高一数学求函数解析式定义域与值域的常用方法(含答案).pdf

用心教育 用心成长1高一数学求函数的定义域与值域的常用方法高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一.求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二.求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出 y。（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数 fg（x）的表达式，求 f（x）的表达式时可以令 tg（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出 f（x）和 f（x），或 f（x）和 f（1/x）的一个方程，则可以 x 代换x（或 1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去 f（x）（或 f（1/x）即可求出 f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出 y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数 yfg（x）的定义域的求解，应先由 yf（u）求出 u 的范围，即 g（x）的范围，再从中解出 x 的范围 I1；再由 g（x）求出 yg（x）的定义域 I2，I1和 I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。例 1.已知2211()xxxfxx，试求()f x。解：解：设1xtx，则11xt，代入条件式可得：2()1f ttt，t1。故得：2()1,1f xxxx。说明：说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。例 2.（1）已知21()2()345f xfxxx，试求()f x；（2）已知2()2()345f xfxxx，试求()f x；用心教育 用心成长2解：解：（1）由条件式，以1x代 x，则得2111()2()345ff xxxx，与条件式联立，消去1fx，则得：222845333xf xxxx。（2）由条件式，以x 代 x 则得：2()2()345fxf xxx，与条件式联立，消去fx，则得：2543f xxx。说明：说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。例例 4.求下列函数的解析式：（1）已知是二次函数，且，求；)(xf1)()1(,2)0(xxfxff)(xf（2）已知，求，；xxxf2)1()(xf)1(xf)(2xf（3）已知，求；xxxxxf11)1(22)(xf（4）已知，求。3)(2)(3xxfxf)(xf【思路分析思路分析】【题意分析题意分析】（1）由已知是二次函数，所以可设，设法求出即可。)(xf)0()(2acbxaxxfcba,（2）若能将适当变形，用的式子表示就容易解决了。xx21x（3）设为一个整体，不妨设为，然后用 表示，代入原表达式求解。xx1ttx（4），同时使得有意义，用代替建立关于，的两个方程就行了。xx)(xfxx)(xf)(xf【解题过程解题过程】设，由得，)0()(2acbxaxxf,2)0(f2c由，得恒等式，得。1)()1(xxfxf12xbaax23,21ba故所求函数的解析式为。22321)(2xxxf（2），1)1(112)(2)1(22xxxxxxf又。)1(1)(,11,02xxxfxx（3）设，1,11,1ttxtxx则则1)1()1(111111)1()(22222ttttxxxxxxxftf所以。)1(1)(2xxxxf（4）因为 3)(2)(3xxfxf用代替得 xx3)(2)(3xxfxf解式得。53)(xxf【题后思考题后思考】求函数解析式常见的题型有：（1）解析式类型已知的，如本例，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式，顶点式和标根式的选择；)0(2acbxaxykhxay2)()(21xxxxay（2）已知求的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本例（2）（3）；)(xgf)(xf用心教育 用心成长3（3）函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（4）。若函数方程中同时出现，则一)(xf)(xf)1(xf般将式中的用代替，构造另一方程。xx1特别注意：求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域。二：求函数定义域二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例 3.求324xyxx的定义域。解：解：由题意知：204xx，从而解得：x2 且 x4.故所求定义域为：x|x2 且 x4。例 2.求下列函数的定义域：（1）；（2）35)(xxxfxxxf11)(【思路分析思路分析】【题意分析题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次方被开方数为非负数。【解题过程解题过程】（1）要使函数有意义，则，在数轴上标出，即35,0305xxxx即。故函数的定义域为.当然也可表示为53,33,3xxx或或5,3()3,3()3,(。5x3,33,3或或xxx（2）要使函数有意义，则，从而函数的定义域为。1,11,0101xxxxx所以即1x|x【题后思考题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的的范围的交集，利用数轴可便于解决问题。