概率论与数理统计几种重要的分布.pptx

第四章第四章 几种重要的分布几种重要的分布4.1 二项分布二项分布4.2 超几何分布超几何分布4.3 泊松分布泊松分布4.4 指数分布指数分布4.6 正态分布正态分布.一、两点分布一、两点分布 2、数字特征、数字特征1、定义、定义4.1 二项分布二项分布.二、二项分布二、二项分布.1、定义、定义2、数字特征、数字特征.例例2、某工厂每天用水量保持正常的概率为、某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，求最近，求最近6天天内用水量正常的天数的分布。内用水量正常的天数的分布。解解：设最近六天内用水量保持正常的天数为：设最近六天内用水量保持正常的天数为X。它服从二。它服从二项分布，项分布，n=6,p=0.75。利用二项分布公式计算。利用二项分布公式计算X0123456P0.00020.00440.03300.13180.29660.35600.1780解解：X服从二项分布，服从二项分布，n=10,p=0.2。利用二项分布公式计算。利用二项分布公式计算例例3、10部机器各自独立工作，因修理调整等原因，每部机部机器各自独立工作，因修理调整等原因，每部机器停车的概率为器停车的概率为0.2。求同时停车数目。求同时停车数目X的分布。的分布。X012345678910P0.110.270.300.200.090.030.010.000.000.000.00.例例4、一批产品的废品率为一批产品的废品率为0.03，进行，进行20次重复抽样（有放次重复抽样（有放回）。求出现废品的频率为回）。求出现废品的频率为0.1的概率。的概率。解解：X表示表示20次中抽到废品的次数，服从二项分布，次中抽到废品的次数，服从二项分布，n=20,p=0.03。利用二项分布公式计算。利用二项分布公式计算.3、二项分布的最可能值、二项分布的最可能值.例例5、某批产品有、某批产品有80的一等品，对它们进行重复抽样检验，的一等品，对它们进行重复抽样检验，共取出共取出4个样品，求其中一等品数个样品，求其中一等品数X的最可能值的最可能值k，并用贝努，并用贝努利公式验证。利公式验证。解解：一等品数：一等品数X服从二项分布，服从二项分布，np+p=3.2+0.8=4，所以所以k=3,4时时PX=k最大。最大。X01234P0.00160.02560.15360.40960.4096n很大时，频率为概率的可能最大很大时，频率为概率的可能最大.证明：证明：.例例6、某人射击的命中率为、某人射击的命中率为0.8，今连续射击，今连续射击30次，计算命中率为次，计算命中率为 60的概率。的概率。.例例9、计算机在进行加法运算时，每个加数按四舍五入取、计算机在进行加法运算时，每个加数按四舍五入取整数，假定每个加数的取整误差服从整数，假定每个加数的取整误差服从-0.5,0.5上的均匀分上的均匀分布，今有五个加数相加，计算它们中至少有三个加数的布，今有五个加数相加，计算它们中至少有三个加数的取整误差绝对值概率不超过取整误差绝对值概率不超过0.3的概率。的概率。.例例1：某班有学生：某班有学生20名，其中名，其中5名女同学，今从班上任选名女同学，今从班上任选4名学名学生去参观展览，被选到的女学生数生去参观展览，被选到的女学生数X是一个随机变量，求是一个随机变量，求X的的分布。分布。例例2：某班有学生：某班有学生20名，其中名，其中3名女同学，今从班上任选名女同学，今从班上任选4名学名学生去参观展览，被选到的女学生数生去参观展览，被选到的女学生数X是一个随机变量，求是一个随机变量，求X的的分布。分布。4.2 超几何分布超几何分布.1、定义、定义2、数字特征、数字特征.3、超几何分布与二项分布的关系、超几何分布与二项分布的关系证明：证明：.例例3、一大批种子的发芽率为、一大批种子的发芽率为90，从中任取，从中任取10粒，求粒，求(1)播种后恰好有播种后恰好有8粒发芽的概率。粒发芽的概率。(2)播种后不少于播种后不少于8粒发芽的概率。粒发芽的概率。解解 设设X为为10粒种子中发芽的种子数目，服从超几何分布。