中考数学一元二次方程应用题经典题型汇总.pdf

一元二次方程应用题经典题型汇总一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题一、增长率问题例 1恒利商厦九月份的销售额为 200 万元，十月份的销售额下降了 20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 193.6 万元，求这两个月的平均增长率.解解:设这两个月的平均增长率是 x.，则根据题意，得 200(120%)(1+x)2193.6，即(1+x)21.21，解这个方程，得 x10.1，x22.1（舍去）.答这两个月的平均增长率是 10%.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式 m(1+x)2n 求解，其中 mn.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式 m(1x)2n 即可求解，其中 mn.二、商品定价二、商品定价例 2益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价 a 元，则可卖出（35010a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过 20%，商店计划要盈利 400 元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解解根据题意，得(a21)(35010a)400，整理，得 a256a+7750，解这个方程，得 a125，a231.因为 21(1+20%)25.2，所以 a2=31 不合题意，舍去.所以 35010a3501025100（件）.答需要进货 100 件，每件商品应定价 25 元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.三、储蓄问题三、储蓄问题例 3王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的 500 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90%，这样到期后，可得本金和利息共530 元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）解解设第一次存款时的年利率为 x.则根据题意，得1000(1+x)500(1+0.9x)530.整理，得 90 x2+145x30.解这个方程，得 x10.02042.04%，x21.63.由于存款利率不能为负数，所以将x21.63 舍去.答第一次存款的年利率约是 2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.四、趣味问题四、趣味问题例 4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽 4 米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高 2 米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解解设渠道的深度为 xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)x1.8，整理，得 x2+0.8x1.80.12解这个方程，得 x11.8（舍去），x21.所以 x+1.4+0.11+1.4+0.12.5.答渠道的上口宽 2.5m，渠深 1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.五、古诗问题五、古诗问题例 5读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为 x，则十位数字为 x3.则根据题意，得 x210(x3)+x，即 x2-11x+300，解这个方程，得 x5 或 x6.当 x5 时，周瑜的年龄 25 岁，非而立之年，不合题意，舍去；当 x6 时，周瑜年龄为 36 岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为 36 岁.说明本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.六、象棋比赛六、象棋比赛例 6象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记 2 分，输者记 0分.如果平局，两个选手各记 1 分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解解设共有 n 个选手参加比赛，每个选手都要与(n1)个选手比赛一局，共计 n(n1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为n(n1)局.由于每局共计 2 分，所以全部选手得分总共为 n(n1)分.显然(n1)与 n 为相12邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是 0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是 1980，于是由 n(n1)1980，得n2n19800，解得 n145，n244（舍去）.答参加比赛的选手共有 45 人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.七、情景对话七、情景对话例 7春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图 1 对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游.因为 1000252500027000，所以员工人数一定超过 25 人.则根据题意，得100020(x25)x27000.整理，得 x275x+13500，解这个方程，得 x145，x230.当 x45 时，100020(x25)600700，故舍去 x1；当 x230 时，100020(x25)900700，符合题意.答：该单位这次共有 30 名员工去天水湾风景区旅游.说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.八、等积变形八、等积变形例 8将一块长 18 米，宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到 0.1m）（1）设计方案 1（如图 2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案 2（如图 3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图 2 中的小路的宽和图 3 中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.解都能.（1）设小路宽为 x，则 18x+16xx21815，即 x234x+1800，23解这个方程，得 x，即 x6.6.344362（2）设扇形半径为 r，则 3.14r2 1815，即 r257.32，所以 r7.6.图 1如果人数超过 25 人，每增加1 人，人均旅游费用降低 20 元，但人均旅游费用不得低于 700元.如果人数不超过 25 人，人均旅游费用为 1000 元.说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.九、动态几何问题九、动态几何问题例 9如图 4 所示，在ABC 中，C90，AC6cm，BC8cm，点 P 从点 A 出发沿边 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 C 点出发沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动.（1）如果 P、Q 同时出发，几秒钟后，可使PCQ 的面积为 8 平方厘米？（2）点 P、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ 的面积等于ABC 的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.解因为C90，所以 AB10（cm）.22ACBC2268（1）设 xs 后，可使PCQ 的面积为 8cm2，所以 APxcm，PC(6x)cm，CQ2xcm.则根据题意，得(6x)2x8.整理，得 x26x+80，解这个方程，得 x12，x24.12所以 P、Q 同时出发，2s 或 4s 后可使PCQ 的面积为 8cm2.（2）设点 P 出发 x 秒后，PCQ 的面积等于ABC 面积的一半.则根据题意，得(6x)2x68.整理，得 x26x+120.121212由于此方程没有实数根，所以不存在使PCQ 的面积等于 ABC 面积一半的时刻.说明本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程速度时间.