求函数的定义域时不应化简解析式；定x义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。例 4.已知函数由下表给出，求其定义域X123456Y2231435617解：解：1，2，3，4，5，6。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数 f（u）的定义域可以确定内函数 g（x）的范围，从而解得 xI1，又由 g（x）定义域可以解得 xI2.则 I1I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。用心教育 用心成长42()3,(),()43xf xxg xyf g xxx例8 已知求的定义域.解：解：2()33()3343xf xxxg xxx由 又由于 x24x30 *联立*、*两式可解得：93 393 3134493 393 3|1344xxxxx或故所求定义域为或例 9.若函数 f（2x）的定义域是1，1，求 f（log2x）的定义域。解：解：由 f（2x）的定义域是1，1可知：212x2，所以 f（x）的定义域为21，2，故log2x21，2，解得24x，故定义域为2,4。三：求函数的值域与最值三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。1、分离变量法例 11.求函数231xyx的值域。解：解：2112312111xxyxxx，因为101x，故 y2，所以值域为y|y2。说明：说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量 x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法例 12.求函数 y2x24x 的值域。解：解：y2x24x2（x22x1）22（x1）222，故值域为y|y2。说明：说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如 yaf2（x）bf（x）c。3、判别式法例 13.求函数2223456xxyxx的值域。解：解：2223456xxyxx可变形为：（4y1）x2（5y2）x6y30，由 0 可解得：266 3 266 3,7171y。说明：说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个用心教育 用心成长5关于 x 的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故 0。4、单调性法例 14.求函数23yx，x4，5的值域。解：解：由于函数23yx为增函数，故当 x4 时，ymin25；当 x5 时，ymax513，所以函数的值域为5 13,2 5。5、换元法例 15.求函数24 1yxx的值域。解：解：令10tx，则 y2t24t2（t1）24，t0，故所求值域为y|y4。例例 3.求下列函数的值域：（1）5,4,3,2,1,12xxy（2）1xy（3）2211xxy（4）)25(,322xxxy【思路分析思路分析】【题意分析题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域上的函数A，其值域就是指集合；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据。)(xfy Ax),x(fyyC【解题过程解题过程】（1）将的值域为。，1x2y5,4,3,2,1x中计算分别代入得出函数1,19,5,73，（2），即所求函数的值域为或用换元法，令的11,0 xx),1 )0(1),0(ttytxt值域为。),1 （3）函数的定义域为 R。,12111222xxxy。1,1(y,2x120,1x122yxyxyxyxxy1)1(11122222。1,1(,0112yyyx得到故所求函数的值域为（1，1。（4）114,25,4)1(3222xxxxxy所以函数的值域为12，3。.3)1(412,16)1(122xx【题后思考题后思考】求函数的值域问题关键是将函数的解析式变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步用心教育 用心成长6推出所求函数的值域，有时还需要结合函数的图象进行分析。【模拟试题模拟试题】(答题时间：30 分钟)一.选择题1、函数 yf（x）的值域是2，2，则函数 yf（x1）的值域是（）A.1，3 B.3，1 C.2，2 D.1，12、已知函数 f（x）x22x，则函数 f（x）在区间2，2上的最大值为（）A.2 B.4 C.6 D.83、一等腰三角形的周长为 20，底边长 y 是关于腰长 x 的函数，那么其解析式和定义域是（）A.y202x（x10）B.y202x（x10）C.y202x（4x10）D.y202x（5x10）4、二次函数 yx24x4 的定义域为a，b（ab），值域也是a，b，则区间a，b是（）A.0，4 B.1，4 C.1，3 D.3，45、函数 yf（x2）的定义域是3，4，则函数 yf（x5）的定义域是（）A.0，1 B.3，4 C.5，6 D.6，76、函数22234xyxx的值域是（）317317317317.,.,4444317317317317.(,).(,)(,)4444ABCD 7、（2007 安徽）图中的图像所表示的函数的解析式是（）333.1(02).1(02)2223.1(02).11(02)2A yxxB yxxC yxxD yxx 二.填空题8、若 f（x）（xa）3对任意 xR 都有 f（1x）f（1x），则 f（2）f（2）；9、若函数2()2f xx的值域为1,3，则其定义域为 ；三.解答题10、求函数5342xxyx的定义域。