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线线性性规规划划，想想说说懂懂你你很很容容易易线性规划是近两年高考的必考内容。学习简单线性规划的有关知识其最终目的就是运用它们去解决在线性约束条件下目标函数的最值（最大值或最小值）问题。而有关的题型种类较多，变化多样，应用线性规划的思想解题不能完全拘泥于课本中的 z=ax+by 的形式，下面就从规划思想出发探讨常见的简单线性规划求最值问题。1 1、目标函数形如、目标函数形如 z=ax+byz=ax+by 型：型：例例 1 1（2008.全国）设变量满足约束条件：，xy，222yxxyx，则的最小值是（）yxz3A B C D2468解解：画出可行域（如图 1），由可得，所以表示直线yxz
2、3331zxy3z的纵截距，由图可知当直线过点 A（-2，2）时，z z 的最小值是-8，331zxy选 D.2 2、目标函数形如、目标函数形如型：型：axbyz例例 2 2（2007.辽宁）已知变量满足约束条件xy，20170 xyxxy，则的取值范围是（）yxA B C D6,59965，36，3 6，解解：画出可行域（如图 2），表示可行域内的点（x,y）与原yx点连线的斜率，求得 A（1，6），C（）,且求得29,25KOA=6，KOC=，所以，选 A.59659xy3 3、目标函数形如、目标函数形如 z=az=abx+cybx+cy型：型：例例 3 3.（2008.北京）若实数满足则
3、的xy，1000 xyxyx，23xyz图 1图 2图 3最小值是（）A0B1CD93解解：画出可行域（如图 3），令 u=x+2y,当 x=y=0 时 u 最小为 0，则的最小值是 1.故选 B.23xyz4.目标函数形如目标函数形如 z=z=型：型：edxcbyax例例 4 4已知 x、y 满足，则的取值范围是（xyyxx12340132xyx）A1,5 B2,6 C2,10 D3,11解解：做出可行域（如图 4），因为，其中1)1(211)1(21132xyxyxxyx可视作可行域内的点与点 C（-1，-1）连线的斜率，且求得11xyKCA=5，KCB=1，所以由图可知，所以选 D.51
4、11xy11113xy5.5.目标函数形如目标函数形如型：型：22)()(byaxz例例 5 5.已知 x、y 满足，求的最0,0022yxyx22)1()1(yxz大值和最小值.解解：目标函数的几何意义是可行域的点（x，y）与点 C（1，1）的距离（如图5），由图形易知点 C 与可行域内的点 O（0，0）和 A（2，0）的距离最大为，2而的最小值是点 C 到直线的距离，所以=，=z022yx55maxz2minz55变式变式 已知 x、y 满足约束条件，求 z z=x2+y2的最大值和最小值，032093072yxyxyx解解：画出可行域（如图 6），z z=x2+y2表示可行域内的点与原点
5、 O 距离的平方，由图可知，|OA|最大，=（）2=61,最小值为点 O 到直maxz2265 线 x+2y-3=0 的距离的平方，=（）2=.minz41|3|596.6.目标函数形如目标函数形如 z=|ax+by+c|z=|ax+by+c|型：型：图 4图 5图 6例例 6 6.已知 x、y 满足，求 z z=|x+2y-4|的最大值.0520402yxyxyx解解：因为,所以 z z 可看作是可行域内任55|42|42|yxyxz意一点（x,y）到直线 x+2y-4=0 的距离的倍.由图 7 知，点 C 到直5线 x+2y-4=0 的距离最大,由可得 C（7，9）所以05202yxyxz zmax=|7+29-4|=21.7.7.目标函数形如目标函数形如 z=axz=ax2 2+by+by2 2型：型：例例 7 7.已知变量 x、y 满足，求 z=4xz=4x2 2+y+y2 2的最值261yxyxy解解：做出可行域，即以原点为中心的共离心率的椭圆系（如图 8），由 z=4xz=4x2 2+y+y2 2得，目标函数 z 的几何意义是椭圆长轴的平1422zyzx方，当椭圆分别经过 C（4，2），B（1，2，）时 z 取最大值和最小值，=68，=8.此题还可以进一步引申，求 z=4xz=4x2 2-y-y2 2的最值。maxzminz图 7图 8
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