题库-数学中考综合与实践探究.doc

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综合与实践探究
1. 阅读材料：如图①，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）
（1）【理解与应用】
如图②，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为 .
（2）【类比与推理】
如图③，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值；
（3）【拓展与延伸】
如图④，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD交BD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

第1题图
解：（1）;
【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°．
∵AB=BC=2，
∴AC=2，
∴OA=．
∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE+PF=OA=;
（2） ∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°．
∵AB=4，AD=3，
∴BD=5，
∴OA=OB=OC=OD=．
∵PE∥OB，PF∥AO，
∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA,
∴，，
∴=1，
∴=1，
∴EP+FP=，
即PE+PF的值为；
（3）当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是定值．
理由：连接OA、OB、OC、OD，如解图，

第1题解图
∵DG与⊙O相切，
∴∠GDA=∠ABD=30°．
∴∠AOD=2∠ABD=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OA=4，
同理可得：BC=4，
∵PE∥BC，PF∥AD，
∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA，
∴,，
∴=1，
∴=1，∴PE+PF=4，
∴当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF=4．
2. 已知，在矩形ABCD中，AB=10 cm，AD=4 cm，作如下折叠操作．如图①和图②所示，在边AB上取点M，在边AD或边DC上取点P．连接MP．将△AMP或四边形AMPD沿着直线MP折叠得到△A′MP或四边形A′MPD′，点A的落点为点A′，点D的落点为点D′．
探究：
（1）如图①，若AM=8 cm，点P在AD上，点A′落在DC上，则∠MA′C的度数为 ；
（2）如图②，若AM=5 cm，点P在DC上，点A′落在DC上，
①求证：△MA′P是等腰三角形；
②直接写出线段DP的长；
（3）若点M固定为AB中点，点P由A开始，沿A-D-C方向在AD，DC边上运动．设点P的运动速度为1 cm/s，运动时间为t s，按操作要求折叠．
①求：当MA′与线段DC有交点时，t的取值范围；
②直接写出当点A′到边AB的距离最大时，t的值；
发现：
若点M在线段AB上移动，点P仍为线段AD或DC上的任意点．随着点M位置的不同，按操作要求折叠后，点A的落点A′的位置会出现以下三种不同的情况：不会落在线段DC上，只有一次落在线段DC上，会有两次落在线段DC上．请直接写出点A′有两次落在线段DC上时，AM的取值范围是 .

第2题图
解：（1）如解图①，过点M作MN⊥DC交DC于点N，

第2题解图①
∵四边形ABCD是矩形，
∴MN=BC=4，
∵将△AMP沿着直线MP折叠得到△A′MP，
∴AM=A′M=8=2MN，
∴在Rt△A′MN中，∠MA′C=30°；
（2）①∵A′P与AM是矩形ABCD的对边CD，AB的一部分，
∴A′P∥AM，
∴∠A′PM =∠AMP，
由翻折的性质得：∠AMP =∠A′MP，
∴∠A′PM =∠A′MP，
∴A′P =A′M，
∴△MA′P是等腰三角形；
②DP =3 cm.
【解法提示】∵△MA′P是等腰三角形，
∴PM=AM=A′M=5 cm，
∵DA=4 cm，
∴DP=5-2=3cm，
∴线段DP的长是3 cm；
（3）①当点P在AD上，点A′落在DC上时，如解图①所示，
过点M作MN⊥DC交DC于点N，
则四边形AMND为矩形，DN =AM =5 cm，MN =4 cm，
设AP为x cm，则由翻折的性质得：
AM =A′M =5 cm，AP =A′P =x cm，
在Rt△A′MN中，A′N =＝3 cm，
∴DA′ =DN-A′N =5-3 =2 cm，
在Rt△A′PD中，
A′P2=A′D2+PD2，
即：x2=22+（4-x）2，
解得：x=2.5，此时t=2.5 s；
当点P在DC上，点A′落在DC上时，如题图②，
可知DP=3 cm，此时，t=7 s，
当MA′与DC有交点时，t的取值范围是：2.5≤t≤7；
②当点A′到边AB的距离最大时，
即A′M⊥AB时，t的值为5 s；
发现：当点A的落点A′，在以M为圆心，MA为半径的圆上，当圆M与线段CD有唯一交点时，如解图②所示，

第2题解图②
此时AM =4 cm；
当圆M交线段CD于点C时，如解图③所示，

第2题解图③
此时AM =5.8 cm，
所以4＜AM≤5.8．

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