用心教育 用心成长711、已知221,2(),2xxxf xx x，若 f（a）3，求 a 的值。12、已知函数 f（x）满足 2f（x）f（x）x24x，试求 f（x）的表达式。习题讲解：习题讲解：1.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=0),2()1(0),1(log2xxfxfxx，则 f（2009）的值为()A.-1 B.0 C.1 D.2答案:C.【解析】:由已知得2(1)log 21f,(0)0f,(1)(0)(1)1fff,(2)(1)(0)1fff,(3)(2)(1)1(1)0fff ,(4)(3)(2)0(1)1fff,(5)(4)(3)1fff,(6)(5)(4)0fff,所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f（2009）=f（5）=1,故选 C.【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.2.设函数0,60,64)(2xxxxxxf则不等式)1()(fxf的解集是（）A ),3()1,3(B),2()1,3(C),3()1,1(D)3,1()3,(答案：A【解析】由已知，函数先增后减再增当0 x，2)(xf3)1(f令,3)(xf解得3,1xx。当0 x，3,36xx故3)1()(fxf，解得313xx或【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。3.已知函数)(xf是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有)()1()1(xfxxxf，则)25(f的值是用心教育 用心成长8A.0 B.21 C.1 D.25答案：A【解析解析】若x0，则有)(1)1(xfxxxf，取21x，则有：)21()21()21(21211)121()21(fffff（)(xf是偶函数，则)21()21(ff）由此得0)21(f于是，0)21(5)21(2121135)121(35)23(35)23(23231)123()25(fffffff4.若1()21xf xa是奇函数，则a 答案12【解析】解法 112(),()()211 2xxxfxaa fxf x 21121()211 2211 21 22xxxxxxaaaa 故5.已知函数3,1,(),1,xxf xxx若()2f x，则x .答案答案3log 2.w【解析解析】5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值.属于基础知识、基本运算的考查.由31log 232xxx，122xxx 无解，故应填3log 2.6.记3()log(1)f xx的反函数为1()yfx，则方程1()8fx的解x 答案 2【解法 1】由3()log(1)yf xx，得13yx，即1()31fxx，于是由318x，解得2x【解法 2】因为1()8fx，所以3(8)log(8 1)2xf三、知识要点三、知识要点1、奇偶函数定义：用心教育 用心成长9（1）偶函数一般地，对于函数 f（x）的定义域内的任意一个 x，都有 f（x）=f（x），那么 f（x）就叫做偶函数（2）奇函数一般地，对于函数 f（x）的定义域内的任意一个 x，都有 f（x）=f（x），那么 f（x）就叫做奇函数注意：函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；奇偶函数的定义域的特征：关于原点对称。由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）奇函数若在0 x 时有定义，则(0)0f2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。3、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称说明：一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。4、判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定 f（x）与 f（x）的关系；作出相应结论：若 f（x）=f（x）或 f（x）f（x）=0，则 f（x）是偶函数；若 f（x）=f（x）或 f（x）f（x）=0，则 f（x）是奇函数5、判断函数的奇偶性也可以用下列性质在公共定义域内，（1）两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数（2）两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数（3）一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数（4）函数 f（x）与 xf1同奇或同偶【典型例题典型例题】一、判断函数的奇偶性例 1、判断函数的奇偶性时易犯的错误（1）因忽视定义域的特征致错1、11xxxxf；f（x）=x2+（x+1）0错解：错解：xxxxxf11，f（x）是奇函数 f（x）=（x）2+（x+1）0=x2+（x+1）0=f（x）f（x）是偶函数分析：分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称正解：正解：定义域（，1）（1，+）关于原点不对称，f（x）是非奇非偶函数定义域（，1）（1，+），f（x）为非奇非偶函数（2）因缺乏变形意识或方法致错用心教育 用心成长102、判断 21151xxf的奇偶性错解：错解：5x10，x0f（x）的定义域为（，0）（0，+），关于原点对称 