高等数学-第9章---(方向导数与梯度).ppt

高等数学 1.课程相关教材及相关辅导用书高等数学第一版，肖筱南主编,林建华等编著,北京大学出版社2010.8.高等数学精品课程下册第一版，林建华等编著,厦门大学出版社,2006.7.高等数学第七版,同济大学数学教研室主编，高等教育出版社,2014.7.高等数学学习辅导与习题选解（同济第七版上下合订本）同济大学应用数学系编 高等教育出版社,2014.8.2.第九章 多元函数微分学 9.1 多元函数的基本概念 9.2 偏导数 9.3 全微分 9.4 多元复合函数的求导法则 9.5 隐函数的求导公式 9.6 多元函数微分学的几何应用 9.7 方向导数方向导数与梯度与梯度 9.8 多元函数的极值 9.9 综合例题3.1.1.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程切线方程法平面方程法平面方程 参数式情况参数式情况.空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量内容回顾内容回顾4.空间光滑曲面空间光滑曲面曲面曲面 在点在点法线方程法线方程1)1)隐式情况：隐式情况：的的法向量法向量切平面方程切平面方程2.2.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线5.空间光滑曲面空间光滑曲面切平面方程切平面方程法线方程法线方程2)2)显式情况：显式情况：法线的法线的方向余弦方向余弦法向量法向量6.第九章 第七节第七节一、方向导数一、方向导数 二、梯度二、梯度 方向导数与梯度方向导数与梯度三、数量场和向量场三数量场和向量场 7.第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度一一.方向导数方向导数 偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率,但许多物理现象告诉我们,除了考虑函数沿坐标轴方向的变化率外,还应该考虑其它方向的变化率.现在我们研究函数沿任一指定方向的变化率问题.xyP0(x0,y0)elP(x,y)L8.一、方向导数的定义 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题9.当 沿着 趋于 时，是否存在？10.记为方向导数的几何意义方向导数的几何意义11.LCM0TP0PMl上式极限存在就意味曲线C在点 P0 有唯一的切线它关于 方向的斜率就是方向导数12.证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到13.故有方向导数14.解15.解由方向导数的计算公式知16.故17.推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义18.解令故方向余弦为19.故20.二、梯度二、梯度其中称为向量微分算子向量微分算子或 Nabla算子算子.21.因此梯度向量 是使函数在一点的方向导数 达到最大值的方向22.23.24.在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图2梯度的几何解释梯度的几何解释25.所得曲线在所得曲线在xoy面上投影为平面曲线面上投影为平面曲线称为函数称为函数 的的等值线等值线方程两边微分：方程两边微分：或者说：或者说：梯度的方向就是等值线在这点的法线方向。梯度的方向就是等值线在这点的法线方向。26.等值线等值线梯度为等值线上的法向量梯度为等值线上的法向量27.类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数28.三元函数梯度的几何解释：三元函数梯度的几何解释：三元函数三元函数 的等值面：的等值面：由切平面的讨论，知梯度由切平面的讨论，知梯度是等值面是等值面在点在点(x,y,z)处的法向量。处的法向量。故梯度向量故梯度向量在任何点都垂直于函数的等值面，并且从函数值较小的在任何点都垂直于函数的等值面，并且从函数值较小的等值面指向函数值较大的等值面。等值面指向函数值较大的等值面。29.梯度的运算律梯度的运算律类似于导数的运算律类似于导数的运算律其中其中C为常数。为常数。30.解 由梯度计算公式得故31.例例5.设函数设函数解解:(1)点P处切平面的法向量为在点在点 P(1,1,1)处的切平面方程处的切平面方程.故所求切平面方程为即(2)求函数求函数 f 在点在点 P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数沿增加最快方向的方向导数.(1)求等值面求等值面 (2)函数 f 在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为注意注意:对三元函数,与垂直的方向有无穷多32.向量场 Vector Fields33.34.35.36.1、方向导数的概念、方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）三、小结三、小结 三元函数 在点沿方向 l(方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l(方向角为37.2、梯度的概念、梯度的概念（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为方向:f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值 梯度的特点38.3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系方向导数存在偏导数存在 可微4、可微、可导、方向导数、可微、可导、方向导数 梯度在方向 l 上的投影.39.作业习题9.7（P83）1、3、4、5、940.思考题41.思考题解答思考题解答42.练 习 题43.