毕业论文--杆有抽油系统的数学建模及诊断数学建模.doc

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第九届“华为杯”
全国研究生数学建模竞赛

学 校
山东-青岛科技大学
参赛队号

队员姓名

第九届“华为杯”全国研究生数学建模竞赛

题 目 有杆抽油系统的数学建模及诊断
摘 要：
本文主要研究有杆抽油系统的数学建模及诊断问题。
针对问题一，本文从有杆抽油系统四连杆结构的几何关系和运动特点出发，首先建立了游梁的摆动方程，进而求得了悬点E运动的数学模型（式（19）），并根据题给数据对模型进行了求解并得到了运动规律曲线（如图3），最后与有荷载的附件1的悬点位移数据进行了比较（见表1）。
针对问题二，首先利用分离变量法将Gibbs波动方程拆分为位移函数和荷载函数，并对其进行傅里叶级数展开，得出了悬点处随时间变化的位移和荷载函数，求得了泵随时间变化的位移和荷载函数，进而计算出两口油井的泵功图数据（表3、表4），绘制出了两油井的悬点示功图和泵功图（图5、图6）。
针对问题三，本文选择对第2问（泵内气体判断）进行研究。首先对泵内气体影响情况进行了分析，然后给出了有效冲程的计算方法，在此基础上提出了泵内是否充气的判别算法，并根据所给数据求解判断出口井1泵内有气，口井7泵内无气。
针对问题四，第一问中，首先分析了Gibbs波动方程建立的过程，认为Gibbs模型忽略了重力的影响，在Gibbs模型的基础上加入了重力因素加以改进，得到了相应的位移和荷载函数（式71、式72）。第二问中，通过抽油杆柱的摩擦功率得到了阻尼系数的求解公式，并给出了迭代求解阻尼系数的算法和迭代流程图（图9）。
本问题的研究对提高抽油机泵效和产油量有重要的意义。

关键词：Gibbss模型，阻尼系数，傅里叶系数，有效冲程

1．问题重述
目前，开采原油广泛使用的是有杆抽油系统（垂直井，如图1）。电机旋转运动转化为抽油杆上下往返周期运动，带动设置在杆下端的泵的两个阀的相继开闭，从而将地下上千米深处蕴藏的原油抽到地面上来。通过悬点示功图可以初步诊断该井的工作状况，如产量、气体影响、阀门漏液、沙堵等等。要精确诊断油井的工作状况，最好采用泵功图。然而，泵在地下深处，使用仪器测试其示功数据实现困难大、成本高。因此，通过数学建模，把悬点示功图转化为杆上任意点的示功图（统称为地下示功图）并最终确定泵功图，以准确诊断该井的工作状况，是一个很有价值的实际问题。
请解决以下问题：
问题一：光杆悬点运动规律
电机旋转运动通过四连杆机构转变为抽油杆的垂直运动。假设驴头外轮廓线为部分圆弧、电机匀速运动，悬点下只挂光杆（光杆下不接其它杆，不抽油，通常用来调试设备）。请按附录4给出四连杆各段尺寸，利用附件1的参数，求出悬点E的一个冲程的运动规律：位移函数、速度函数、加速度函数。并与有荷载的附件1的悬点位移数据进行比较。
问题二：泵功图计算
请使用Gibbs模型，给出由悬点示功图转化为泵功图的详细计算过程，包括：原始数据的处理、边界条件、初始条件、求解算法；附件1是只有一级杆的某油井参数和悬点示功数据，附件2是有三级杆的另一油井参数和悬点示功数据，利用它们分别计算出这两口油井的泵功图数据；并分别绘制出两油井的悬点示功图和泵功图（每口井绘一张图，同一井的悬点示功图与泵功图绘在同一张图上，请标明坐标数据）。
问题三：泵功图的应用（下面2小问选作一问。鼓励全做）
1）建立2个不同的由泵功图估计油井产量的模型，其中至少一个要利用“有效冲程”；并利用附件1和附件2的数据分别估算两口油井一天（24小时）的产液量。（单位：吨，这里所指的液体是指从井里抽出来的混合液体）
2）如图5（C）形式的泵功图表示泵内有气体，导致泵没充满。请建立模型或算法，以由计算机自动判别某泵功图数据是否属于泵内有气体的情况。并对附件1、附件2对应的泵功图进行计算机诊断是否属于泵内充气这种情况。
问题四：深入研究的问题（下面2小问选作一问。鼓励全做）
1）请对Gibbs模型进行原理分析，发现它的不足。在合理的假设下，重新建立抽油系统模型或对现有模型进行改进；并给出由悬点示功图转化为泵功图的详细计算过程，包括：原始数据的处理、边界条件、初始条件、求解算法；利用附件1、附件2的数据重新进行计算；对计算结果与问题二的计算结果进行比较，分析你的模型的优缺点。
2）Gibbs模型在数学上可简化为 “波动方程”： 其中a为已知常数，c称为阻尼系数，鉴于大多数的阻尼系数公式[1][2]是作了诸多假设后推出的，并不能完整地反应实际情况。如果能从方程本身和某些数据出发用数学方法估计参数c，贡献是很大的。对此，请你进行研究，详细给出计算c的理论推导过程并尽可能求出c。如果需要题目之外的数据，请用字母表示之并给出计算c的推导过程。