2151521151xxxxf，f（x）f（x），f（x）f（x），f（x）是非奇非偶函数分析：分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形正解：正解：1521521151xxxxf，定义域为（，0）（0，+）关于原点对称 xfxfxxxxxx152155125115215 f（x）是奇函数（3）因忽视 f（x）=0 致错3、判断函数 2244xxxf的奇偶性错解：错解：由040422xx得 x=2，f（x）的定义域为2，2，关于原点对称 xfxxxxxf22224444，f（x）为偶函数正解：正解：f（x）的定义域为2，2，此时，f（x）=0，f（x）既是奇函数又是偶函数点评：点评：函数 f（x）=0（x0）是 f（x）既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任何一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为 f（x）=0（x0）函数的定义域（4）因分段函数意义不清致错二、函数的奇偶性与单调性的关系例 3、已知：函数()yf x在R上是奇函数，而且在(0,)上是增函数，证明：证明：()yf x在(,0)上也是增函数。证明：证明：设120 xx，则120 xx()f x在(0,)上是增函数。12()()fxfx，又()f x在R上是奇函数。12()()f xf x，即12()()f xf x所以，()yf x在(,0)上也是增函数。规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致例 4、()f x为R上的奇函数，当0 x 时，2()231f xxx，当 xf（x2），那么就说f（x）在区间 D 上是减函数。注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1x2时，总有 f（x1）f（x2）或 f（x1）f（x2）。2.函数的单调性的定义如果函数 yf（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数 yf（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 yf（x）的单调区间。3.判断函数单调性的方法和步骤利用定义证明函数 f（x）在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：任取 x1，x2D，且 x1x2；作差 f（x1）f（x2）；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差 f（x1）f（x2）的正负）；下结论（即指出函数 f（x）在给定的区间 D 上的单调性）。（二）函数最大（小）值的定义1.最大值与最小值一般地，设函数 yf（x）的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：（1）对于任意的 xI，都有 f（x）M；（2）存在 x0I，使得 f（x0）M那么，称 M 是函数 yf（x）的最大值。一般地，设函数 yf（x）的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：（1）对于任意的 xI，都有 f（x）M；（2）存在 x0I，使得 f（x0）M那么，称 M 是函数 yf（x）的最小值。注意：函数的最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在 x0I，使得 f（x0）M；函数的最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 xI，都有 f（x）M（f（x）M）。2.利用函数的单调性判断函数的最大（小）值的方法利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值利用图象（数形结合法）求函数的最大（小）值利用函数的单调性判断函数的最大（小）值如果函数 yf（x）在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数 yf（x）在 xb 处有最大值f（b）；如果函数 yf（x）在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数 yf（x）在 xb 处有最小值f（b）。知识点一：函数的单调性与最值知识点一：函数的单调性与最值例例 1：判断函数4()f xxx在区间(0,2)上的单调性，并用定义证明。思路分析思路分析：1）题意分析：题意分析：用定义证明一个分式函数在(0,2)上的单调性2）解题思路：解题思路：按照用定义证明函数 f（x）在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤去做即可。用心教育 用心成长15解答过程：解答过程：4()f xxx在区间(0,2)上单调递减。设1202xx，则12()()f xf x121244xxxx2112124()xxxxx x1221124()x xxxx x。已知1202xx，所以210 xx，1240 x x，120 x x，所以12()()0f xf x，即原函数在(0,2)上单调递减。解题后的思考：解题后的思考：用定义证明函数 f（x）在给定的区间 D 上的单调性的关键在于变形（通常是因式分解和配方）和定号（即判断差 f（x1）f（x2）的正负）。例例 2：已知()f x是奇函数，它在(0)，上是增函数，且()0f x，试问1()()F xf x在(0)，上是增函数还是减函数？并证明你的结论。思路分析：思路分析：1）题意分析：题意分析：本例比较抽象，没有具体的解析式。简单地说就是已知原函数的单调性，判断倒函数的单调性。2）解题思路：解题思路：根据函数的单调性的定义，可以设210 xx，进而判断212111()()()()F xF xf xf x的符号。