初二数学菱形、矩形复习题(含答案).pdf

初二数学菱形、矩形复习题矩形：定义：有一个是直角的平行四边形是矩形性质：判定：菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：判定：1如图，矩形 ABCD 的周长为 20cm，两条对角线相交于 O 点，过点 O 作 AC 的垂线 EF，分别交 AD，BC 于 E，F 点，连接 CE，则CDE 的周长为_2如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，点 P 在 AB 上，PEAC 于 E，PFBD 于 F，则PE+PF 等于_3如图，在矩形 ABCD 中，DEAC 于 E，EDC：EDA=1：3，且 AC=8，则 DE 的长度是_4如图，E，F 分别是矩形 ABCD 边 AD、BC 上的点，且ABG，DCH 的面积分别为 15 和20，则图中阴影部分的面积为_5若菱形两条对角线长分别为 6 和 8，则这个菱形的面积为_6若菱形的周长为 16，两邻角度数之比为 1：2，则该菱形的面积为_7如图，O 是菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点，E、F 分别是 OA、OC 的中点下列结论：SADE=SEOD；四边形 BFDE 也是菱形；四边形 ABCD 的面积为EFBD；ADE=EDO；DEF 是轴对称图形其中正确的结论有_8如果矩形一条较短的边是 5，两条对角线的夹角是 60，则对角线长是 9RtABC 中，BAC=90，AB=3，AC=4，P 为边 BC 上一动点，PEAB 于 E，PFAC 于F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为 10如图，四边形 ABCD 为矩形，H、F 分别为 AD、BC 边的中点，四边形 EFGH 为矩形，E、G 分别在 AB、CD 边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形 EFGH 的面积之比为 11如图，在矩形 ABCD 中，AD=5，AB=4，点 E、G、H、F 分别在 AB、BC、CD、AD 上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点 P 是直线 EF、GH 之间任意一点，连接 PE、PF、PG、PH，则PEF 和PGH 的面积和等于 12如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 在线段 CB 的延长线上，连接 DE 交 AB 于点F，AED=2CED，点 G 是 DF 的中点，若 BE=1，AG=4，则 AB 的长为 13如图，点 P 在第一象限，ABP 是边长为 2 的等边三角形，当点 A 在 x 轴的正半轴上运动时，点 B 随之在 y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点 P 到原点的最大距离是 ；若将ABP 的 PA 边长改为，另两边长度不变，则点 P 到原点的最大距离变为 14如图，在菱形 ABCD 中，AD=8，ABC=120，E 是 BC 的中点，P 为对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PB 的最小值为 15如图，在ABC 中，ABC=90，BD 为 AC 的中线，过点 C 作 CEBD 于点 E，过点 A作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取 FG=BD，连接 BG、DF若AG=13，CF=6，则 BG=16下列命题：矩形的对角线互相平分且相等；对角线相等的四边形是矩形；菱形的每一条对角线平分一组对角；一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形其中正确的命题为 （注：把你认为正确的命题序号都填上）17如图，在矩形 ABCD 中，AE=AF，过点 E 作 EHEF 交 DC 于点 H，过 F 作 FGEF 交 BC于 G，当 AD、AB 满足 （关系）时，四边形 EFGH 为矩形18如图，ABC 中，AC 的中垂线交 AC、AB 于点 D、F，BEDF 交 DF 延长线于点 E，若A=30，BC=6，AF=BF，则四边形 BCDE 的面积是 19如图，在ABC 中，ACB=90，AC=6，BC=8，点 D 是斜边 AB 上任意一点，DEAC，DFBC，垂足分别是点 E、F，点 Q 是 EF 的中点，则线段 DQ 长的最小值等于 20如图，矩形 ABCD 中，AB=20cm，BC=4cm，点 P 从 A 开始沿折线 ABCD 以 4cm/s的速度运动，点 Q 从 C 开始沿 CD 边以 1cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，当其中一点到达 D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t（s），当 t=时，四边形 APQD 也为矩形21如图，在菱形 ABCD 中，BAD=60，AC 与 BC 交于点 O，E 为 CD 延长线上的一点，且CD=DE，连接 BE 分别交 AC、AD 于点 F、G，连接 OG，则下列结论中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）OG=AB；与EGD 全等的三角形共有 5 个；S四边形 CDGFSABF；由点 A、B、D、E 构成的四边形是菱形22如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 AC、AD、CE，CE 交 AD 于点 F，连接 BF，则线段AC、BF、CD 之间的关系式是 23如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，并且A=D（1）求证：四边形 ABCD 为矩形；（2）点 E 是 AB 边的中点，F 为 AD 边上一点，1=22，若 CE=4，CF=5，求 DF 的长24已知：如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，连接 AD，取 AD 的中点 E，过点 A 作BC 的平行线与 CE 的延长线交于点 F，连接 DF（1）求证：AF=DC；（2）请问：AD 与 CF 满足什么条件时，四边形 AFDC 是矩形，并说明理由25如图，在平行四边形 ABCD 中，DAB=60，AB=2AD，点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，过点 A 作 AGBD，交 CB 的延长线于点 G（1）求证：四边形 DEBF 是菱形；（2）请判断四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并加以证明26如图，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角BAC 的角平分线 AE 交 BC 于点 E，AF是 CD 边上的中线，且 PCCD 与 AE 交于点 P，QCBC 与 AF 交于点 Q求证：四边形 APCQ是菱形27矩形 ABCD 中，E 是 CD 上一点，且 AE=CE，F 是 AC 上一点 FHAE 于 H，FGCD 于 G，求证：FH+FG=AD28如图，在ABC 中，AC=9，AB=12，BC=15，P 为 BC 边上一动点，PGAC 于点G，PHAB 于点 H（1）求证：四边形 AGPH 是矩形；（2）在点 P 在运动过程中，GH 是否存在最小值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由29如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，在线段 AD 上任取一点P（点 A 除外），过点 P 作 EFAB，分别交 AC，BC 于点 E 和点 F，作 PQAC，交AB 于点 Q，连接 QE（1）求证：四边形 AEPQ 为菱形；（2）当点 P 在何处时，菱形 AEPQ 的面积为四边形 EFBQ 面积的一半？30在ABC 中，BAC=90，ADBC 于 D，BG 平分ABC 交 AD 于 E，交 AC 于 G，GFBC于 F，连接 EF（1）如图 1，求证：四边形 AEFG 是菱形；（2）如图 2，若 E 为 BG 的中点，过点 E 作 EMBC 交 AC 于 M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中是 CM 长倍的所有线段31阅读下面短文：如图，ABC 是直角三角形，C=90，现将ABC 补成矩形，使ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形 ACBD 和矩形 AEFB（如图）解答问题：（1）设图中矩形 ACBD 和矩形 AEFB 的面积分别为 S1、S2，则 S1 S2（填“”“=”或“”）（2）如图，ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画 个，利用图把它画出来（3）如图，ABC 是锐角三角形且三边满足 BCACAB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个，利用图把它画出来（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？