2．模型假设
1．深井泵质量合格工作正常。
2．不考虑活塞在上下冲程中抽油杆柱所受到的摩擦力、惯性力、振动荷载和冲击荷载等的影响。
3．力在抽油杆中的传递是瞬时的，阀的起落也是瞬时的。
4．抽油设备在工作过程中不受沙、蜡、水和温度等因素的影响。
5.油层供液能力充足。
3．通用符号说明
序号
符号
符号说明
1

为游梁初始摆角
2

为曲柄转动角速度
3

为到坐标横轴的距离
4

为钢杆弹性模量
5

为抽油杆柱在截面处的截面积
6

为到坐标纵轴的距离。
7

为任意时刻悬点位移
8

为对时间的导数
9

为对时间的导数
10

为游梁摆动的角速度
11

为任意时刻游梁摆动的角加速度
4．问题一 ：光杆悬点运动规律
4.1问题分析
题目要求根据附录4给出的四连杆各段尺寸，利用附录1的参数，求出悬点E的一个冲程的运动规律：位移函数、速度函数、加速度函数。并与有荷载的附件1的悬点位移数据进行比较。
有杆抽油系统的悬点运动的位移、速度和加速度，是抽油机结构设计及力学分析的重要运动参数。考虑到有杆抽油系统以游梁支点和曲柄轴中心的连接线做固定杆，以曲柄、连杆和游梁后臂为三个活动杆。我们可从有杆抽油系统四连杆机构的几何关系和运动特点出发，建立游梁的摆动方程，通过建立的游梁的摆动方程得出游梁摆角的变化规律，进而求解悬点E的一个冲程的运动规律（位移函数、速度函数、加速度函数）建立相应的数学模型，然后联系到实际情况对模型进行简化、求解，最后利用所求结果与有荷载的附件1的悬点位移数据进行比较。
4.2 有杆抽油系统四连杆运动函数计算
4.2.1游梁摆动方程的建立
有杆抽油系统四连杆几何结构如图1所示。假设曲柄沿顺时针方向做角速度为的匀速周期运动。时刻，曲柄滑块位于上顶点（），平行于水平面，对应坐标原点（称为的下死点），的位移为0；运动到下顶点（）时，的位移到达最大（称为的上死点）；接着运动到上顶点（）时，又回到位移为0的位置，完成一个周期（即一个冲程）[1,2]。

图1 有杆抽油系统四连杆几何结构图
其中：，，，,，，,,,,为到坐标横轴的距离，为到坐标纵轴的距离。
在中，根据余弦定理可得[3,4]：
（1）
得
（2)
由几何关系可得：
（3）
（4）
可知式中。 综上得游梁的摆动方程为：
(5)
4.2.2 悬点位移函数
游梁摆动时，因前、后臂转动的角度相等，对于任意时刻，游梁的角位移为[3,4]