粒种子中发芽的种子数目，服从超几何分布。但是但是N很大，很大，n=10项对于项对于N很小，可以认为很小，可以认为X近似服从二近似服从二项分布项分布B（10，0.9）。）。.几何分布几何分布1、定义、定义 在无穷次贝努利试验中，事件在无穷次贝努利试验中，事件 A 首次发生时所首次发生时所需要的试验次数需要的试验次数X的分布。的分布。2、数字特征、数字特征.3、无记忆性、无记忆性证明：证明：.例例1、(离散随机等待时间离散随机等待时间)每张彩票中奖概率每张彩票中奖概率 0.01，某人每次只买一张。，某人每次只买一张。(1)他买到第他买到第 k张才中奖的概率，张才中奖的概率，(2)买了买了 8 张都张都没有中奖的概率。没有中奖的概率。解解.买到第一张中奖彩票需要的次数买到第一张中奖彩票需要的次数 X G(0.01).1、定义、定义2、数字特征、数字特征4.3 Poisson (泊松泊松)分布分布.3、泊松分布与二项分布的关系、泊松分布与二项分布的关系.定理说明，对于成功率为定理说明，对于成功率为p的的n重贝努利试验，只要重贝努利试验，只要n充分充分大，而大，而p充分小，则其成功的次数充分小，则其成功的次数X近似服从参数近似服从参数 的泊松分布。的泊松分布。例例1、X服从服从poisson分布，分布，EX=5，查表求，查表求P(X=2)，P(X=5)，P(X=20)。一般当一般当 n 20，p 0.05 时可以近似计算时可以近似计算.例例2、检查了、检查了100个零件上的疵点数，结果如表。用个零件上的疵点数，结果如表。用poisson分分布公式计算疵点数的分布，并与实际检查结果比较。布公式计算疵点数的分布，并与实际检查结果比较。疵点数疵点数0123456频数频数14272620733解解:=140+271+262+203+74+35+36)/100=2疵点数疵点数0123456频数频数14272620733频率频率0.140.270.260.20.070.030.03概率概率0.13530.27070.27070.18040.09020.03610.0361.例例3、一袋重量为、一袋重量为500克的种子约克的种子约10000粒，假设该袋种子粒，假设该袋种子的发芽率为的发芽率为98.5%，从中任取，从中任取100粒进行试验，计算恰好粒进行试验，计算恰好有有1粒没有发芽的概率。粒没有发芽的概率解解1：设：设100粒中未发芽的种子有粒中未发芽的种子有X粒，服从超几何分布。粒，服从超几何分布。N10000，N19850，n100，由于，由于N很大，很大，n100相对于相对于N很小，很小，X可用二项分布近似计算可用二项分布近似计算解解2：n100，p=0.015很小，很小，X可用可用poisson分布近似计算分布近似计算.例例4、设城市每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布。、设城市每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布。据统计在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人据统计在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人概率的概率的1/2。计算一年中因交通事故至少死亡。计算一年中因交通事故至少死亡3人的概率。人的概率。解解:设随机变量设随机变量X表示一年内因交通事故死亡的人数。要表示一年内因交通事故死亡的人数。要求泊松分布的参数。由题意，求泊松分布的参数。由题意，.4、Poisson分布的最可能值分布的最可能值.超几何分布超几何分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布超几何分布、二项分布、泊松分布的关系超几何分布、二项分布、泊松分布的关系.