解答过程：解答过程：任取12(0)xx ，且210 xx，则有21()()0 xx。()f x在(0)，上是增函数，且()0f x，12()()fxfx 0，又()f x是奇函数，()()fxf x，12()()0f xf x。于是212111()()()()F xF xf xf x1212()()0()()f xf xf xf x，1()()F xf x在(0)，上是减函数。解题后的思考：解题后的思考：本例是一道抽象性较强的题，它考查了函数性质的综合应用。例例 3：已知104x，求函数222()xxf xx的最值。思路分析：思路分析：1）题意分析：题意分析：本例要求在指定的半开半闭区间内求一个分式函数的最大（小）值；2）解题思路：解题思路：先分离常数，再利用函数的单调性求函数的最值。解答过程：解答过程：已知函数式可化为2()2f xxx，先判断函数()f x在104x上的增减性。设12104xx，则121212121212()(2)22()()(2)(2)xxx xf xf xxxxxx x，12104xx，1212020 xxx x，。用心教育 用心成长1612()()0f xf x，即函数()f x在104x上是减函数。125()44f xf。故所求函数的最小值为254，无最大值。解题后的思考：解题后的思考：函数单调性在解题中的应用，主要表现为通过建立函数关系式或构造辅助函数式，把原问题转化为对函数单调性的讨论的问题，以达到化难为易、化繁为简的目的。例例 4：已知函数()f x是增函数，定义域为(0)，且(4)2f，()()()f xyf xf y，求满足()(3)2f xf x的x的取值范围。思路分析：思路分析：1）题意分析：题意分析：本例给出了单调性、定义域、运算法则和一个点，求函数自变量的取值范围。2）解题思路：解题思路：利用运算法则把问题化归成已知单调性和函数值的大小，求自变量的大小的问题，此过程中要注意定义域的限制作用，即如果()(3)(3)f xf xf x x，则必须0 x，30 x，且(3)0 x x。解答过程：解答过程：由题意，得030(3)0()(3)(3)2xxx xf xf xf x x，解得 34x。所以x的取值范围是34x。解题后的思考：解题后的思考：容易忽视函数的定义域为(0)，这一隐含条件。例例 6：已知()f x是奇函数，且当0 x 时，2()23f xxx，求当0 x 时()f x的解析式。思路分析：思路分析：1）题意分析：题意分析：已知函数是奇函数，且知道函数在某个区间上的解析式，求函数在该区间关于原点对称的区间上的解析式。2）解题思路：解题思路：利用奇函数的定义域关于原点对称的特点将未知区间通过取相反数过渡到已知区间。解答过程：解答过程：当0 x 时，0 x，所以有2()23fxxx，又已知()f x是奇函数，所以有()()f xfx 223xx。即当0 x 时，2()23f xxx。解题后的思考：解题后的思考：关键在于利用取相反数、加减周期等方法将未知区间过渡到已知区间。一、选择题1.已知函数)127()2()1()(22mmxmxmxf为偶函数，则m的值是（）A.1 B.2 C.3 D.42.若偶函数)(xf在1,上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A.)2()1()23(fff B.)2()23()1(fffC.)23()1()2(fff D.)1()23()2(fff3.如果奇函数)(xf在区间3,7上是增函数且最大值为5，那么)(xf在区间3,7 上是（）A.增函数且最小值是5 B.增函数且最大值是5C.减函数且最大值是5 D.减函数且最小值是54.设)(xf是定义在R上的一个函数，则函数)()()(xfxfxF在R上一定是（）A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数5.下列函数中，在区间0,1上是增函数的是（）用心教育 用心成长17A.xy B.xy 3 C.xy1 D.42xy6.函数)11()(xxxxf（）A.是奇函数又是减函数 B.是奇函数但不是减函数 C.是减函数但不是奇函数 D.不是奇函数也不是减函数二、填空题7.设奇函数)(xf的定义域为5,5，若当0,5x时，)(xf的图象如下图，则不等式()0f x 的解是 。8.已知0,1x，则函数21yxx的值域是 。9.若函数2()(2)(1)3f xkxkx是偶函数，则)(xf的递减区间是 。10.下列四个命题（1）()21f xxx有意义；（2）函数是其定义域到值域的映射；（3）函数2()yx xN的图象是一条直线；（4）函数22,0,0 xxyxx的图象是抛物线，其中正确命题的个数是_。11.函数21yxx的值域是_。三、解答题13.已知函数()f x的定义域为1,1，且同时满足下列条件：（1）()f x是奇函数；（2）()f x在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0,fafa求a的取值范围。14.利用函数的单调性求函数xxy21的值域。15.已知函数2()22,5,5f xxaxx。（1）当1a 时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使()yf x在区间5,5上是单调函数。一、选择题 1.B 奇次项系数为0,20,2mm。2.D 3(2)(2),212ff 。3.A 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性。4.A ()()()()Fxfxf xF x。用心教育 用心成长185.A 3yx在R上递减，1yx在(0,)上递减，24yx 在(0,)上递减。6.A ()(11)(11)()fxxxxxxxf x 为奇函数，而222,12,01(),2,102,1x xxxf xxxx x 为减函数。二、填空题7.(2,0)2,5 奇函数关于原点对称，补足左边的图象。