式中为游梁初始摆角，即时刻游梁与纵坐标方向的夹角，故这里。悬点的运动情况可以看做图中点的运动情况，故任意时刻悬点位移为
（6）
其中：

4.2.3 悬点速度函数
将式（2）两边同时对时间求导数，可得游梁摆动的角速度为[3,4]
（7）
其中：和为和对时间的导数。由式（3）和式（4）得
（8）
（9）
将式（8）和式（9）带入式（7）得
（10）
整理的得

（11）
由几何关系不难得到
（12）其中：
将式(12)带入式（11）中，得游梁摆动的角速度为
（13）
游梁摆动时，因前、后臂的角速度相等，故任意时刻悬点的速度为
（14）
4.2.4 悬点加速度函数
将式（13）两边同对时间求导，整理得任意时刻游梁摆动的角加速度为
（15）
游梁摆动时，因前、后臂的角速度相等，故任意时刻悬点的速度为
（16）
对于一定型号的抽油机，其尺寸是已知的，给定曲柄旋转的角速度或转速，应用以上公式便可计算各运动参数[3]。
4.3 有杆抽油系统四连杆运动模型
实际抽油机的值是不可忽略的，特别式冲程长度较大时，忽略后会引起很大误差，为此，本题中，这里我们把点绕游梁支点的弧线运动近似的看做直线运动，则可把抽油机的运动简化为如下图所示的曲柄滑块运动。

图2 抽油机简化运动结构图
时，游梁与连杆的连接点在处，为距曲柄轴心最远的位置，相应于悬点的下死点；时，在处，为距曲柄轴心最近的位置，相应于悬点的上死点。在这种简化情况下我们对应的有[3.4]
（17）
（18）
将式（17）和式（18）代回4.3中的相关公式，可以得到有杆抽油系统四连杆运动模型如下：

其中：几何关系如图1，，，,，，,,,；为到坐标横轴的距离；为到坐标纵轴的距离；为悬点位移函数；为悬点速度函数；为悬点加速度函数。
4.4 数据比较
根据附录4所给连杆的各段尺寸和附件1的参数，在一个周期内，利用上述模型求得悬点处位移、速度和加速度的变化曲线为：

图3 悬点的理论位移、速度及加速度曲线
在一个周期内，利用公式（19）求得悬点处的理论位移（具体数据见附录1）其与题给附件1的悬点位移比较如下：
表1 悬点理论位移与实际位移数据

悬点的理论位移(m)
悬点的实际位移(m)
1
1.7704
1.7780
2
1.7673
1.7350
3
1.6954
1.6450
4
1.5800
1.5500
……
……
……
5．问题二：泵功图计算
5.1 问题分析
题目要求使用Gibbs模型，给出由悬点示功图转化为泵功图的详细计算过程，在此基础上计算出这两口油井的泵功图数据，并分别绘制出两油井的悬点示功图和泵功图。
求泵功图的两个主要的前提就是要知道泵随时间变化的位移和荷载的函数，根据有杆抽油机的几何构造及工作原理，结合Gibbs模型可以得到地面悬点随时间变化的位移和荷载函数，进而通过转换得到地下泵处随时间变化的位移和荷载的函数。可以考虑利用分离变量法将Gibbs波动方程拆分为两个函数（位移函数和荷载函数），并对位移函数和荷载函数进行傅里叶级数展开，利用题目中给出的地面悬点处随时间变换的位移和荷载的离散数据，求解出悬点处随时间变化的位移和荷载函数，进而得到泵处随时间变化的位移和荷载的函数，从而在此基础上计算两口油井的泵功图数据，并绘制出两油井的悬点示功图和泵功图。
5.2 Gibbs模型——一级杆情况下泵功图的计算
抽油杆的力学模型是一根具有粘滞阻尼的作纵向震动的细长圆杆。经推导，它的运动可用下列微分方程来描述[5]：
（20）
其中：为抽油杆离地面悬点深处在时刻的位移；为应力波在抽油杆中的传播速度；为阻尼系数。
5.2.1波动方程求解
要求解上述波动方程，前提就是利用波动方程的边界条件、初始条件以及连续性条件（用于多级组合杆的抽油系统）[6,7]。
1．边界条件
诊断模型的边界条件是由抽油机几何运动特征决定的，可知：
地面悬点边界条件：
（21）
泵边界条件：
（22）