十、梯子问题十、梯子问题例 10一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角 6m.（1）若梯子的顶端下滑 1m，求梯子的底端水平滑动多少米？图 2QPCBA图 4 图 3（2）若梯子的底端水平向外滑动 1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解依题意，梯子的顶端距墙角8（m）.22106（1）若梯子顶端下滑 1m，则顶端距地面 7m.设梯子底端滑动 xm.则根据勾股定理，列方程 72+(6+x)2102，整理，得 x2+12x150，解这个方程，得 x11.14，x213.14（舍去），所以梯子顶端下滑 1m，底端水平滑动约 1.14m.（2）当梯子底端水平向外滑动 1m 时，设梯子顶端向下滑动 xm.则根据勾股定理，列方程(8x)2+(6+1)2100.整理，得 x216x+130.解这个方程，得 x10.86，x215.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑动 1m，则顶端下滑约 0.86m.（3）设梯子顶端向下滑动 xm 时，底端向外也滑动 xm.则根据勾股定理，列方程(8x)2+(6+x)2102，整理，得 2x24x0，解这个方程，得 x10（舍去），x22.所以梯子顶端向下滑动 2m 时，底端向外也滑动 2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题十一、航海问题例 11如图 5 所示，我海军基地位于 A 处，在其正南方向 200海里处有一重要目标 B，在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标C，小岛 D 恰好位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC上且恰好处于小岛 D 的正南方向，一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.（1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里？FEDCBA图 5（2）已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到 0.1 海里）解（1）F 位于 D 的正南方向，则 DFBC.因为 ABBC，D 为 AC 的中点，所以DFAB100 海里，所以，小岛 D 与小岛 F 相距 100 海里.12（2）设相遇时补给船航行了 x 海里，那么 DEx 海里，AB+BE2x 海里，EFAB+BC(AB+BE)CF(3002x)海里.在 RtDEF 中，根据勾股定理可得方程 x21002+(3002x)2，整理，得3x21200 x+1000000.解这个方程，得 x1200118.4，x2200+（不合题意，舍去）.100 63100 63所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 海里.说明求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息十二、图表信息例 12如图 6 所示，正方形 ABCD 的边长为 12，划分成 1212 个小正方形格，将边长为 n（n 为整数，且 2n11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张 nn 的纸片正好盖住正方形 ABCD 左上角的 nn 个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n1)(n1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形 ABCD 的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长 n 的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长 n23456使用的纸片张数（2）设正方形 ABCD 被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为 S1，未被盖住的面积为 S2.当 n2 时，求 S1S2的值；是否存在使得 S1S2的 n 值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.（2）S1n2+(12n)n2(n1)2n2+25n12.当 n2 时，S122+2521234，S2121234110.所以 S1S2341101755.若 S1S2，则有n2+25n12122，即 n225n+840，12解这个方程，得 n14，n221（舍去）.所以当 n4 时，S1S2.所以这样的 n 值是存在的.说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题十三、探索在在问题例 13将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.解（1）设剪成两段后其中一段为 xcm，则另一段为（20 x）cm.则根据题意，得+17，解得 x116，x24，24x2204x当 x16 时，20 x4，当 x4 时，20 x16，答这段铁丝剪成两段后的长度分别是 4cm 和 16cm.（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为 ycm，则另一段为（20y）cm.则由题意得+12，整理，得 y220y+1040，移项并配方，得(y10)24y2204y240，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为 12cm2.图 6说明本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的 b24ac 来判定.若 b24ac0，方程有两个实数根，若 b24ac0，方程没有实数根，本题中的 b24ac160 即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题十四、平分几何图形的周长与面积问题例 14如图 7，在等腰梯形 ABCD 中，ABDC5，AD4，BC10.点 E在下底边 BC上，点 F 在腰 AB 上.（1）若 EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长，设 BE 长为 x，试用含 x 的代数式表示BEF 的面积；（2）是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时分成 12 的两部分？若存在，求此时 BE 的长；若不存在，请说明理由.解（1）由已知条件得，梯形周长为 12，高 4，面积为 28.过点 F 作 FGBC 于 G，过点 A 作 AKBC 于 K.则可得，FG4，125x所以 SBEFBEFGx2+x（7x10）.1225245（2）存在.由（1）得x2+x14，解这个方程，得 x17，x25（不合题意，25245舍去），所以存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长与面积同时平分，此时 BE7.（3）不存在.假设存在，显然有 SBEFS多边形 AFECD 12，即(BE+BF)(AF+AD+DC)12.则有x2+x，25165283整理，得 3x224x+700，此时的求根公式中的 b24ac5768400，所以不存在这样的实数 x.即不存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时分成12 的两部分FEDCBA图 7KG说明求解本题时应注意：一是要能正确确定 x 的取值范围；二是在求得 x25 时，并不属于 7x10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律十五、利用图形探索规律例 15在如图 8 中，每个正方形有边长为 1 的小正方形组成：（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长1357n（奇数）黑色小正方形个数正方形边长2468n（偶数）黑色小正方形个数（2）在边长为 n（n1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为 P1，白色小正方形的个数为 P2，问是否存在偶数 n，使 P25P1？若存在，请写出 n 的值；若不存在，请说明理由.解（1）观察分析图案可知正方形的边长为 1、3、5、7、n 时，黑色正方形的个数为 1、5、9、13、2n1（奇数）；正方形的边长为 2、4、6、8、n 时，黑色正方形的个数为 4、8、12、16、2n（偶数）.（2）由（1）可知 n 为偶数时 P12n，所以 P2n22n.根据题意，得n22n52n，即 n212n0，解得 n112，n20（不合题意，舍去）.所以存在偶数n12，使得 P25P1.说明本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.图 8