数列求和的基本方法归纳.pdf

1数列求和的基本方法归纳数列求和的基本方法归纳一、利用常用求和公式求和一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、4、)1(211nnkSnkn)12)(1(6112nnnkSnkn5、213)1(21nnkSnkn 例例 11 已知，求的前 n 项和.3log1log23x nxxxx32解：由212loglog3log1log3323xxx 由等比数列求和公式得 nnxxxxS 32（利用常用公式）1xxxn1)1(211)211(21nn21 例例 22 设 Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值.1)32()(nnSnSnf 解：由等差数列求和公式得，)1(21nnSn)2)(1(21nnSn（利用常用公式）1)32()(nnSnSnf64342nnn2 nn6434150)8(12nn501 当，即 n8 时，88n501)(maxnf二、错位相减法求和二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前 n 项和，其中 an、bn 分别是等差数列和等比数列.（如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前的，那么这个数列的前 n n 项和即可用此法来求项和即可用此法来求.）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式.例例 33 求和：132)12(7531 nnxnxxxS解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列1)12(nxn的通项之积1nx设.nnxnxxxxxS)12(7531432 （设制错位）得 （错位nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432 相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1 21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn 例例 44 求数列前 n 项的和.,22,26,24,2232nn解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项nn22n21之积3设nnnS2226242232 14322226242221 nnnS（设制错位）得 1432222222222222)211(nnnnS（错位相减）1122212nnn 1224nnnS三、倒序相加法求和三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个.（如果一个数列如果一个数列)(1naa anan，首末两端等，首末两端等“距离距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前的前 n n 项和即可用倒序相加法项和即可用倒序相加法）例例 55 求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210 证明：设.nnnnnnCnCCCS)12(53210 把式右边倒转过来得 0113)12()12(nnnnnnnCCCnCnS （反序）又由可得mnnmnCC .nnnnnnnCCCnCnS 1103)12()12(+得 （反nnnnnnnnnCCCCnS2)1(2)(22(2110 序相加）nnnS2)1(例例 66 求的值89sin88sin3sin2sin1sin22222 4解：设.89sin88sin3sin2sin1sin22222 S将式右边反序得 .1sin2sin3sin88sin89sin22222 S（反序）又因为 1cossin),90cos(sin22xxxx +得 （反序相加）89)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222 S S44.5四、分组法求和四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.（若一若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减和时可用分组转化法，分别求和而后相加减）分组求和常见类型及方法(1)anknb，利用等差数列前 n 项和公式直接求解；(2)anaqn1，利用等比数列前 n 项和公式直接求解；(3)anbncn，数列bn，cn是等比数列或等差数列，例例 77 求数列的前 n 项和：，231,71,41,1112 naaan解：设)231()71()41()11(12 naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得 )23741()1111(12 naaaSnn（分组）当 a1 时，2)13(nnnSn2)13(nn 5（分组求和）当时，1a2)13(1111nnaaSnn2)13(11nnaaan 例例 88 求数列n(n+1)(2n+1)的前 n 项和.解：设kkkkkkak2332)12)(1(nknkkkS1)12)(1()32(231kkknk将其每一项拆开再重新组合得 Sn kkknknknk1213132（分组）)21()21(3)21(2222333nnn 2)1(2)12)(1(2)1(22nnnnnnn（分组求和）2)2()1(2nnn五、裂项法求和五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）（2）)()1(nfnfannnnntan)1tan()1cos(cos1sin（3）（4）111)1(1nnnnan)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan6（5）)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnan(6)nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则 例例 99 求数列的前 n 项和.,11,321,211nn解：设 nnnnan111（裂项）则 11321211 nnSn（裂项求和）)1()23()12(nn 11n 例例 1010 在数列an中，又，求数列bn的11211 nnnnan12nnnaab前 n 项的和.解：211211nnnnnan )111(82122nnnnbn（裂项）数列bn的前 n 项和 )111()4131()3121()211(8 nnSn（裂项求和）)111(8n18nn 例例 1111 求证：1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12 7解：设89cos88cos12cos1cos11cos0cos1 S nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（裂项）89cos88cos12cos1cos11cos0cos1 S（裂项求和）88tan89tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1(tan1sin1 )0tan89(tan1sin11cot1sin11sin1cos2 原等式成立 六、合并法求和六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例例 1212 求 cos1+cos2+cos3+cos178+cos179的值.解：设 Sn cos1+cos2+cos3+cos178+cos179 )180cos(cosnn（找特殊性质项）Sn（cos1+cos179）+（cos2+cos178）+（cos3+cos177）+（cos89+cos91）+cos90 （合并求和）08 例例 1313 数列an：，求 S2002.nnnaaaaaa12321,2,3,1解：设 S20022002321aaaa 由可得nnnaaaaaa12321,2,3,1,2,3,1654aaa,2,3,1,2,3,1121110987aaaaaa2,3,1,2,3,1665646362616kkkkkkaaaaaa （找特0665646362616kkkkkkaaaaaa殊性质项）S2002 2002321aaaa （合并求和）)()()(66261612876321 kkkaaaaaaaaaa2002200120001999199819941993)(aaaaaaa 2002200120001999aaaa46362616kkkkaaaa5 例例 1414 在各项均为正数的等比数列中，若的值.103231365logloglog,9aaaaa 求解：设1032313logloglogaaaSn 由等比数列的性质 qpnmaaaaqpnm（找特殊性质项）和对数的运算性质 得NMNMaaalogloglog9 （合并求)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn 和）)(log)(log)(log6539231013aaaaaa 9log9log9log333 10七、利用数列的通项求和七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法.例例 1515 求之和.11111111111个n 解：由于 )110(91999991111111 kkk 个个（找通项及特征）11111111111个n )110(91)110(91)110(91)110(91321 n（分组求和）)1111(91)10101010(911321 个nn 9110)110(1091nn)91010(8111nn 例例 1616 已知数列an：的值.11)(1(,)3)(1(8nnnnaannna求10解：（找通项)4)(2(1)3)(1(1)1(8)(1(1nnnnnaannn及特征）)4)(3(1)4)(2(18nnnn（设制分组）)4131(8)4121(4nnnn（裂项）（分组、裂项1111)4131(8)4121(4)(1(nnnnnnnnnaan求和）418)4131(4 313