32如图 1，菱形 ABCD 中，点 E、F 分别为 AB、AD 的中点，连接 CE、CF（1）求证：CE=CF；（2）如图 2，若 H 为 AB 上一点，连接 CH，使CHB=2ECB，求证：CH=AH+AB33如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于 F，连接 DF（1）证明：BAC=DAC，AFD=CFE（2）若 ABCD，试证明四边形 ABCD 是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定 E 点的位置，使得EFD=BCD，并说明理由34将两张完全相同的矩形纸片 ABCD、FBED 按如图方式放置，BD 为重合的对角线重叠部分为四边形 DHBG，（1）试判断四边形 DHBG 为何种特殊的四边形，并说明理由；（2）若 AB=8，AD=4，求四边形 DHBG 的面积35如图，四边形 ABCD 中，ABDC，B=90，F 为 DC 上一点，且 FC=AB，E 为 AD 上一点，EC 交 AF 于点 G（1）求证：四边形 ABCF 是矩形；（2）若 EA=EG，求证：ED=EC36如图 1，平行四边形 ABCD，DEAB垂足 E 在 BA 的延长线上，BFDC，垂足 F 在 DC的延长线上（1）求证：四边形 BEDF 是矩形；（2）如图 2，若 M、N 分别为 AD、BC 的中点，连接 EM、EN、FM、FN，求证：四边形 EMFN是平行四边形37如图 1，在 RtABC 中，ACB=90，点 D 是边 AB 的中点，点 E 在边 BC 上，AE=BE，点 M 是 AE 的中点，联结 CM，点 G 在线段 CM 上，作GDN=AEB 交边 BC 于 N（1）如图 2，当点 G 和点 M 重合时，求证：四边形 DMEN 是菱形；（2）如图 1，当点 G 和点 M、C 不重合时，求证：DG=DN参考答案矩形：定义：有一个是直角的平行四边形是矩形性质：判定：菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：1如图，矩形 ABCD 的周长为 20cm，两条对角线相交于 O 点，过点 O 作 AC 的垂线 EF，分别交 AD，BC 于 E，F 点，连接 CE，则CDE 的周长为_【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，AB=DC，BC=AD，OA=OC=OB=OD，ADBC，EDO=FBO，矩形 ABCD 的周长为 20cm，BC+DC=10cm，EFAC，CE=CF，在ODE 和OBF 中，ODEOBF（ASA），DE=BF，CDE 的周长=DE+CE+DC=BF+CF+DC=BC+DC=10cm2如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，点 P 在 AB 上，PEAC 于 E，PFBD 于 F，则PE+PF 等于_【解答】解：方法一：设 AP=x，PB=3xEAP=EAP，AEP=ABC；AEPABC，故=；同理可得BFPDAB，故=+得=，PE+PF=方法二：（面积法）如图，作 BMAC 于 M，则 BM=，SAOB=SAOP+SPOB，AOBM=AOPE+OBPF，OA=OB，PE+PF=BM=3如图，在矩形 ABCD 中，DEAC 于 E，EDC：EDA=1：3，且 AC=8，则 DE 的长度是_【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，ADC=90，AC=BD=8，OA=OC=AC=4，OB=OD=BD=4，OC=OD，ODC=OCD，EDC：EDA=1：3，EDC+EDA=90，EDC=22.5，EDA=67.5，DEAC，DEC=90，DCE=90EDC=67.5，ODC=OCD=67.5，ODC+OCD+DOC=180，COD=45，OE=DE，OE2+DE2=OD2，2DE2=OD2=16，DE=24如图，E，F 分别是矩形 ABCD 边 AD、BC 上的点，且ABG，DCH 的面积分别为 15 和20，则图中阴影部分的面积为_【解答】解：连接 EF，SABF=SEBFSEFG=SABG=15；同理：SEFH=SDCH=20S阴影=SEFG+SDCH=15+20=355若菱形两条对角线长分别为 6 和 8，则这个菱形的面积为_【解答】解：菱形的面积为：68=246若菱形的周长为 16，两邻角度数之比为 1：2，则该菱形的面积为_【解答】解：如图，两邻角度数之比为 1：2，两邻角和为 180，ABC=60，BAD=120，周长为 16，边长 AB=4，菱形的对角线 AC=4，BD=24sin60=4，面积=ACBD=44=87如图，O 是菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点，E、F 分别是 OA、OC 的中点下列结论：SADE=SEOD；四边形 BFDE 也是菱形；四边形 ABCD 的面积为EFBD；ADE=EDO；DEF 