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椭椭 圆圆一一.考试必考试必“背背”1 椭圆的两种定义：平面内与两定点 F1，F2的距离的和等于定长的点的轨迹，即点集 M=P|212FFa|PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|；（时为线段，无轨迹）。其212FFa 21FF212FFa 中两定点 F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于 1 的正常数的点的轨迹，即点集 M=P|，0e1 的常数。（为抛物线；为双曲线）edPF1e1e2 标准方程：（1）焦点在 x 轴上，中心在原点：（ab0）；12222byax焦点 F1（c，0），F2（c，0）。其中（一个）22bacRt（2）焦点在 y 轴上，中心在原点：（ab0）；12222bxay焦点 F1（0，c），F2（0，c）。其中22bac注意：注意：在两种标准方程中，总有 ab0，并且椭圆的焦点总在长轴上；22bac两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1（A0，B0，AB），当AB 时，椭圆的焦点在 x 轴上，AB 时焦点在 y 轴上。3参数方程：椭圆的参数方程12222byax)0(ba sincosbyax)(为参数4.性质：对于焦点在 x 轴上，中心在原点：（ab0）有以下性质：12222byax坐标系下的性质：范围：|x|a，|y|b；对称性：对称轴方程为 x=0，y=0，对称中心为 O（0，0）；顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；（半长轴长，半短轴长）；ab 准线方程：；或cax2cay2 焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-左r右rex0；|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0;下r上rcaPFcaPFminmax,平面几何性质：离心率：e=（焦距与长轴长之比）；越大越_，是_。ac 1,0e0e 焦准距；准线间距cbp2ca22二、焦点三角形二、焦点三角形结论一：结论一：若、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且1F2F)0(12222babyaxP，当点 P 位于_时最大，cos=_.21PFF|PF1|PF2|的最大值为_.2tan221bSPFF结论二：结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为_。结论三：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形),0(12222babyax,21FF，则椭圆的离心率。21FPF,1221FPFFPFsinsin)sin(e结论四：结论四：四心的轨迹(1)、焦点三角形内心的轨迹及其方程)0(12222babyax1)(222222cacbycx(2)、焦点三角形重心的轨迹及其方程：)0(12222babyax)0(1992222babyax(3)、焦点三角形垂心的轨迹及其方程：)0(12222babyax2222()a cxyb ax(4)、焦点三角形的外心的轨迹及其方程)0(12222babyax（）2sin2sin2bcyb22|2bcyb三中点弦问题是椭圆的一条弦，中点 M 坐标为，则直线的斜率为 AB22221(0)xyabab00(,)xy。四弦长问题.(1)斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点，则所得的弦长 k111(,)P x y222(,)P xy或 .(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为利用 ，往往比利用弦长公式简单。五X轴正半轴到椭圆的最短距离问题：已知椭圆，则点(m，O)到椭圆的最短距离为：_.)0(12222babyax六过椭圆上点切线问题若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.000(,)P xy22221xyab0P00221x xy yab习 题1、已知椭圆方程，椭圆上点 M 到该椭圆一个焦点的距离是 2，N 是 MF1的中点，O192522yx是椭圆的中心，那么线段 ON 的长是（）（A）2（B）4（C）8（D）232点 P 是椭圆上一点，F1，F2 是椭圆的两个焦点，且PF1F2的内切圆半径为 1，1162522yx当 P 在第一象限时，P 点的纵坐标为_.3.（2009 年上海卷理）已知1F、2F是椭圆1:2222byaxC（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且21PFPF.若21FPF的面积为 9，则b=_.4.（2009 北京文）椭圆22192xy的焦点为12,F F，点 P 在椭圆上，若1|4PF，则2|PF ；12FPF的大小为 .4已知椭圆的左、右焦点分别为、F2，点 P 在椭圆上，若 P、F1、F2是一个直角191622yx1F三角形的三个顶点，则点 P 到轴的距离为（）x（A）（B）3 （C）（D）59779495椭圆的焦点、，点为其上的动点，当为钝角时,点横坐标14922yx1F2FP1FP2FP的取值范围是_.。6.椭圆的中心在原点，焦点在 X 轴上，离心率3/2，椭圆上各点到直线 l 的最短距离为 1，则该椭圆方程是？直线 l 为 x-y+0 527.设点 P（x，y）在椭圆，（1）试求点 P 到直线的距离 d 的最大值和最19y16x2205yx小值。(2)求 x+2y 的最小值8已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，过右焦点F且斜率为(0)k k的直线与C相交于AB、两点若3AFFB ，则k（A）1 （B）2 （C）3 （D）29.已知点 P 是椭圆方程 x2/3+y2=1 上的动点，M,N 是直线 L：y=x 上的两个动点，且满足|MN|=t，则（1）存在实数 t 使MNP 为正三角形的点仅有一个（2）存在实数 t 使MNP 为正三角形的点仅有两个（3）存在实数 t 使MNP 为正三角形的点仅有三个（4）存在实数 t 使MNP 为正三角形的点仅有四个（5）存在实数 t 使MNP 为正三角形的点有无数个上述命题中正确的序号是_.10.在平面直角坐标系xOy中，点B与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与BP 的斜率之积等于13.()求动点 P 的轨迹方程；()设直线 AP 和 BP 分别与直线x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得PAB 与PMN的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由(探究（面积）)11.（2007 四川理）设、分别是椭圆的左、右焦点.1F2F1422 yx（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;P1PF2PF（）设过定点的直线 与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中)2,0(MlABAOB为O坐标原点），求直线 的斜率的取值范围.（最值、求取值范围）lk12.（本小题共 14 分）已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，点（是其左顶点，点在椭圆上，且OA)0,32C，0COAC|COAC（）求椭圆的方程；（）若平行于的直线 和椭圆交于两个不同点，求面积的最大值，并求此COlNM,CMN时直线 的方程（最值）l13.（2009 浙江文）（本题满分 15 分）已知抛物线C：22(0)xpy p上一点(,4)A m到其焦点的距离为174 （I）求p与m的值；II）设抛物线C上一点P的横坐标为(0)t t，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N若MN是C的切线，求t的最小值SJS14（本题满分 14 分）已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆22221(0)xyabab632 3:l ykxm于不同的两点，AB（）求椭圆的方程；（）若，且，求的值（点为坐标原点）；1m 0OA OB kO（）若坐标原点到直线 的距离为，求面积的最大值Ol32AOBFT15、（13 分）在直角坐标系中，点到 F1、F2的距离之和是 4，点xOyM(3,0)(3,0)的轨迹与轴的负半轴交于点，不过点的直线：与轨迹交于不同的MCxAAlykxbC两点和PQ（1）求轨迹的方程；C（2）当时，求与的关系，并证明直线 过定点（过定点）0AP AQ kbl16.（12 分）已知点)1,1(A是椭圆)0(12222babyax上的一点，1F,2F是椭圆的两个焦点,且满足421 AFAF.()求椭圆的方程及离心率;()设点C,D是椭圆上的两点,直线AC,AD的倾斜角互补,试判断直线CD的斜率是否为定值?并说明理由.（定值）17.(2010 年高考天津卷理科 20)(本小题满分 12 分)已知椭圆22221xyab(ab0)的离心率32e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4()求椭圆的方程；()设直线l与椭圆相交于不同的两点,A B已知点A的坐标为(-a，0)，点Q(0，0y)在线段AB的垂直平分线上，且QA QB A=4求0y的值