8.21,3 该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小自变量最大时，函数值最大。9.0,210,1,()3kkf xx 。10.1 （1）21xx且，不存在；（2）函数是特殊的映射；（3）该图象是由离散的点组成的；（4）两条不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线。11.2,1,xy 是增函数。三、解答题13.解：22(1)(1)(1)fafaf a，则221 111 1111aaaa ，01a14.解：1210,2xx ，显然y是x的增函数，12x ，min1,2y 1,)2y 15.解：（1）21,()22,af xxx 对称轴min1,()(1)1,xf xfmax()f x(5)37f maxm()37,()1inf xf x（2）对称轴,xa 当5a 或5a 时，()f x在5,5上是单调函数5a 或5a 。8、设函数，则_。又已知_。)2x(,x2)2x(,2x)x(f2)4(f00 x,8)x(f则9、若，则方程的根是。xxxf1)(xxf)4(_10、已知是一次函数，且满足，则的解析式为)(xf172)1(2)1(3xxfxf)(xf。_)(xf用心教育 用心成长198、，46,18或6822.182)4()4(20202xxxf时，令当舍）或(6x6x00当。4x,8x22x得时，令9、。2121x,0)1x2(,01x4x4，x41x4xx41x4222得得令10、（待定系数法）72 x)0()(abaxxf令7b2a17ba52a17x2ba5ax17x2b2a2ax2b3a3ax317x2b)1x(a 2b)1x(a 3,17x2)1x(f2)1x(f3得由12、求下列函数的定义域和值域：（1）；（2）223xxy12 xxy12、（1）定义域，值域2xx3yy。328328)2(3223xxxxxy（2）定义域，值域21xx21yy)0()1(21)0)(12(2121212112)0(1222222tttttttytxtxttx令1设函数 f（x）=log2x 的反函数为 y=g（x），若41)11(ag，则 a 等于（）A-2 B21 C21 D23.函数|yx与21yx在同一坐标系的图象为（）5.下列函数()f x中，满足“对任意1x，2x（0，），当1x2()f x的是()用心教育 用心成长20A()f x=1x B.()f x=2(1)x C.()f x=xe D()ln(1)f xx6.f(x)=4,24),1(xxxfx，则2log 3f（）（A）-23（B）11（C）19 （D）24二、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，总分 18 分）7已知函数2()logf xx，正实数m，n满足mn，且()()f mf n，若()f x在区间2,m n上的最大值为 2，则nm 8已知512a，函数()xf xa，若实数m、n满足()()f mf n，则m、n的大小关系为 .1.【解析】选 C 因为函数 f（x）=log2x 的反函数为2,xy 所以()2,xg x 由41)11(ag得111112,2,.412aaa 3.【解析】选 A 因为2|1xx，所以函数|yx的图像在函数21yx图像的下方，排除 C、D；2|1xxx 当时，排除 B，故选 A。5.【解析】选 A 依题意可得函数应在(0,)x上单调递减，故由选项可得 A 正确。6.【解析】选 D 2log 2422222(log 3)(log 3 1)(log 32)(log 33)(log 24)224.fffff7.【解析】由已知得2222221111,01,1,()log2 log2().mmnm nnfnf nnnnn 所以()f x在区间2,m n上的最大值为2211()2().2 log2,1,2.2ff nnnnmn 故5.2nm答案：5.28.【解析】51(0,1)2a，函数()xf xa在 R 上递减。由()()f mf n得：mn答案：mn来源:学科网用心教育 用心成长21六、反函数六、反函数1、反函数的概念：设函数 y=f(x)的定义域为 A，值域为 C，由 y=f(x)求出，若对于 C 中的每一个值 yxy，在 A 中都有唯一的一个值和它对应，那么叫以 y 为自变量的函数，这个函数叫函数 y=f(x)yx yx的反函数，记作，通常情况下，一般用 x 表示自变量，所以记作。yfx1 xfy1注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。（1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤（1）解关于 x 的方程 y=f(x)，达到以 y 表示 x 的目的；（2）把第一步得到的式子中的 x 换成 y，y 换成 x；（3）求出并说明反函数的定义域（即函数 y=f(x)的值域）。3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称；（2）y=f(x)和 y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）y=f(x)和 x=f-1(y)互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同；（4）已知 y=f(x)，求 f-1(a)，可利用 f(x)=a，从中求出 x，即是 f-1(a)；（5）f-1f(x)=x;（6）若点 P(a,b)在 y=f(x)的图象上，又在 y=f-1(x)的图象上，则 P(b,a)在 y=f(x)的图象上；（7）证明 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称，只需证得 y=f(x)反函数和 y=f(x)相同；