2．初始条件
假设抽油机运行之前，抽油杆柱自由悬挂于已经充满原有的油管中，悬点从下死点开始运动：
（23）
（24）
其中：为实测光杆悬点位移函数，；为光杆悬点荷载函数，；为抽油杆柱在流体中的重量，。
3．连续性条件
连续性条件主要针对油杆是不同直径的组合杆和不同材料的混合杆时使用，在交界处油杆受力和油杆位移的连续性条件是：
（25）
（26）
4．悬点位移和荷载方程的求解
本文采用分离变量傅里叶变换法求解波动方程。将悬点动荷载函数及光杆位移函数展开成傅氏级数：
（27）
（28）
根据附件1和2中给出的悬点处采集的离散的位移和荷载的数据，用下面的方法计算4个傅氏系数，然后将傅氏系数带入到上面的悬点位移和荷载函数中。即得到悬点处位移和荷载的函数，进而得到悬点处的示功图。下面以为例来说明求解过程：
实际中采集的数据是离散的，需要将和离散化，设在悬点处进行等时采样，采样点的个数为，本文取144。然后令，，，为周期，可得到：
（29）
考虑到是离散变量：
(30)
用下面符号表示：
， (31)
采用梯形法则进行数值积分：
（32）
合并同类项得到：
(33)
由函数的周期性可得：，，因此：
(34)
同理可求得其他三个傅氏系数：
(35)
(36)
(37)
其中：为曲柄转角；为曲柄角速度；为运动周期；为傅氏级数所取项数，本文取10；为从0到各点序号；为周期内等分的份数，即离散化的采样点数，本文取；和为从附件中给出的数据中选取的采样点对应的数据。
将4个傅氏级数带入到式（27）和（28）中，即可得出悬点位移和荷载的函数，并可以通过画出悬点位移和荷载的曲线。
5.2.2粘滞阻尼系数求解
根据吉布斯关于粘滞阻尼系数的假设，本文推出用摩擦功来确立粘滞阻尼系数公式的方法[7]：
（38）

其中：为油管内径，单位：，为抽油杆的平均直径，单位：；为各级抽油杆的截面积，单位：；为 各级抽油杆的长度：；为为抽油杆的平均截面积，单位：；为液体粘度，在本题中即为地面原油粘度，单位：；为抽油杆的总长度，单位：；为是抽油杆材料的弹性模量，单位：；为是抽油杆材料密度，单位：。
5.2.3 特殊函数和系数求解
前面的求解过程给出了根据悬点测得的位移和荷载的数据推出悬点位移和荷载的函数，并可以通过画出它们的曲线；然后又给出了井下的粘滞阻尼系数的求解方法及过程，下面进行求解泵的位移和荷载的函数，进而得出泵的示功图。
首先以式（27）和式（28）为边界条件，用分离变量法求解方程（20）便可得出抽油杆任意深度截面的位移随时间的变化。求解步骤如下[5,7,8]：
首先令分别为仅含和的函数，将其带入波动方程并整理可得：
（39）
上式每一侧仅含有一个独立变量，因而它等于一个常数，令其为，带入（39）并将其分离成两个常微分方程：
（40）
方程组（40）中（1）式的周期解为，带入方程组第一个等式可得方程（40）的特解：
（41）
式子中和为实数，其值为：
（42）
（43）
当时，，方程组（40）变为：
（44）
其解为：
（45）
方程组（40）中第二个等式解为谐波方程：
（46）
综合以上各式，可求出方程（40）的解为：
（47）
再进过变换可得到一级杆的的情况下，抽油杆某一点的位移函数，即Gibbs方程的解析解为：

