,如图（4）,若,求线段CD的长.

10. 问题情景
已知等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形AED,,点M、N分别是DB、EC的中点,连结MN.
大胆猜想
（1）如图（1）,当点E在AB上,且点C和点D恰好重合时,探索MN与EC之间的数量关系,并加以证明;
尝试类比
（2）如图（2）,当点D在AB上,点E在△ABC外部时,（1）中的结论还成立吗?若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由;
拓展延伸
（3）如图（3）,将图（2）中的等腰直角三角形AED绕点A逆时针旋转
,请猜想MN与EC之间的位置关系和数量关系.（不必证明）

11. 问题发现
（1）如图（1）,在Rt△ABC中,,点D、E分别在AB、AC边上,且,设BD、CE所在直线的夹角为.
填空:BD与CE的比值为_________,_________;
拓展探究
（2）将Rt△ADE绕点A逆时针旋转,连结BD、CE,在旋转的过程中,（1）中的结论是否仍然成立?若成立,请仅就图（2）中的情形给出证明;若不成立,请说明理由;
问题解决
在Rt△ADE绕点A逆时针旋转的过程中,当E、C、B三点共线时,请直接写出点D到EC的距离.

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