2019年上海市九年级中考数学第一轮模拟试卷含解析.doc

2019年上海市九年级中考数学第一轮模拟试卷含解析
一、选择题（本大题共6题,每题4分,满分24分)
1．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论正确的是（　　）

A．AC：AE＝1：3 B．CE：EA＝1：3 C．CD：EF＝1：2 D．AB：CD＝1：2
2．（4分）下列命题中，正确的是（　　）
A．两个直角三角形一定相似
B．两个矩形一定相似
C．两个等边三角形一定相似
D．两个菱形一定相似
3．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（　　）
A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣1
4．（4分）如图，直角坐标平面内有一点P（2，4），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值为（　　）

A．2 B． C． D．
5．（4分）设m，n为实数，那么下列结论中错误的是（　　）
A．m（n）＝（mn） B．（m+n）＝m+n
C．m（）＝m+m D．若m＝，那么＝
6．（4分）若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（　　）
A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能确定
二、填空题（本大题共12题,每题4分,满分48分)
7．（4分）抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是　 　．
8．（4分）将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得图象的对称轴为　 　．
9．（4分）请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式：　 　．
10．（4分）若2||＝3，那么3||＝　 　．
11．（4分）甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，那么图上4.5cm的两地之间的实际距离为　 　千米．
12．（4分）如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于　 　．
13．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sinB＝　 　．
14．（4分）直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm，那么该直角三角形的斜边长为　 　．
15．（4分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD＝∠CEA，若3AE＝2BD，BE＝1，那么DC＝　 　．

16．（4分）⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，若⊙C与⊙O有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是　 　．
17．（4分）我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于　 　．
18．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为　 　．

三、解答题（本大题共7题,满分78分)
19．（10分）计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．
20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF•CE＝AB2．

21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．
（1）求的值；
（2）设＝，＝，求（用含、的式子表示）．

22．（10分）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．
（1）求CF的长；
（2）求∠D的正切值．

23．（12分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．
参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．

24．（12分）如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y＝x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为．
（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；
（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP＝S△BCP，求m的值．

25．（14分）如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB＝5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB交于点F．
（1）若AP＝，求DE的长；
（2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长；
（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．

2019年上海市宝山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题,每题4分,满分24分)
1．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴AC：CE＝BD：DF＝1：2，
即CE＝2AC，
∴AC：CE＝1：3，CE：EA＝2：3．
故选：A．
2．【解答】解：两个直角三角形不一定相似，两个矩形不一定相似，两个菱形不一定相似，而两个等边三角形一定相似．
故选：C．
3．【解答】解：把（1，﹣2）代入y＝ax2﹣1得a﹣1＝﹣2，解得a＝﹣1．
故选：D．
4．【解答】解：过点P作PA⊥x轴于点A．
由于点P（2，4），
∴PA＝4，OA＝2
∴cotα＝＝．
故选：B．

5．【解答】解：A、如果m、n为实数，那么m（n）＝（mn），故本选项结论正确；
B、如果m、n为实数，那么（m+n）＝m+n，故本选项结论正确；
C、如果m、n为实数，那么m（）＝m+m，故本选项结论正确；
D、如果m为实数，那么若m＝，那么m＝0或＝，故本选项结论错误．
故选：D．
6．【解答】解：∵圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），
∴AP＝＝4＜5，
∴点P在⊙A内，
故选：A．
二、填空题（本大题共12题,每题4分,满分48分)
7．【解答】解：抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．
故答案是：（0，﹣1）．
8．【解答】解：将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得解析式为：y＝2（x﹣3）2，
故其图象的对称轴为：直线x＝3．
故答案为：直线x＝3．
9．【解答】解：∵开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式，
∴可以设顶点坐标为（0，2），故解析式为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．
10．【解答】解：由2||＝3得到：||＝，
故3||＝3×＝．
故答案是：．
11．【解答】解：∵甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，
∴比例尺＝＝，
设图上4.5cm的两地之间的实际距离为xcm，则
＝，
解得x＝22500000，
∵22500000cm＝225km，
∴图上4.5cm的两地之间的实际距离为225千米．
故答案为：225．
12．【解答】解：∵两个相似三角形的周长的比等于1：4，
∴它们的相似比为1：4，
∴它们的面积的比等于1：16．
故答案为：1：16．
13．【解答】解：由题意，得
sinB＝＝，
故答案为：．
14．【解答】解：由题意得，CG＝4，
∵点G是△ABC的重心，
∴CD＝CG＝6，CD是△ABC的中线，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
∴AB＝2CD＝12（cm），
故答案为：12cm．