常见的离散型分布常见的离散型分布两点分布两点分布X(0 1)二项分布二项分布X B(n,p)泊松分布泊松分布X P()超几何分布超几何分布X H(n,M,N)几何分布几何分布XG(p)X 0 1pk1-p p只有两个互逆结果的只有两个互逆结果的 n 次独立重复试验次独立重复试验(n+1)p 二项分布二项分布的逼近式的逼近式无穷次伯努利无穷次伯努利试验中试验中A首次首次发生的试验次数发生的试验次数对含有两类元素的有限总体对含有两类元素的有限总体进行不放回抽样时进行不放回抽样时某类元素个数的概率分布某类元素个数的概率分布在一定时间内出现在一定时间内出现在给定区域的随机在给定区域的随机质点的个数质点的个数.一、均匀分布一、均匀分布 定义定义 若连续型随机变量若连续型随机变量 X 的概率密度为的概率密度为 1、定义、定义可描述在某区间可描述在某区间上具有等可能上具有等可能结果的随机试验结果的随机试验 4.4 指数分布指数分布.2、分布函数、分布函数3、数字特征、数字特征.二、指数分布二、指数分布 1、定义、定义定义定义 若连续型随机变量若连续型随机变量 X 的概率密度为的概率密度为其中其中 0为常数，为常数，则称则称 X 服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布，记为记为 Xe().可描述两次事件可描述两次事件发生的时间间隔发生的时间间隔.2、分布函数、分布函数3、数字特征、数字特征.例例1、某元件寿命、某元件寿命X服从参数为服从参数为1/1000的指数分布。的指数分布。三个这样的元件使用三个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率。小时后，都没有损坏的概率。各元件寿命相互独立。因此各元件寿命相互独立。因此3个这样的元件使用个这样的元件使用1000小时都未损坏的概率为小时都未损坏的概率为 。.4、无记忆性、无记忆性若若 X e(),则则证明：证明：命题命题故又把指数分布称为故又把指数分布称为“永远年轻永远年轻”的分布的分布.解解 X e(0.05),(1)P(10 X 20)例例2、从某项寿命试验的数据中知，寿命从某项寿命试验的数据中知，寿命 X 服从参数为服从参数为0.05 的指数分布，的指数分布，(1)求求 P(1(10 80|X 50);事件事件 X 80 X 50，P(X 80|X 50)即有即有 -0.05 x x)x)0.1,则则 x 取值应在什么范围内？取值应在什么范围内？.1、定义、定义定义定义 若连续型随机变量若连续型随机变量 X 的概率密度为的概率密度为 则称则称 X 服从参数为服从参数为 和和 的的正正态分布态分布，其中其中-0 为常数，为常数，记为记为 X XN(,2).4.6 正态分布正态分布.正态分布是概率论中最重要的分布。正态分布是概率论中最重要的分布。自然界大量的随机现象近似服从正态，如：自然界大量的随机现象近似服从正态，如：测量误差，生物特征数据，农作物的产量，测量误差，生物特征数据，农作物的产量，工业产品的质量指标，气象数据等等；工业产品的质量指标，气象数据等等；一般的，如果某个数量指标受到大量的随机因素一般的，如果某个数量指标受到大量的随机因素的影响，每一个因素所起的作用又很小，则这个数量的影响，每一个因素所起的作用又很小，则这个数量指标就近似服从正态分布。指标就近似服从正态分布。概率论中的很多重要分布都与正态分布有关。概率论中的很多重要分布都与正态分布有关。.(1)密度函数关于密度函数关于 x =对称；对称；(2)图形在图形在x轴上方且密度函数在轴上方且密度函数在 x=处达到最大值；处达到最大值；两头小两头小，中间大中间大大多数现象的正常状态，大多数现象的正常状态，即极端的总是少数。即极端的总是少数。正态分布密度函数的重要性质正态分布密度函数的重要性质(3)密度函数在密度函数在 x=处有拐点；处有拐点；(4)x轴是密度函数的水平渐近线轴是密度函数的水平渐近线；.(5)是位置参数，是位置参数，是形状参数是形状参数 如果固定如果固定 而改变而改变 ，密度，密度函数位置改变，沿函数位置改变，沿 ox 轴平移，轴平移，但是形状不变；但是形状不变；反之，如果固定反之，如果固定 而改变而改变 ，密度函数的位置不改变，但形状密度函数的位置不改变，但形状将随将随 的增加而变平坦，随的增加而变平坦，随 的的减小而变陡峭减小而变陡峭。