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高等数学(同济第七版)上册-知识点总结.pdf

1、1高等数学高等数学(同济第七版同济第七版)上册上册-知识点总结知识点总结第 1 章 函数与极限一一.函数的概念函数的概念1.两个无穷小的比较设且0)(lim,0)(limxgxflxgxf)()(lim(1)l=0,称f(x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f(x)=0,称g(x)(xg是比f(x)低阶的无穷小。(2)l 0,称f(x)与g(x)是同阶无穷小。(3)l=1,称f(x)与g(x)是等价无穷小,记以f(x)g(x)2.常见的等价无穷小当x 0时sin x x,tan x x,x,x,xarcsinxarccos1 cos x ,1 x,x,2/2xxe)1ln(x1)1(xx二求极限

2、的方法求极限的方法1两个准则准则 1.单调有界数列极限一定存在准则 2.(夹逼定理)设g(x)f(x)h(x)若,则AxhAxg)(lim,)(limAxf)(lim2两个重要公式公式 11sinlim0 xxx公式 2exxx/10)1(lim3用无穷小重要性质和等价无穷小代换4用泰勒公式当时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次x02)()!12()1(.!5!3sin)(!.!3!2112125332nnnnnxxonxxxxxxonxxxxe)(!2)1(.!4!21cos2242nnnxonxxxx)()1(.32)1ln(132nnnxonxxxxx)(!)1().(1(.!2)1

3、(1)1(2nnxoxnnxxx)(12)1(.53arctan1212153nnnxonxxxxx5洛必达法则定理 1 设函数、满足下列条件:)(xf)(xF(1),;0)(lim0 xfxx0)(lim0 xFxx(2)与在的某一去心邻域内可导,且;)(xf)(xF0 x0)(xF(3)存在(或为无穷大),则 )()(lim0 xFxfxx这个定理说明:当存在时,也存在且等于;)()(lim0 xFxfxx)()(lim0 xFxfxx)()(lim0 xFxfxx当为无穷大时,也是无穷大)()(lim0 xFxfxx)()(lim0 xFxfxx这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极

4、限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达(ospital)法则.HL型未定式定理 2 设函数、满足下列条件:)(xf)(xF(1),;)(lim0 xfxx)(lim0 xFxx(2)与在的某一去心邻域内可导,且;)(xf)(xF0 x0)(xF(3)存在(或为无穷大),则 )()(lim0 xFxfxx注:上述关于时未定式型的洛必达法则,对于时未定式0 xx x型同样适用使用洛必达法则时必须注意以下几点:)()(lim)()(lim00 xFxfxFxfxxxx)()(lim)()(lim00 xFxfxFxfxxxx3(1)洛必达法则只能适用于“”和“”型的未定式,其它的未定式00须先化简变

5、形成“”或“”型才能运用该法则;00(2)只要条件具备,可以连续应用洛必达法则;(3)洛必达法则的条件是充分的,但不必要因此,在该法则失效时并不能断定原极限不存在6利用导数定义求极限基本公式(如果存在))()()(lim0000 xfxxfxxfx7.利用定积分定义求极限 基本格式(如果存在)101)()(1limdxxfnkfnnkn3 3函数的间断点的分类函数的间断点的分类函数的间断点分为两类:(1)第一类间断点设 是函数 y=f(x)的间断点。如果 f(x)在间断点处的左、右极限都存在,0 x0 x则称是 f(x)的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为0 x可去间断点。

6、左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。(2)第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。4 4闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 在闭区间a,b上连续的函数f(x),有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。定理1(有界定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,则f(x)必在a,b上有界。定理2(最大值和最小值定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m。定理3(介值定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,且其最大值和最小值分别为M 和m,则对于介

7、于m和M 之间的任何实数c,在a,b上至少存在一个,使得f()=c推论:如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)与f(b)异号,则在(a,b)内至少存在一个点,使得f()=0这个推论也称为零点定理4第二章 导数与微分一基本概念一基本概念1可微和可导等价,都可以推出连续,但是连续不能推出可微和可导。二求导公式二求导公式三常见求导三常见求导51.复合函数运算法则2.由参数方程确定函数的运算法则设x=(t),y=确定函数y=y(x),其中存在,且 0,则)(t)(),(tt)(t)()(ttdxdy3.反函数求导法则设y=f(x)的反函数x=g(y),两者皆可导,且f(x)0则)0)()(1