是轴对称图形其中正确的结论有_【解答】解：正确E、F 分别是 OA、OC 的中点AE=OESADE=AEOD=OEOD=SEODSADE=SEOD正确四边形 ABCD 是菱形，E，F 分别是 OA，OC 的中点EFOD，OE=OFOD=ODDE=DF同理：BE=BF四边形 BFDE 是菱形正确菱形 ABCD 的面积=ACBDE、F 分别是 OA、OC 的中点EF=AC菱形 ABCD 的面积=EFBD不正确由已知可求得FDO=EDO，而无法求得ADE=EDO正确EFOD，OE=OF，OD=ODDEODFODEF 是轴对称图形正确的结论有四个，分别是8如果矩形一条较短的边是 5，两条对角线的夹角是 60，则对角线长是10【解答】解：如图，在矩形 ABCD 中，AO=BO，AC、BD 的夹角是 60，ABO 是等边三角形，AO=AB=5，对角线 AC=2AO=25=10故答案为：109RtABC 中，BAC=90，AB=3，AC=4，P 为边 BC 上一动点，PEAB 于 E，PFAC 于F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为【解答】解：由题意知，四边形 AFPE 是矩形，点 M 是矩形对角线 EF 的中点，则延长 AM 应过点 P，当 AP 为直角三角形 ABC 的斜边上的高时，即 APBC 时，AM 有最小值，此时 AM=AP，由勾股定理知 BC=5，SABC=ABAC=BCAP，AP=，AM=AP=10如图，四边形 ABCD 为矩形，H、F 分别为 AD、BC 边的中点，四边形 EFGH 为矩形，E、G 分别在 AB、CD 边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形 EFGH 的面积之比为1：1【解答】解：连接 HF，四边形 ABCD 为矩形，AD=BC，ADBC，D=90H、F 分别为 AD、BC 边的中点，DH=CF，DHCF，D=90，四边形 HFCD 是矩形，HFG 的面积是CDDH=S矩形 HFCD，即 SHFG=SDHG+SCFG，同理 SHEF=SBEF+SAEH，图中四个直角三角形面积之和与矩形 EFGH 的面积之比是 1：1，故答案为：1：111如图，在矩形 ABCD 中，AD=5，AB=4，点 E、G、H、F 分别在 AB、BC、CD、AD 上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点 P 是直线 EF、GH 之间任意一点，连接 PE、PF、PG、PH，则PEF 和PGH 的面积和等于【解答】解：连接 FH、EG；AF=CG=2，AE=CH=41=3，A=C=90，AEFCHG，SAEF=SCHG=3；同理可证：FHDGEB，SFHD=SGEB=1.5；FH=EG，EF=GH，即四边形 EFHG 是平行四边形；且 S平行四边形=S矩形2SAEF2SFHD=11；过 P 作 EF、GH 的垂线，交 EF 于 M，GH 于 N；则 SEFP+SGHP=EF（PM+PN）=EFMN=SEFHG=故答案为：12如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 在线段 CB 的延长线上，连接 DE 交 AB 于点F，AED=2CED，点 G 是 DF 的中点，若 BE=1，AG=4，则 AB 的长为【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，点 G 是 DF 的中点，AG=DG，ADG=DAG，ADBC，ADG=CED，AGE=ADG+DAG=2CED，AED=2CED，AED=AGE，AE=AG=4，在 RtABE 中，AB=故答案为：13如图，点 P 在第一象限，ABP 是边长为 2 的等边三角形，当点 A 在 x 轴的正半轴上运动时，点 B 随之在 y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点 P 到原点的最大距离是1+；若将ABP 的 PA 边长改为，另两边长度不变，则点 P 到原点的最大距离变为1+【解答】解：取 AB 的中点 M，连 OM，PM，在 RtABO 中，OM=1，在等边三角形 ABP 中，PM=，无论ABP 如何运动，OM 和 PM 的大小不变，当 OM，PM 在一直线上时，P 距 O 最远，O 到 AB 的最大值是AB=1，此时在斜边的中点 M 上，由勾股定理得：PM=，OP=1+，将AOP 的 PA 边长改为，另两边长度不变，22+22=，PBA=90，由勾股定理得：PM=，此时 OP=OM+PM=1+故答案为：1+，1+14如图，在菱形 ABCD 中，AD=8，ABC=120，E 是 BC 的中点，P 为对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PB 的最小值为4【解答】解：连接 BD，DE，四边形 