说明固定说明固定 时，对于同样长度的区间，当参数时，对于同样长度的区间，当参数 越大时，越大时，X 落在这个区间里的概率将越小，而当参数落在这个区间里的概率将越小，而当参数 越小时，越小时，X 落在这个区间里的概率将越大。落在这个区间里的概率将越大。.2、数字特征、数字特征=2.3、分布函数、分布函数4、标准正态分布、标准正态分布.5、一般正态分布与标准正态分布的关系、一般正态分布与标准正态分布的关系证明：证明：.定理：定理：.标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.只需查只需查标准正态分布标准正态分布的分布表，就可以解决的分布表，就可以解决正态分布正态分布的概率的概率计算问题计算问题.例例4、设、设 X N(1,4),求求 P(0 X 1.6).解解解一：解一：.解二解二 图解法图解法0.2由图知由图知0.3.例例6(3 原理原理)解解一次试验中一次试验中,X 落入区间落入区间(-3 ,+3 )的概率为的概率为 0.9974,而超出此区间可能性很小而超出此区间可能性很小由由3 原理知原理知，.例例7、设测量的误差设测量的误差 X N(7.5,100)(单位单位:米米)，问要进行多少，问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的米的概率大于概率大于0.9?解：解：设设 A 表示进行表示进行 n 次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米。米。n 3故至少要进行故至少要进行 4 次独立测量才能满足要求次独立测量才能满足要求.1、定义、定义2、数字特征、数字特征.3、特殊情形、特殊情形.证明：证明：.二元正态分布二元正态分布.两个重要的连续型随机变量的分布两个重要的连续型随机变量的分布.常见的连续型分布常见的连续型分布均匀分布均匀分布X Ua,b 指数分布指数分布Xe()正态分布正态分布XN(,2)描述在某区间上描述在某区间上具有等可能结果具有等可能结果的随机试验的随机试验 描述影响某一数量指标的描述影响某一数量指标的随机因素很多，每一因素随机因素很多，每一因素独立，独立，但每个因素所起但每个因素所起作用不大的随机试验作用不大的随机试验描述电子描述电子产品或动物寿命的分布产品或动物寿命的分布,各种随机服务系统的服务时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间等等待时间等 X 在区间在区间(a,b)上取值上取值,且取值且取值在在(a,b)中任意小区间内的概率中任意小区间内的概率仅与小区间的长度成正比仅与小区间的长度成正比.随机变量随机变量 X分布函数分布函数离散型离散型连续型连续型 分布列分布列 密度函数密度函数 复习复习其图形是右连续的阶梯曲线其图形是右连续的阶梯曲线 其图形是连续曲线其图形是连续曲线 f(x)常见的分布常见的分布离散型离散型连续型连续型两点分布、二项分布、泊松分布两点分布、二项分布、泊松分布超几何分布、几何分布超几何分布、几何分布x p(x)0 f(x)x0 特征特征非负非负 规范规范 至此，我们已介绍了两类重要的随机变量至此，我们已介绍了两类重要的随机变量:全部可能的取值全部可能的取值取值的概率分布取值的概率分布是判定一个函数是否为某随机变量是判定一个函数是否为某随机变量X的分布列或密度的充要条件的分布列或密度的充要条件.F(X)=P(X x)均匀分布、指数分布、正态分布、均匀分布、指数分布、正态分布、分布分布.分布分布分布列或分布密度分布列或分布密度期望期望方差方差B(n,p)(01)U(a,b)e()p pq np npqP()2 N(,2)体现了随机变量数字特征的重要性体现了随机变量数字特征的重要性 常用随机变量的期望与方差常用随机变量的期望与方差可可以以互互相相确确定定均均和和参参数数关关联联.