教案：简单的线性规划题型总结.pdf

1简单的线性规划题型总结简单的线性规划题型总结1 1、求线性目标函数的最值求线性目标函数的最值(截距型截距型)zaxby1 1、在在线线性性规规划划中中，对对于于形形如如z z=a ax x+b by y 的的目目标标函函数数，可可先先 变变形形为为 y y=，看看做做直直线线在在y y 轴轴上上的的截截距距，问问题题就就化化归归为为求求纵纵截截距距范范围围或或极极值值的的bzxbay问问题题。例例 1 1.设 x,y 满足约束条件，求的最值1255334xyxyx52zxy解：可行域是如图所示中的区域，得 A(5,2),B(1,1),C(1,)ABC522作出直线 L0：5x+10y=0，再将直线 L0平移,当 L 经过点 B 时，y 轴截距最小，即 z 达到最小值，得.当 L 经过点 A 时，y 轴截距最大，即 z 达到最大值，得,所以最min7zmax29z大值是 29，最小值是 7练习 1、若 x、y 满足约束条件，则 z=x+2y 的取值范围是 （）222xyxyA、2,6B、2,5C、3,6D、（3,5解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y 0，将l向右上方平移，过点 A（2,0）时，有最小值2，过点 B（2,2）时，有最大值6，故选 A二、求非标准线性目标函数的最优解二、求非标准线性目标函数的最优解1 1、两点间距离型目标函数、两点间距离型目标函数 在线性规划中，目标函数形式为“，”的22zxy22zxy22()()zxayb求最优解，均可 转化为 求可行域内的点（x，y）与（a，b）的距离的最值问题。例例 2 2：已知 x、y 满足以下约束条件，则 z=x2+y2的最大值和最小值分别是220240330 xyxyxy（）A、13，1 B、13，22C、13，D、，45132 55解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x y 2=0 的距离的平方，即为:，选 C练习.已知点 P（x，y）的坐标满足条件点 O 为坐标原点，那么|PO|的最小值等于4,1,xyyxy,最大值等于._2 2、点到直线距离型目标函数、点到直线距离型目标函数 对于形如z=|Ax+By+C|的目标函数，可化为z=形式，求可行域内的点（x，y）到直线Ax+By+C=0 距离的倍的最值。22BA 例例 3 3：已知 x、y 满足约束条件 ，求：Z=|x-4y+1|的最大值与最小值.解：先作出可行域如图：ABC 表示的区域。并求A（5，2）B（1，1）C（1，4.4）。z=，而 表示可行域内的点到直线=0 的距离。当（x，y）在=0 上时，zmin=4，当14y-x14y-x（x，y）在 C（1，4.4）时，zmax=15.62 2、斜率型目标函数、斜率型目标函数:在线性规划中，对于形如z=（ac0）的目标函数，可先变形z=的形式，将问题化归为求点（，）与可行域内的点（x，y）连线斜率的a/c 倍的范围最值；:例例 4 4：已知 x、y 满足约束条件 ，求：Z=的最大值与最小值.解：先作出可行域如图：ABC 表示的区域。并求A（5，2）B（1，1）C（1，4.4）。1、由 z=，可知 z 的几何意义是可行域内的x-4y+303x+5y-250 x11714y-x171714y-x2222CByAxBABAdcxbay)()(cdxabycacdabxyx-4y+303x+5y-250 x13点与原点连线的斜率。由图：当x=5，y=2 时，zmin=0.4;当 x=1，y=4.4 时，zmax=4.4。练习练习.设实数x,y满足 .的最大值是则xyyyxyx,03204202三、求可行域的面积三、求可行域的面积 关键是准确画出可行域，根据其形状来计算面积，基本方法是利用三角形面积，或切割为三角形例例 5 5.不等式组表示的平面区域的面积是()2,02,02xyxyx(A)4 (B)4 (C)2 (D)222解：可行域是 A(0.2),B(2,4),C(2,0)构成的三角形，易得面积为 4练习：所表示的平面区域的面积为（）2,03,062yyxyxA、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B四、参数问题四、参数问题1 1、求求线线性性 目目标标函函数数中中参参数数的的取取值值范范围围例例 6 6、已知 x、y 满足以下约束条件，使 z=x+ay(a0)取得最小值的最优5503xyxyx解有无数个，则a 的值为 （）A、3B、3C、1D、1 解析：如图，作出可行域，作直线l：x+ay 0，要使 目标函数 z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方 平移后与直线x+y 5 重合，故a=1，选 D练习：如图，A(1,0)、B(0,1)、C(,)，目标函数t=ax-y 的可行域为四边形OACB,若当且仅当x=,y=时，目标函数t 取最小值，则实数a 的取值范围是（-2.4，-2x+y 6=0=5xy 3=0OyxABCMy=23254323240.3）.说明：KBC=-0.3,KAC=-2.4,平移斜率为a 的直线 ax-y=0，由题意可知：-2.4 a-0.32 2、求求约约束束条条件件中中参参数数的的取取值值范范围围例例 7 7、已知|2x y m|3 表示的平面区域包含点（0,0）（1,1），则m 的取值范围是 （）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x y m|3 等价于230230 xymxym由右图可知,故 0 m 3，选 C3330mm例 8：若实数x、y 满足不等式组，且01032033myxyxyx的最大值为 9，则实数 m=（）yxz A、-2 B、-1 C、1 D、2练习:已知 x、y、z，满足 ，且 z=2x+4y 的最小值为-6，则常数k=（D）A、2B、9C、3D、010五、知识点交汇问题（五、知识点交汇问题（与不等式，函数，向量等知识进行综合命题）与不等式，函数，向量等知识进行综合命题）1 1、线性规划与向量的交汇、线性规划与向量的交汇 例例 9.9.2 2、线性规划与函数的交汇、线性规划与函数的交汇 例例 1010、3 3 隐形线性规划问题隐形线性规划问题 例例 11.11.在平面直角坐标系在平面直角坐标系，已知平面区域，已知平面区域且且，则平面区域，则平面区域xOy(,)|1,Ax yxy0,0 xy的面积为（的面积为（）A A B B C C D D(,)|(,)Bxy xyx yA211214O2x y=0y2x y+3=0 x-y+50 x+y+k0 x35解析：令解析：令，作出区域是等腰直角三角形，可求出面积，作出区域是等腰直角三角形，可求出面积12,002uvuxuxyuvvxyuvyuv 11221s满足条件，那么的最大值等于_,最小值等于_.,x y41xyyxxyxxy