ABCD 是菱形，B、D 关于直线 AC 对称，DE 的长即为 PE+PB 的最小值，ABC=120，BCD=60，BCD 是等边三角形，E 是 BC 的中点，DEBC，CE=BC=8=4，DE=4故答案为：415如图，在ABC 中，ABC=90，BD 为 AC 的中线，过点 C 作 CEBD 于点 E，过点 A作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取 FG=BD，连接 BG、DF若AG=13，CF=6，则 BG=5【解答】解：AGBD，BD=FG，四边形 BGFD 是平行四边形，CFBD，CFAG，又点 D 是 AC 中点，BD=DF=AC，四边形 BGFD 是菱形，设 GF=x，则 AF=13x，AC=2x，在 RtACF 中，CFA=90，AF2+CF2=AC2，即（13x）2+62=（2x）2，解得：x=5，即 BG=5故答案是：516下列命题：矩形的对角线互相平分且相等；对角线相等的四边形是矩形；菱形的每一条对角线平分一组对角；一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形其中正确的命题为（注：把你认为正确的命题序号都填上）【解答】解：矩形的对角线互相平分且相等；故正确；对角线相等的四边形是矩形，不能正确判定，故错误；菱形的每一条对角线平分一组对角，这是菱形的一条重要性质，故正确；一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故正确故答案为：17如图，在矩形 ABCD 中，AE=AF，过点 E 作 EHEF 交 DC 于点 H，过 F 作 FGEF 交 BC于 G，当 AD、AB 满足AB=AD（关系）时，四边形 EFGH 为矩形【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，A=90AE=AF，AFE=AEF=45又EHEF，FGEFGFB=HED=45，DHE 和BGF 都是等腰直角三角形如果四边形 EFGH 是矩形，则 EH=FG，ED=FB又AE=AF，AD=AB故答案是：AD=AB18如图，ABC 中，AC 的中垂线交 AC、AB 于点 D、F，BEDF 交 DF 延长线于点 E，若A=30，BC=6，AF=BF，则四边形 BCDE 的面积是18【解答】解：AF=BF，即 F 为 AB 的中点，又 DE 垂直平分 AC，即 D 为 AC 的中点，DF 为三角形 ABC 的中位线，DEBC，DF=BC，又ADF=90，C=ADF=90，又 BEDE，DEAC，CDE=E=90，四边形 BCDE 为矩形，BC=6，DF=BC=3，在 RtADF 中，A=30，DF=3，tan30=，即 AD=3，CD=AD=3，则矩形 BCDE 的面积 S=CDBC=18故答案为：1819如图，在ABC 中，ACB=90，AC=6，BC=8，点 D 是斜边 AB 上任意一点，DEAC，DFBC，垂足分别是点 E、F，点 Q 是 EF 的中点，则线段 DQ 长的最小值等于2.4【解答】解：在ABC 中，ACB=90，AC=6，BC=8，AB=10，连接 CD，DEAC，DFBC，四边形 EDFC 是矩形，EF=CD，EDF=90，点 Q 是 EF 的中点，DQ=EF=CD，当 CD 最小时，则 DQ 最小，根据垂线段最短可知当 CDAB 时，则 CD 最小，DQ=EF=CD=2.4，故答案为：2.420如图，矩形 ABCD 中，AB=20cm，BC=4cm，点 P 从 A 开始沿折线 ABCD 以 4cm/s的速度运动，点 Q 从 C 开始沿 CD 边以 1cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，当其中一点到达 D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t（s），当 t=4时，四边形 APQD 也为矩形【解答】解：根据题意，当 AP=DQ 时，四边形 APQD 为矩形此时，4t=20t，解得t=4（s）故答案是：421如图，在菱形 ABCD 中，BAD=60，AC 与 BC 交于点 O，E 为 CD 延长线上的一点，且CD=DE，连接 BE 分别交 AC、AD 于点 F、G，连接 OG，则下列结论中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）OG=AB；与EGD 全等的三角形共有 5 个；S四边形 CDGFSABF；由点 A、B、D、E 构成的四边形是菱形【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，AB=BC=CD=DA，ABCD，OA=OC，OB=OD，ACBD，BAG=EDG，ABOBCOCDOAOD，CD=DE，AB=DE，在ABG 和DEG 中，ABGDEG（AAS），AG=DG，OG 