数列与不等式知识点及练习(唐).pdf

数列与不等式一、看数列是不是等差数列有以下三种方法一、看数列是不是等差数列有以下三种方法：2()(为常数).),2(1为常数dndaann11nnnaaa2nbknankn,二、看数列是不是等比数列有以下两种方法：二、看数列是不是等比数列有以下两种方法：(，)0,2(1且为常数qnqaann112nnnaaa2n011nnnaaa(2)在等差数列在等差数列中中,有关有关 Sn 的最值问题：的最值问题：(1)当0,d0 时，满足的项数 m 使na1a001mmaa得取最大值.（2）当0 时,满足的项数 m 使得取最小值.在解含绝对ms1a001mmaams值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。四四.数列通项的常用方法：数列通项的常用方法：（1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：)2()111nSSnSannn（；等差、等比数列公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）na na法求数列的通项：)(1nfaann；).(1nfaann（4）造等差、等比数列求通项：qpaann1；nnnqpaa1；)(1nfpaann；nnnaqapa12.第一节通项公式常用方法第一节通项公式常用方法题型题型 1 1 利用公式法求通项利用公式法求通项例 1：1.已知an满足 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。2.已知nS为数列的前n项和，求下列数列的通项公式：na na1322nnSn；12 nnS.总结:任何一个数列，它的前n项和与通项nS都存在关系：若适合，则把它们统一起来，否则就用分段na)2()1(11nSSnSannn1ana函数表示.题型题型 2 2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项应用迭加（迭乘、迭代）法求通项例 2：已知数列中，)2(12,211nnaaann，求数列的通项公式；na na已知nS为数列的前n项和，11a，nnanS2，求数列的通项公式.na na总结：迭加法适用于求递推关系形如“)(1nfaann”；迭乘法适用于求递推关系形如“)(1nfaann“；迭加法、迭乘法公式：11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn 1122332211aaaaaaaaaaaannnnnnn.题型题型 3 3 构造等比数列求通项构造等比数列求通项例 3 已知数列中，32,111nnaaa，求数列的通项公式.na na总结：递推关系形如“qpaann1”适用于待定系数法或特征根法：令)(1nnapa；在qpaann1中令pqxxaann11，)(1xapxann；由qpaann1得qpaann1，)(11nnnnaapaa.例 4 已知数列中，nnnaaa32,111，求数列的通项公式.na na 总结：递推关系形如“nnnqpaa1”通过适当变形可转化为：“qpaann1”或“nnnnfaa)(1求解.数列求和的常用方法数列求和的常用方法一 公式法公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11 2、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn 3.)1(211nnkSnkn 4、)12)(1(6112nnnkSnkn 5.213)1(21nnkSnkn二二.裂项相消法裂项相消法:适用于1nnaac其中 na是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。例 2 求数列)1(n1n的前 n 项和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）111)1(1nnnnan（2）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（3）)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnan三三.错位相减法错位相减法:可以求形如 的数列的和，其中 为等差数列，为等比数列.例 1：求和：.例 2:数列 1，3x，5x2,(2n-1)xn-1前 n 项的和小结：错位相减法类型题均为：连续相加。四四.常用结论常用结论nnab等差数列等比数列1）1+2+3+.+n=2）1+3+5+.+(2n-1)=3）2)1nn2n 4）2333)1(2121nnn)12)(1(613212222nnnn5）111)1(1nnnn)211(21)2(1nnnn重要不等式重要不等式1、和积不等式：,a bR222abab(当且仅当ab时取到“”)【变形】：222()22ababab（当 a=b 时，222()22ababab）【注意】：(,)2ababa bR，2()(,)2ababa bR2、均值不等式：两个正数ba、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均”2222“”1122ababababababab（当且仅当时取）*.若，则(当且仅当时取“=”）;0 x 12xx1x 若，则(当且仅当时取“=”）0 x 12xx 1x 若，则 (当且仅当时取“=”）0 x 11122-2xxxxxx即或ba*.若，则 (当且仅当时取“=”）0ab2abbaba 若，则 (当且仅当时取“=”）0ab 22-2abababbababa即或ba 3、含立方的几个重要不等式（a、b、c 为正数）：3333abcabc（0abc 等式即可成立，时取等或0cbacba）；33abcabc 3()3abcabc3333abc *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当时，时，0ab同时除以同时除以 abab 得得或或。abba2222baabbaab11 *均为正数，,bababa 22八种变式：；222baab2)2(baab2)2(222baba；若 b0,则；a0,b0,则；)(222babababa 22baba411若 a0,b0,则；若，则。abba4)11(20ab222)11(2111baba上述八个不等式中等号成立的条件都是“”。ba 放缩不等式：放缩不等式：00abam值，则bmbbmamaam.【说明】：bbmaam（0,0abm，糖水的浓度问题）.【拓展】：，则，000nmbabanbnamambab1.,a b cR，bdac，则bbddaacc；nN，1112nnnnn；,1nNn，21111111nnnnn.ln1xx(0)x,1xex()xR函数函数图象及性质图象及性质()(0)bf xaxabx、(1)函数图象如图：0)(baxbaxxf、(2)函数性质：0)(baxbaxxf、值域：；),22,(abab 单调递增区间：，；单调递减区间：，(,ba,)ba(0,ba,0)ba最值定理最值定理（积定和最小）,0,2x yxyxy由，若积()xyP值值，则当xy时和xy有最小值2p；（和定积最大）,0,2x yxyxy由，若和()xyS值值，则当xy是积xy有最大值214s.