由胡克定律，抽油杆柱任意深度截面上的动荷载随时间的变化为：

即一级杆的的情况下，抽油杆某一点的荷载函数为：

所以综上所述，一级杆的情况下，抽油杆某一点的位移和荷载函数如下：
（1）位移函数：
（48）
（2）荷载函数：
（49）
其中：

上面各式中: 为钢杆弹性模量；为抽油杆柱在截面处的截面积；为曲柄的角速度。
5.3多级杆情况下泵的位移和荷载计算
以上这一小节为考虑只有一级杆的时候的情况，但在实际中，抽油杆经常包含多个尺寸的多级杆，下面给出有多级杆的情况下，求泵的位移和荷载方程。
5.3.1傅里叶系数的求解
设从悬点开始计算序号，各杆截面积分别为；各杆长度分别为；各杆的直径分别为；傅里叶系数为，其中表示与系数有关的抽油杆段。类似的还有，其中左边的脚标表示与系数有关的抽油杆段（第级抽油杆），右边的脚标表示该级抽油杆末端的截点，由于本文只考虑各级抽油杆末端的位移和荷载函数，故有
(51)
在直径不同的两级抽油杆接头处，位移和荷载是连续的，所以可用第级抽油杆末端的位移和荷载，表示第级抽油杆的边界条件。将式（27）与式（49）比较，可得第级的抽油杆所用边界条件的傅里叶系数。
（1）位移的傅里叶系数：
（52）
（53）
（54）
（2）荷载的傅里叶系数：
（55）
（56）
（57）
5.3.2多级杆情况下泵的位移和荷载函数
在5.1节中一级杆情况下某一点的位移和荷载函数的计算可推广到多级杆情况，在多级杆情况下，第级抽油杆下端的位移和荷载函数为[7,8,9]：
（1）位移函数
（58）
（2）荷载函数
（59）
其中:
上面各式中: 为钢杆弹性模量；为抽油杆柱在截面处的截面积；为曲柄的角速度；
5.3.3计算流程
本文在所给悬点位移和荷载数据的基础上，通过利用Gibbs模型，推导出求泵的位移和荷载的方法及详细运算过程。下面给出计算流程步骤及计算流程图[7]。
步骤1：取得光杆动荷载，位移与时间的函数，即从给出的悬点测得的数据中在一个旋转周期中选取等分的份数份，即离散化的采样点数，本文取；根据前面式（34）到式子（37）求出4个傅里叶系数，代入到的傅里叶级数展开式中，得到和的函数，即可获得悬点处位移和荷载的曲线。
步骤2：计算粘滞阻尼系数。利用公式（38）计算阻尼系数。
步骤3:计算特殊系数和函数。系数包括，，，，函数包括，，，。根据式（42）和式（43）求和；根据式（50）中的公式计算，， ，，和。
步骤4：判断是否为最后一级杆柱。如果不是最后一级，根据力的连续性原理，转入步骤5计算；如果是最后一级，转入步骤6。
步骤5：如果不是最后一级杆柱，则计利用式（60）中的公式计算下一级杆柱的特殊系数，，，，和。转入步骤4。
步骤6：如果是最后一级，根据式（58）和式（59）计算出杆柱末端的动荷载函数和位移函数，进而可得出井下示功图。
图4 计算井下示功图流程图
开始
根据给出的悬点测得的数据求出4个傅里叶系数，代入到的傅里叶级数展开式中，得到的函数，即可获得悬点处位移和荷载的曲线
计算粘滞阻尼系数C
计算4个傅里叶系数
计算特殊函数及系数
是否为最后一级杆柱？
是
由边界条件计算出荷载函数与位移函数
结束
根据上下级杆柱傅氏系数的关系重新计算
否

5.4计算结果
利用建立的模型求解两口油井的泵功图数据，得到的相关系数、结果和图表如下：

表2 傅里叶系数的前十项

-5.0877e+004
-23.7023
2.7373e+003
57.3242
0.0991
2.7884
1.2406e+003
-29.8653
-0.9275
-3.0422
-104.1198
-24.7680
2.9224
-0.2337
20.6623
1.5185
-0.2159
-0.5660
-3.6315
-1.1530
2.3634
0.5159
-0.0973
0.0264
-0.1154
0.4049
0.0266
-0.0793
2.0461
0.1723
-0.0524
-0.0126
-0.2669
1.0462
0.0037
-0.0242
0.3286
0.2302
-0.0146
0.0112
-0.7061

0.0384

表3 一级杆口井7泵的位移荷载数据
位移（m）
0.0195
0.0020
0.0099
……
荷载（kn）
19.4907
18.7660
176446
……
注：具体数据见所提C10426015.xls文件
示功图
泵功图
图5 一级杆口井7悬点示功图和一级油杆泵功图
表4 三级杆口井1泵的位移荷载数据
位移（m）
0.0667
0.0683
0.0750
……
荷载（kn）
23.9421
24.3075
24.6964
……
注：具体数据见所提C10426015.xls文件
示功图
泵功图