8、)(1)(xfygfxfyg4.隐函数运算法则设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定,求y的方法如下:把F(x,y)=0两边的各项对x求导,把y 看作中间变量,用复合函数求导公式计算,然后再解出y 的表达式(允许出现y 变量)5.对数求导法则 (指数类型 如)xxysin先两边取对数,然后再用隐函数求导方法得出导数y。对数求导法主要用于:幂指函数求导数多个函数连乘除或开方求导数(注意定义域。关于幂指函数y=f(x)g(x)常用的一种方法,y=这)(ln)(xfxge样就可以直接用复合函数运算法则进行。6.求n阶导数(n 2,正整数)先求出 y,y,总结出规律性,然后写出y(n),最后用归

9、纳法证明。有一些常用的初等函数的n 阶导数公式(1)xnxeyey)(,(2)nxnxaayay)(ln,)((3),xysin)2sin()(nxyn(4),xycos)2cos()(nxyn(5),xylnnnnxny)!1()1(1)(6第第 3 3 章章 微分中值定理与导数应用微分中值定理与导数应用一一 .罗尔定理罗尔定理设函数 f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b)则存在 (a,b),使得 f()=0二二 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理设函数 f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;则存在 (

10、a,b),使得)()()(fabafbf推论1若f(x)在(a,b)内可导,且f(x)0,则f(x)在(a,b)内为常数。推论2若f(x),g(x)在(a,b)内皆可导,且f(x)g(x),则在(a,b)内f(x)=g(x)+c,其中c为一个常数。三三 .柯西中值定理柯西中值定理设函数f(x)和g(x)满足:(1)在闭区间a,b上皆连续;(2)在开区间(a,b)内皆可导;且g(x)0则存在(a,b)使得)()()()()()(gfagbgafbf)(ba(注:柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广,特殊情形g(x)=x 时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。)四四.泰勒公式(泰勒公式(估值估值

11、求极限(麦克劳林)求极限(麦克劳林)定理 1(皮亚诺余项的n 阶泰勒公式)设f(x)在0 x 处有n 阶导数,则有公式7,称为皮亚诺余项定理2(拉格朗日余项的n 阶泰勒公式)设f(x)在包含0 x 的区间(a,b)内有n+1阶导数,在a,b上有n阶连续导数,则对xa,b,有公式 ,,称为拉格朗日余项上面展开式称为以0(x)为中心的n 阶泰勒公式。当=0 时,也称为n阶麦克劳0 x林公式。常用公式(前8个)8五导数的应用五导数的应用一基本知识9设函数f(x)在处可导,且为f(x)的一个极值点,则。0 x0 x0)(0 xf我们称x 满足的 称为的驻点,可导函数的极值点一定是驻点,0)(0 xf0

12、 x)(xf反之不然。极值点只能是驻点或不可导点,所以只要从这两种点中进一步去判断。极值点判断方法1.第一充分条件 在的邻域内可导,且,则若当时,)(xf0 x0)(0 xf0 xx,当时,则为极大值点;若当0)(xf0 xx 0)(xf0 x时,当时,则为极小值点;0 xx 0)(xf0 xx 0)(xf0 x若在的两侧不变号,则不是极值点.0 x)(xf 0 x2.第二充分条件在处二阶可导,且,则若)(xf0 x0)(0 xf0)(0 xf,则为极大值点;若,则为极小值点.0)(0 xf0 x0)(0 xf0 x3.泰勒公式判别法(用的比较少,可以自行百度)二.凹凸性与拐点1凹凸的定义设f

13、(x)在区间I 上连续,若对任意不同的两点1 2 x,x,恒有则称f(x)在I 上是凸(凹)的。在几何上,曲线y=f(x)上任意两点的割线在曲线下(上)面,则y=f(x)是凸(凹)的。如果曲线y=f(x)有切线的话,每一点的切线都在曲线之上(下)则y=f(x)是凸(凹)的。2拐点的定义曲线上凹与凸的分界点,称为曲线的拐点。3凹凸性的判别和拐点的求法设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数,)(xf如果在(a,b)内的每一点x,恒有 0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的;)(xf如果在(a,b)内的每一点x,恒有 0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的。)(xf10求曲线y=f(x)的