【推广推广】：已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(22.（1）若积xy是定值，则当|yx 最大时，|yx 最大；当|yx 最小时，|yx 最小.（2）若和|yx 是定值，则当|yx 最大时，|xy最小；当|yx 最小时，|xy最大.已知,Ra x b y，若1axby，则有则的最小值为：21111()()2()byaxaxbyababababxyxyxy已知，若则和的最小值为：.应用基本不等式求最值的应用基本不等式求最值的“八种变形技巧八种变形技巧”：凑系数（乘、除变量系数）.例 1.当 04x时，求函的数(82)yxx最大值.凑项（加、减常数项）：例 2.已知54x，求函数1()4245f xxx的最大xabab2ab2aboy值.调整分子：例 3.求函数2710()(1)1xxf xxx 的值域；变用公式：基本不等式2abab有几个常用变形,2222abab，222()22abab不易想到，应重视；例 4.求函数152152()22yxxx 的最大值；连用公式：例 5.已知0ab，求216()yab ab的最小值；对数变换：例 6.已知1,12xy，且xye，求ln(2)ytx的最大值；三角变换：例 7.已知20yx，且tan3tanxy，求txy的最大值；常数代换（逆用条件）：例 8.已知0,0ab，且21ab，求11tab的最小值1、数列的一个通项公式是（）95,74,53,32,1na A、B、C、D、12 nn12 nn32 nn32 nn2、已知等比数列的公比为正数，且，则2a（）na24282aaa11a A、2 B、2 C、D、22213、已知等差数列前项和为且已知则（）nannS0na02564aaa9S A、17 B、18 C、19 D、204、已知，记，则 M 与 N 的大小关系（）)1,0(,21aa21aaM 121aaN A、MN C、M=N D、不确定5、若，则下列不等式：011ba中正确的是（）bcaccbcabaabba22)4(,)3(,)2(,)1(A、（1）（2）B、（2）（3）C、（1）（3）D、（3）（4）6、不等式的解集是 （）1213xxA、B、C、D、243xx243xx432xxx值2xx7、设是等差数列的前 n 项和，若（）nS na59355,9aSaS则 A、B、C、D、112128、在三个结论：，的条件下，00ba22babaab，2222baba，其中正确的个数是（）babaab22A、0 B、1 C、2 D、39、目标函数，变量满足，则有（）yxz 2yx,12553034xyxyxA、B、无最小值3,12minmaxzz,12maxzzC、无最大值 D、既无最大值，也无最小值zz,3minz10、在 R 上定义运算若不等式对任意实数成).1(:yxyx1)()(axaxx立，则（）A、B、C、D、11a20 a2321a2123a二、填空题：（每小题 5 分，共 25 分）11、等比数列公比已知,则的前 4 项和 na,0qnnnaaaa6,1122 na_ 4S12、等比数列的前 n 项和，又，则公比_ nanS2132SSSq13、若,且，则的最大值为_0 x0y12yxxy14、实数 x、y 满足不等式组，则 W=的取值范围是_001yxyxxy115、关于的不等式的解集为 x211(1)0(0)xaxaaaa三、解答题：16、（本小题满分 12 分）等比数列中，已知，na16,241aa（1）求数列的通项公式;（2）若分别为等差数列的第 3 项和第 5 项，na53,aa nb试求数列的通项公式及前 n 项和.nbnS17、（本小题满分 12 分）已知数列的前项和nan248nSnn(1)求数列的通项公式；(2)求的最大或最小值.nanS18、（本小题满分 12 分）已知向量，)sin,2(cosnnan若，),)(sin2,1(*NnnbnnnaC nnb2（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.nC nCnnS19、（本小题满分 12 分）在数列中，nannnaaa22,111（1）设，证明：数列是等差数列;（2）求数列的前项和.12nnnab nb nannS20、（本小题满分 13 分）某房地产开发商投资 81 万元建一座写字楼，第一年装修费为 1万元，以后每年增加 2 万元，把写字楼出租，每年收入租金 30 万元若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？（）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：年平均利润最大时以 46 万元出售该楼;纯利润总和最大时，以 10 万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？21、（本小题满分 14 分）已知数列满足：，na1112,2nnaaa,4,3,2n(1)求证：数列为等差数列；(2)求数列的通项公式；11na na（3）令，求证：niiinaaT1143 nTnB A B B C BADCC二、填空题：（每小题 5 分，共 25 分）11、12、13、14、1,1)15、21521811(1,)aa三、解答题：16、解：（1）设公比为，则-6 分qnnnqaaqq2,2,216113 （2）由（1）得则,32,853aa12,32,853dbb -（12 分）2812 nbnnnSn226217、解：（1）当 n=1 时，4711 Sa 当 n2 时，故 4921nSSannn492 nan（2）由，于是有最小值是-576，此时；248nSnn576)24(2 nnS24n无最大值。-12 分18、(1)-6 分nnaC nnb2122sin22cos2nnnn),(*Nn(2)-12 分22)12(2)222(12nnnSnnnn)(*Nn19、解：（1）由得nnnaa22112211nnnnaa是等差数列-11nnnbbb-8 分nnnS223222232 （1）-（2）=nnnnS2222112 nnnnnn2222121-12 分1)1(2nSnn20、解：（1）设第 n 年获取利润为 y 万元n 年共收入租金 30n 万元，付出装修费构成一个以 1 为首项，2 为公差的等差数列，共因此利润，令222)1(nnnn)81(302nny0y解得：所以从第 4 年开始获取纯利润-6 分273 n（2）方案一：年平均利润nnnnnW8130)81(302 （当且仅当，即 n=9 时取等号）1281230nn81所以 9 年后共获利润：12=154（万元）469方案二：利润144)15()81(3022nnny所以 15 年后共获利润：144+10=154（万元）两种方案获利一样多，而方案时间比较短，所以选择方案-13 分21