图6 三级杆口井7悬点示功图和泵功图
6．问题三：泵功图的应用——泵内充气判断
6.1 问题分析
本题是对泵功图的应用，本文选择对第2问（泵内气体判断）进行研究。
泵内充气会引起泵不能充满，在下冲程时，导致管内原油充不满；当柱塞下压时，由于气体的影响，泵内压强不能迅速增大，导致游动阀打开迟缓，这会体现在泵功图的实际数据中，同时，考虑到有效冲程和实际泵功图之间的关系，本文考虑通过利用有效冲程的计算方法来处理所给数据，进而根据泵的结构和运动规律设计判断算法来判断泵内是否充气。
6.2 气体影响情况分析
这里我们换一种方法再次确定泵功图的塞柱有效冲程我们知道有杆泵主要由泵筒,柱塞，游动阀和固定阀组成（在这里，我们用来表示游动阀，用来表示固定阀如下图7所示）。所以我们根据泵功图来确定阀开闭点的位置。同样我们在这里用来表示阀开闭前后泵腔内的压力以及用来表示柱塞的位移[10,11]。

固定阀
泵筒
柱塞
游动阀

图7 有杆抽油泵示意图
若有气体进入泵腔，柱塞下行时气体将受到进一步压缩，使延迟开启。设柱塞位于上死点，泵腔内气柱的高度为，压力为。假定柱塞下行时，气体受到等压缩。柱塞下行距离后，气体的高度变为，压力变为，那么有：
（61）
可见，随的增加而增加。在某一点处打到，使开启，即，从而解出，并带入式(61)得：
（62）
当时，开启，油液经孔排出到柱塞上部。在这段时间内，保持不变。当柱塞从下死角开始上行时，泵腔内的压力减少，泵腔内的气体将发生膨胀，柱塞缓慢加载。当到达时，开启。
上述分析没有考虑气体向液体中的溶解（压力升高）或从液体中析出（压力降低）的情况。当考虑这些因素时，分析比较复杂。但的变化趋势是一致的。即泵腔内气体的存在将使柱塞在上、下冲程阶段缓慢地加载或卸载；、都将延迟开启。但是，只有下行程的延迟开启才影响泵效。开启后，柱塞下行的距离才是有效冲程[10]。
6.3 有效冲程的计算
在上行程开启前，由于漏失或气体膨胀，使随的增大而减小，则随之增大，柱塞加载。泵示功图上这一段曲线为增函数，其斜率. 在开启后， 为一常数，保持不变。泵示功图这一曲线为一水平线，其斜率。在关闭后，将随的增大而增大，则随之减小。泵示功图这一曲线为一减函数，其斜率。
下行程开启前，由于漏失或气体压缩等，使随的减小而继续增加，则随之减小，柱塞卸载。泵示功图上这段曲线为一增函数，其斜率。在开启后，为一常数，表示不变。泵示功图上这段曲线为一水平线，其斜率。在关闭后，将随的减小而减小，逐渐增加。泵示功图上这段曲线为一减函数，其斜率。在上下死点处，斜率发生突变。因此，可利用泵示功图曲线斜率的变化作为确定阀开闭点位置的依据。
通过第二题，我们可以得到泵示功图的一组离散数据点，（=1，2，......n）为了斜率的可比性，我们对这组数据进行如下的归一化处理：
(63)
其中，表示泵示功图左右两端点的横坐标；分别表示泵的最大载荷和最小载荷。
为了减小泵功图曲线的微小波动对其斜率的影响，在点前后各取（=3）个点用最小二乘法对这个点进行线性拟合，可求出泵功图在点前的斜率：
(64)
其中：