是ACD 的中位线，OG=CD=AB，正确；ABCE，AB=DE，四边形 ABDE 是平行四边形，BCD=BAD=60，ABD、BCD 是等边三角形，AB=BD=AD，ODC=60，OD=AG，四边形 ABDE 是菱形，正确；ADBE，由菱形的性质得：ABGBDGDEG，在ABG 和DCO 中，ABGDCO（SAS），ABOBCOCDOAODABGBDGDEG，不正确；OB=OD，AG=DG，OG 是ABD 的中位线，OGAB，OG=AB，GODABD，ABFOGF，GOD 的面积=ABD 的面积，ABF 的面积=OGF 的面积的 4 倍，AF：OF=2：1，AFG 的面积=OGF 的面积的 2 倍，又GOD 的面积=AOG 的面积=BOG 的面积，S四边形 ODGF=SABF；不正确；正确的是故答案为：22如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 AC、AD、CE，CE 交 AD 于点 F，连接 BF，则线段AC、BF、CD 之间的关系式是AC2+BF2=4CD2【解答】解：五边形 ABCDE 是正五边形，ABCE，ADBC，四边形 ABCF 是平行四边形，又AB=BC=CD=DE=EA，四边形 ABCF 是菱形，ACBF，OB2+OC2=BC2，AC=2OC，BF=2OB，AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，又BC=CD，AC2+BF2=4CD2故答案为：AC2+BF2=4CD223如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，并且A=D（1）求证：四边形 ABCD 为矩形；（2）点 E 是 AB 边的中点，F 为 AD 边上一点，1=22，若 CE=4，CF=5，求 DF 的长【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，A+D=180，又A=D，A=D=90，平行四边形 ABCD 为矩形；（2）解：延长 DA，CE 交于点 G，四边形 ABCD 是矩形，DAB=B=90，ADBC，GAE=90，G=ECB，E 是 AB 边的中点，AE=BE，在AGE 和BCE 中，AGEBCE（AAS），AG=BC，若 CE=4，CF=5，设 DF=x，根据勾股定理得：CD2=CF2DF2=CG2DG2，即 52x2=82（5+x）2，解得：x=，即 DF=24已知：如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，连接 AD，取 AD 的中点 E，过点 A 作BC 的平行线与 CE 的延长线交于点 F，连接 DF（1）求证：AF=DC；（2）请问：AD 与 CF 满足什么条件时，四边形 AFDC 是矩形，并说明理由【解答】（1）证明：AFBC，AFE=DCE，又E 为 AD 的中点，AE=DE，在AEF 和DEC 中，AEFDEC（AAS），AF=DC；（2）解：当 AD=CF 时，四边形 AFDC 是矩形；理由如下：由（1）得：AF=DC 且 AFDC，四边形 AFDC 是平行四边形，又AD=CF，四边形 AFDC 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）25如图，在平行四边形 ABCD 中，DAB=60，AB=2AD，点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，过点 A 作 AGBD，交 CB 的延长线于点 G（1）求证：四边形 DEBF 是菱形；（2）请判断四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并加以证明【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形ABCD 且 AB=CD，ADBC 且 AD=BCE，F 分别为 AB，CD 的中点，BE=AB，DF=CD，BE=DF，四边形 DEBF 是平行四边形在ABD 中，E 是 AB 的中点，AE=BE=AB=AD，而DAB=60AED 是等边三角形，即 DE=AE=AD，故 DE=BE平行四边形 DEBF 是菱形（2）解：四边形 AGBD 是矩形，理由如下：ADBC 且 AGDB四边形 AGBD 是平行四边形由（1）的证明知 AD=DE=AE=BE，ADE=DEA=60，EDB=DBE=30故ADB=90平行四边形 AGBD 是矩形26如图，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角BAC 的角平分线 AE 交 BC 于点 E，AF是 CD 边上的中线，且 PCCD 与 AE 交于点 P，QCBC 与 AF 交于点 Q求证：四边形 APCQ是菱形【解答】证明：AC=AD，AF 