15．【解答】解：∵AB∥DC，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵∠ABD＝∠CEA，
∴∠AEB＝∠BDC，
∴∠EAB＝180°﹣∠AEB﹣∠ABE，∠CBD＝180°﹣∠ABD﹣∠ABE，
∴∠EAB＝∠CBD，
∴△AEB∽△BDC，
∴＝，
∵3AE＝2BD，BE＝1，
∴CD＝，
故答案为：．
16．【解答】解：∵⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，
∴CA＝8，
∵⊙C与⊙O有公共点，即⊙C与⊙O相切或相交，
∴r＝2或r＝8或2＜r＜8，即2≤r≤8．
故答案为2≤r≤8．
17．【解答】解：设等腰三角形的底边长为a，
|5﹣a|＝3，
解得，a＝2或a＝8，
当a＝2时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，
当a＝8时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，
故答案为：或
18．【解答】解：过点C'作C'D⊥BC于点D，

∵A'C∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠C'AC＝∠ACB＝90°，且C'D⊥BC，
∴四边形C'DCA是矩形，
∴CD＝AC'，C'D＝AC＝4，
∵折叠
∴BC'＝BC＝5，CP＝C'P，
在Rt△BDC'中，BD＝＝3
∴CD＝BC﹣BD＝2
∴AC'＝2，
在Rt△AC'P中，C'P2＝C'A2+AP2，
∴CP2＝4+（4﹣CP）2，
∴CP＝
故答案为：
三、解答题（本大题共7题,满分78分)
19．【解答】解：原式＝×+×
＝．
20．【解答】证明：∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠EAF+∠BAE＝∠BAF，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△ABF∽△ECA，
∴AB：CE＝BF：AC，
∴BF•EC＝AB•AC＝AB2．
21．【解答】解：（1）∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A
∴△ADE∽△ACB，
∴＝＝＝，即＝．

（2）＝+＝﹣+．
22．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAC+∠CAF＝90°，
∴∠B＝∠CAF，
∴△ABC∽△FAC，
∴＝，即＝，
解得CF＝；

（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，

∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
则CH＝＝，
∴AH＝＝，EH＝AE﹣AH＝，
∴tanD＝tan∠ECH＝＝．
23．【解答】解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，
由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，
则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，
∵tan∠BQD＝，
∴tan14°＝，
即0.25＝，
解得，ED＝18，
∴AC＝ED＝18，
∵BC＝7.5，
∴tan∠BAC＝＝，
即电梯AB的坡度是5：12，
∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，
∴AB＝＝19.5，
即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．

24．【解答】解：（1）∵y＝x﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，
当y＝0时，x﹣3＝0，解得x＝6，
∴点B（6，0），C（0，﹣3），
∵tan∠OCA＝＝，
∴OA＝2，即A（2，0），
将A（2，0）代入y＝x2+bx，得4+2b＝0，
解得b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
则抛物线解析式为y＝x2﹣2x，顶点P的坐标为（1，﹣1）；

（2）如图，

由平移知点P′坐标为（1，﹣1﹣m），
设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，则M（1，﹣），
S△ABP′＝AB•P′H＝×4（m+1）＝2（m+1），
S△BCP′＝S△P′MC+S△P′MB＝P′M•OB＝|﹣1﹣m+|×6＝3|﹣m|，
∴2（m+1）＝3|﹣m|，
解得m＝或m＝．
25．【解答】解：（1）如图1中，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H．

∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝∠H＝90°，
∴四边形AHCB是矩形，
∴AB＝CH＝5，∵CD＝3，
∴DH＝CH﹣CD＝2，
∵∠HAB＝90°，∠DAB＝45°，
∴∠HAD＝∠HDA＝45°
∴HD＝AH＝2，AE＝AP＝，
根据勾股定理得，HE＝＝3，则ED＝1；
（2）连接CP，设AP＝x．

∵AB∥CD，
∴∠EPA＝∠CEP，即等腰△APE、等腰△PEC两个底角相等，
∴△APE∽△PEC，∴＝，
即：PE2＝AE•CE，
而EC＝2PB＝2（5﹣x），
即：PC2＝CE•AP＝2（5﹣x）x，
而PC2＝PB2+BC2，即：PC2＝（5﹣x）2+22，
∴2（5﹣x）x＝（5﹣x）2+22，
解得：x＝（不合题意值已舍去），
即：AP＝；

（3）如图3中，在线段CF上取一点G，连接EG．

设∠F＝α，则∠APE＝∠AEP＝∠BPF＝90°﹣α，
则：∠EAP＝180°﹣2∠APE＝2α，
∵△ADE∽△FGE，设∠DAE＝∠F＝α，
由∠DAB＝45°，可得3α＝45°，2α＝30°，
在Rt△ADH中，AH＝DH＝2，
在Rt△AHE中，∠HEA＝∠EAB＝2α＝30°，∠HAE＝60°，
∴HE＝AH•tan∠HAE＝2，
∴DE＝HE﹣HD＝2﹣2，
EC＝HC﹣HE＝5﹣2，
∵△ADE∽△FGE，
∴∠ADC＝∠EGF＝135°，
则∠CEG＝45°，
∴EG＝EC＝5﹣2，
∴＝，
即：＝，
解得：FG＝3﹣1．

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