求得各点处的斜率后，结合泵功图的几何形状和几何意义，可按下述依据来确定阀开闭点的位置[12]：
（1）开启点：在上行程（），若点前的个点中至少有个点的斜率；而点后的个点中至少有个点的斜率;则认为点就是开启点。记此处。
（2）关闭点：在上行程，若点前的个点中至少有个点的斜率；而点后的个点中，至少有个点的斜率;则认为点就是关闭点。记此处。
（3）开启点：在下行程（），若点前的个点中至少有个点的斜率；而点后的个点中至少有个点的斜率;则认为点就是开启点。记此处。
（4）关闭点：在下行程，若前的个点中至少有个点的斜率；而点后的个点中，至少有个点的斜率;则认为点就是关闭点。记此处。
故当和的开闭点后，可得有效冲程为：
(65)
其中：
6.4 泵内充气判定
当泵内存在气体，在下冲程时，由于甭管内有气体，液体充不满，当柱塞下压时，由于压缩气体的影响，泵内压强不能迅速增大，导致游动阀打开迟缓。基于这种情况，我们认为在实际确定阀开闭点时，游动阀开启点所代表的数据异常。用上面给出的油井产量计算方法对数据进行处理，泵内充气的判定方算法为[1,10]：
步骤1：首先通过求解吉布斯方程可以求解得到一组离散的数据点，然后对它进行规一化处理。
步骤2：在前后各取个点，用最小二乘法对这个点进行线性拟合，并求出点处的斜率：
(66)
其中：

步骤3：求得各点处的斜率后，我们仍然用本题第一问第二种模型来确定阀的开闭位置，若同时满足以下4个条件的，即可判断泵内有气体。
（1）找到的开启点记为，并记录此时的，且前的个点至少有个点斜率，后的个点至少有个点斜率。
（2）找到的关闭点记为，此时的，前的个点至少有个点斜率，但是后个点并没有个点斜率。
（3）找到的开启点记为，然而前的个点并没有个点斜率，后的个点至少有个点斜率。
（4）找到的关闭点记为，前的个点中至少有个点的斜率；而点后的个点中，至少有个点的斜率。
6.5 计算结果
根据本题所给的数据，利用上述方法计算求得油井7（附件1）和油井1（附件2）的有效冲程、泵内是否有气的判定结果为：
表5 油井泵内有气判定结果
油井
有效冲程（米）
泵内是否有气
油井7
2.3510
没有
油井1
3.0398
有

7．问题四：深入研究的问题
7.1 问题分析
题目要求对Gibbs模型进行原理分析，发现它的不足。在合理的假设下，重新建立抽油系统模型或对现有模型进行改进；并给出由悬点示功图转化为泵功图的详细计算过程。第二问要求计算的理论推导过程并尽可能求出
首先分析Gibbs波动方程建立的过程，得到Gibbs模型忽略了重力加速度的影响，因此我们在原有的基础上对Gibbs模型加以改进，增加抽油杆的重量对模型的影响，进而可对Gibbs模型进行了相应的改进。
首先分析Gibbs波动方程建立的过程，得到了Gibbs模型忽略了重力加速度的影响，因此我们在原有的基础上对Gibbs模型加以改进，增加抽油杆的重量对模型的影响，从而得到有抽油杆重量的影响下泵的位移和荷载函数，进而得到泵功图；第二问抽油机上下往返运动，假定抽油杆作简谐振动，通过抽油杆柱的摩擦功率得到阻尼系数的求解公式，并带入泵位移和荷载函数求解过程中，得到泵功图，通过泵功图得到泵的有效冲程及泵功率，通过界定泵功率的有效误差，进行迭代求解阻尼系数。
7.2 Gibbs模型改进
7.2.1 Gibbs模型分析
设符号是悬点移动前油杆的位置，取正下方向下，取作为位移，正方向向下，它们的单位都是m，取、作为抽油杆相应截面的应力，作为单元体的惯性力，其方向和加速度方向相反，作为单元体单位长度上粘性阻力尼，其方向与速度方向相反，取为单元体重力，它们的单位都是牛顿，除此之外，代表抽油杆的材料弹性模量，单位是；代表单位长度抽油杆柱的粘滞阻力系数，单位是。
根据受力分析可知，作用在单元体上的力主要有一下几个[13]：