是 CD 边上的中线，AFC=90，ACF+CAF=90，ACF+PCA=90，PCA=CAF，PCAQ，同理：APQC，四边形 APCQ 是平行四边形AFCP，AECQ，EPC=PAF=FQC，AB=AC，AE 平分BAC，CE=BE=CB（等腰三角三线合一），AF 是 CD 边上的中线，CF=CD，CB=DC，CE=CF，PCCD，QCBC，ECP+PCQ=QCF+PCQ=90，PCE=QCF，PECQFC（AAS），PC=QC，四边形 APCQ 是菱形27矩形 ABCD 中，E 是 CD 上一点，且 AE=CE，F 是 AC 上一点 FHAE 于 H，FGCD 于 G，求证：FH+FG=AD【解答】证明：连接 EF，如图所示：FHAE 于 H，FGCD 于 G，ACE 的面积=AEF 的面积+CEF 的面积=AEFH+CEFG，AE=CE，ACE 的面积=CE（FH+FG），又四边形 ABCD 是矩形，ADCD，ACE 的面积=CEAD，FH+FG=AD28如图，在ABC 中，AC=9，AB=12，BC=15，P 为 BC 边上一动点，PGAC 于点G，PHAB 于点 H（1）求证：四边形 AGPH 是矩形；（2）在点 P 在运动过程中，GH 是否存在最小值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由【解答】（1）证明AC=9 AB=12 BC=15，AC2=81，AB2=144，BC2=225，AC2+AB2=BC2，A=90PGAC，PHAB，AGP=AHP=90，四边形 AGPH 是矩形；（2）存在理由如下：连结 APGH=AP当 APBC 时 AP 最短912=15APAP=29如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，在线段 AD 上任取一点P（点 A 除外），过点 P 作 EFAB，分别交 AC，BC 于点 E 和点 F，作 PQAC，交AB 于点 Q，连接 QE（1）求证：四边形 AEPQ 为菱形；（2）当点 P 在何处时，菱形 AEPQ 的面积为四边形 EFBQ 面积的一半？【解答】（1）证明：EFAB，PQAC，四边形 AEPQ 为平行四边形，BAD=EPA，AB=AC，AD 平分CAB，CAD=BAD，CAD=EPA，EA=EP，四边形 AEPQ 为菱形（2）解：P 为 EF 中点，即 AP=AD 时，S菱形 AEPQ=S四边形 EFBQ四边形 AEPQ 为菱形，ADEQ，AB=AC，AD 平分BAC，ADBC，EQBC，又EFAB，四边形 EFBQ 为平行四边形作 ENAB 于 N，如图所示：则 S菱形 AEPQ=EPEN=EFEN=S四边形 EFBQ30在ABC 中，BAC=90，ADBC 于 D，BG 平分ABC 交 AD 于 E，交 AC 于 G，GFBC于 F，连接 EF（1）如图 1，求证：四边形 AEFG 是菱形；（2）如图 2，若 E 为 BG 的中点，过点 E 作 EMBC 交 AC 于 M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中是 CM 长倍的所有线段【解答】（1）证明：ADBC，GFBC，ADF=GFC=90，AEGF，在ABG 和FBG 中，ABGFBG，AG=FG，FBG+BED=90，BED=AEG，FBG+AEG=90，ABG+AGE=90，ABG=FBG，AEG=AGE，AE=AG，AE=FG，四边形 AEFG 是平行四边形，AE=AG四边形 AEFG 是菱形（2）解：四边形 AEFG 是菱形，AE=AG，BE=EG，BAG=90，AE=BE=EG，AEG 是等边三角形，AGE=60，在 RTABG 中，ABG=30，AB=AG，C=30，BC=2AB，BE=GE，EFAC，EMBC，BF=FC，CM=GM，在 RTAEM 中，AME=C=30，GEM+GME=60，GEM=GME=30，EG=AG=GM=CM，EMFC，EFCM，四边形 EFCM 是平行四边形，AB=BF=CF=EM=CM，是 CM 长倍的所有线段有 AB、BF、CF、EM31阅读下面短文：如图，ABC 是直角三角形，C=90，现将ABC 补成矩形，使ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形 ACBD 和矩形 AEFB（如图）解答问题：（1）设图中矩形 ACBD 和矩形 AEFB 的面积分别为 S1、S2，则 S1=S2（填“”“=”或“”）（2）如图，ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画1个，利用图把它画出来（3）如图，ABC 是锐角三角形且三边满足 BCACAB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出3个，利用图把它画出来（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？