14、拐点的方法步骤是:第一步:求出二阶导数;)(xf第二步:求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点;kxxx,.2,1第三步:对于以上的连续点,检验各点两边二阶导数的符号,如果符号不同,该点就是拐点的横坐标;第四步:求出拐点的纵坐标。三渐近线的求法四曲率第四章第四章 不定积分不定积分11一基本积分表:一基本积分表:二换元积分法和分部积分法二换元积分法和分部积分法换元积分法(1)第一类换元法(凑微分):)()(d)()(xuduufxxxf(2)第二类换元法(变量代换):)(1d)()()(xttttfdxxf分部积分法 vduuvudv使用分部积分法时被积函数中谁看作谁看作有一定规律。)(xu)

15、(xvCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(2

16、21cossin22222222222222222222202012记住口诀,反对幂指三为,靠前就为,例如,应该是)(xu)(xuxdxexarcsin为,因为反三角函数排在指数函数之前,同理可以推出其他。xarcsin)(xu三有理函数积分三有理函数积分 有理函数:,其中是多项式。)()()(xQxPxf)()(xQxP和和 简单有理函数:121)()(,1)()(xxPxfxxPxf )()()(bxaxxPxf baxxPxf 2)()()(1、“拆”;2、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等).13第五章第五章 定积分定积分一概念与性质一概念与性质1、定义:niiibaxfdxxf1

17、0)(lim)(2、性质:(10 条)(3)143.基本定理变上限积分:设,则推广:xadttfx)()()()(xfx)()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxxNL 公式:若为的一个原函数,则)(xF)(xf)()()(aFbFdxxfba4.定积分的换元积分法和分部积分法15二定积分的特殊性质二定积分的特殊性质16第第 6 章章 定积分的应用定积分的应用一一 平面图形的面积平面图形的面积1.直角坐标:badxxfxfA)()(12 2.极坐标:dA)()(212122二二 体积体积1.旋转体体积:a)曲边梯形轴,绕轴旋转而成的旋xbxaxxfy,),(x转体的体积:baxd

18、xxfV)(2 b)曲边梯形轴,绕轴旋转而成的旋xbxaxxfy,),(y17转体的体积:(柱壳法)baydxxxfV)(2三三.弧长弧长1.直角坐标:badxxfs2)(12.参数方程:dttts22)()(极坐标:ds22)()(18第七章第七章 微分方程微分方程一一概念概念1.微分方程:表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2.解:使微分方程成为恒等式的函数.通解:方程的解中含有任意的常数,且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解:确定了通解中的任意常数后得到的解.(1).变量可分离的方程,两边积分dxxfdyyg)()(dx

19、xfdyyg)()(2).齐次型方程,设,则;)(xydxdyxyu dxduxudxdy或,设,则)(yxdydxyxv dydvyvdydx(3).一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy用常数变易法或用公式:CdxexQeydxxPdxxP)()()(4).可降阶的高阶微分方程1、,两边积分次;)()(xfynn2、(不显含有),令,则;),(yxfy ypy py 3、(不显含有),令,则),(yyfy xpy dydppy (一)线性微分方程解的结构1、是齐次线性方程的解,则也是;21,yy2211yCyC2、是齐次线性方程的线性无关的特解,则是方程21,yy2211yCyC的通解

20、;3、为非齐次方程的通解,其中为对应齐*2211yyCyCy21,yy19次方程的线性无关的解,非齐次方程的特解.*y(二)常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程:0 qyypy特征方程:,特征根:02qprr21,rr特征根通 解实根 21rr xrxreCeCy2121221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx(三)常系数非齐次线性微分方程 )(xfqyypy 1、)()(xPexfmx设特解,其中)(*xQexymxk是重根是一个单根不是特征根,k2102、xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(设特解,xxRxxRexymmxksin)(cos)()2()1(*其中,,maxnlm 是是特特征征根根不不是是特特征征根根iik ,1 ,0

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