根据单元体轴向力平衡条件得出：
(67)
即
(68)
其中重力项是个常数，为了使得差分计算方便，可以把这一项去掉，计算油杆受力时再加上去。于是得到描述抽油杆柱动力学特性的波动方程：
(69)
式中：为声波传递速度，；；为阻尼系数，，。
7.2.2 改进Gibbs模型
经分析Gibbs模型忽略了重力加速度的影响，所以我们在原有基础上对Gibbs模型改进为如下的形式[13]：
设浸入在油管中第级抽油杆振动特性的有阻尼一维波动方程为：
（70）
其中：；为应力波在抽油杆中的传播速度；为重力加速度；为抽油杆的密度；为油的密度；为油杆的弹性模量；为第段油杆的截面积；为第段油杆的长度。
方程（1）的通解，即为泵的位移函数：
（71）
其中：
根据式（71）得到泵的动荷载函数：
（72）
7.2.3 计算结果
利用附件2的数据采用改进模型计算得三级杆口井7的示功图和泵工图如下所示，（其他数值数据见附录2）：

图8 Gibbs改进模型计算的口井7的示功图和泵功图
7.3 阻尼系数求解
抽油杆中长度为的单元体的粘滞阻尼力为[6]：

其中：为粘滞阻尼系数；为抽油杆的密度；为第级抽油杆的横截面积。
在吉布斯方程的求解过程求解中，阻尼系数是很关键的一个参量，阻尼系数求解的好坏直接影响方程求解的准确性。阻尼系数有很多的求解方法，本文选择利用迭代法求取阻尼系数。其求解流程参见流程图下图所示。
需要说明的一点是本文中抽油机产量是可以测量的，所以抽油泵的有效冲程就可以得到，所以流程图的上半部分确定抽油泵有效冲程这部分便可以省略。同理接下来的几个公式中的产液量参量也当作已知量。
抽油机上下往返运动，如果假定抽油杆作简谐振动，抽油杆柱的摩擦功率为：
（73）
利用式上式可推导阻尼系数的计算公式如下：
（74）
其中：； 代表光杆示功图的面积，；为冲次，；； 代表水的密度，；代表有效提升高度，；代表实际产液量，；；为套压，；为油压，；代表动液面深度，；； 为泵功图的面积，；；为排量系数；为泵（油管）的截面积，；为光杆有效冲程，；为冲次，；；； 为引起的冲程损失，；为光杆冲程，；；为抽油杆级数；为各级抽油杆的横截面积，；代表各级抽油杆的长度，；； 为泵深，;为泵（油管）的截面积，；代表油的密度，；
；为水的体积系数；为原油体积系数；为含水率；
代表光杆功率，；代表抽油杆密度，；代表抽油机的一个冲程时间，；代表重力加速度，9.8；代表水利功率
阻尼系数迭代求解算法步骤为[6]：
步骤1： 计算光杆功率，水利功率，另外假定初始泵有效冲程即为光杆冲程；
步骤2： 计算阻尼系数；
步骤3：根据Gibbs波动方程，求解泵示功图；
步骤4：根据泵示功图计算有效冲程
步骤5：判定？若是则转入步骤6；否则令转入步骤1；
步骤6：根据泵示功图求泵功率；
步骤7：判定，是则该即为所要求的数值；否令转入步骤6。其中和为取定的允许误差。
本迭代算法充分利用本题中给出的各种数据，但仍有部分数据在本题中仍未给出，例如：水的体积系数，若能得到泵入口处的气油比,余隙比，柱塞与泵筒间的漏失等数据，则可以得到更为精确的排量系数，进而得到更为精确的粘滞阻力系数。算法流程图如下所示：
根据泵功图求泵功率
开始
计算光杆功率，初始泵有效冲程
计算水力功率
计算粘滞阻尼系数
根据波动方程，求解泵示功图

根据泵功图计算有效冲程

N
Y

N
结束
Y

图9 阻尼系数求解流程图

参考文献
[1]王鸿勋,张琪.《采油工业原理》[M].石油行业出版社,1985年4月,第2章:46-110.
[2]万仁溥.《采油工程手册》[M].石油行业出版社,2000年8月,第5章,第2节:365-460.
[3]王常斌,陈涛平,郑俊德.游梁式抽油机运动参数的精确解[J].石油学报,1998,19(2):