【解答】解：（1）=（2）1（3）3（4）以 AB 为边长的矩形周长最小，设矩形 BCED，ACHQ，ABGF 的周长分别为 L1，L2，L3，BC=a，AC=b，AB=c易得三个矩形的面积相等，设为 S，L1=+2a；L2=+2b；L3=+2cL1L2=2（ab）而 ab0，abs0，ab0L1L20，L1L2，同理可得 L2L3以 AB 为边长的矩形周长最小32如图 1，菱形 ABCD 中，点 E、F 分别为 AB、AD 的中点，连接 CE、CF（1）求证：CE=CF；（2）如图 2，若 H 为 AB 上一点，连接 CH，使CHB=2ECB，求证：CH=AH+AB【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，B=D，AB=BC=CD=AD，点 E、F 分别为 AB、AD 的中点，BE=AB，DF=AD，BE=DF，在BCE 和DCF 中，BCEDCF（SAS），CE=CF；（2）证明：延长 BA 与 CF，交于点 G，四边形 ABCD 是菱形，B=D，AB=BC=CD=AD，AFBC，ABCD，G=FCD，点 F 分别为 AD 的中点，且 AGCD，AG=AB，BCEDCF，ECB=DCF，CHB=2ECB，CHB=2G，CHB=G+HCG，G=HCG，GH=CH，CH=AH+AG=AH+AB33如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于 F，连接 DF（1）证明：BAC=DAC，AFD=CFE（2）若 ABCD，试证明四边形 ABCD 是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定 E 点的位置，使得EFD=BCD，并说明理由【解答】（1）证明：在ABC 和ADC 中，ABCADC（SSS），BAC=DAC，在ABF 和ADF 中，ABFADF（SAS），AFD=AFB，AFB=CFE，AFD=CFE；（2）证明：ABCD，BAC=ACD，又BAC=DAC，CAD=ACD，AD=CD，AB=AD，CB=CD，AB=CB=CD=AD，四边形 ABCD 是菱形；（3）当 EBCD 时，即 E 为过 B 且和 CD 垂直时垂线的垂足，EFD=BCD，理由：四边形 ABCD 为菱形，BC=CD，BCF=DCF，在BCF 和DCF 中，BCFDCF（SAS），CBF=CDF，BECD，BEC=DEF=90，BCD+CBE=CDF+EFD，EFD=BCD34将两张完全相同的矩形纸片 ABCD、FBED 按如图方式放置，BD 为重合的对角线重叠部分为四边形 DHBG，（1）试判断四边形 DHBG 为何种特殊的四边形，并说明理由；（2）若 AB=8，AD=4，求四边形 DHBG 的面积【解答】解：（1）四边形 DHBG 是菱形理由如下：四边形 ABCD、FBED 是完全相同的矩形，A=E=90，AD=ED，AB=EB在DAB 和DEB 中，DABDEB（SAS），ABD=EBDABCD，DFBE，四边形 DHBG 是平行四边形，HDB=EBD，HDB=HBD，DH=BH，DHBG 是菱形（2）由（1），设 DH=BH=x，则 AH=8x，在 RtADH 中，AD2+AH2=DH2，即 42+（8x）2=x2，解得：x=5，即 BH=5，菱形 DHBG 的面积为 HBAD=54=2035如图，四边形 ABCD 中，ABDC，B=90，F 为 DC 上一点，且 FC=AB，E 为 AD 上一点，EC 交 AF 于点 G（1）求证：四边形 ABCF 是矩形；（2）若 EA=EG，求证：ED=EC【解答】证明：（1）ABCD，且 FC=AB，四边形 ABCF 为平行四边形，B=90，四边形 ABCF 是矩形；（2）EA=EG，EAG=EGA=FGC，四边形 ABCF 为矩形，AFC=AFD=90，D+DAF=FGC+ECD=90，D=ECD，ED=EC36如图 1，平行四边形 ABCD，DEAB垂足 E 在 BA 的延长线上，BFDC，垂足 F 在 DC的延长线上（1）求证：四边形 BEDF 是矩形；（2）如图 2，若 M、N 分别为 AD、BC 的中点，连接 EM、EN、FM、FN，求证：四边形 EMFN是平行四边形【解答】证明：（1）平行四边形 ABCD，ABCD，ABF+F=180，FDE+E=180，DEABBFDC，E=90，F=90，ABF=90，FDE=90，四边形 BEDF 是矩形；（2）平行四边形 ABCD，四边形 BEDF 是矩形，NBF+BCF=90，EDM+ADC=90，ADBC，AD=BC，BF=DE，ADC=BCF，NBF=MDE，M、N 分别为 AD、BC 的中点，BN=DM，在BNF 与DME 中BNFDME（SAS），EM=FN，同理可得：EN=MF，四边形 EMFN 是平行四边形