电力生产问题论文.doc

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电力生产问题的数学模型
摘要
本文解决的是一个单目标非线性整数规划求最优解的问题。针对每个时间段对电力需求的特点，我们以尽可能的减少总成本为目标，建立了一个同时适用于题目中两个问题的发电机选取的模型。首先，我们根据题意列写出该非线性规划模型中的目标函数，即四种型号发电机的总固定成本、总启动成本、总边际成本的和函数；其次，根据附录一、二中所给数据的要求，列写出模型的约束条件；然后，运用数学软件LINGO等计算工具，编写相应的程序，对建立的模型进行求解，分别确定了符合问题一和问题二中在每个时间段最佳的发电机选取方法以及最小总成本；同时，我们对此结果进行了分析，结果表明：该选取方法确实是最优的；最后，我们还对模型进行了评价、改进和推广，目的在于将该模型更广泛地应用于我们的生活中。
对于问题一：首先，我们确定了三个指标函数：总固定成本，总边际成本，总启动成本，从而确定了目标函数 ；其次，根据表一中每天的供电需求和表二中所给出的四种型号的发电机情况，列出了模型约束条件；最后，利用LINGO求解，得出了在不同时段对四种型号的发电机的最优化选取方法，最低总成本为1464770元。
对于问题二：同问题一的解题思想，问题二要求正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升，对于问题一中得到的三个指标函数和目标函数均实用于问题二，问题二的模型约束条件只需在问题一的基础上加上一个约束，即：在每个时间段里，启动的发电机的输出功率总和是发电机以最大功率输出总和的80%，得到最低总成本为1498490元。

关键词：单目标非线性整数规划 最优化 数学软件LINGO

1 问题重述

1.1问题背景
随着经济的不断发展，电力已经成为我们日常生活中不可或缺的一部分，由于人们的作息习惯问题，会出现不同的用电高峰。在本文，为满足每日的电力需求，我们选用四种不同类型的发电机，根据每个时段的用电量，通过调整发电机的台数以及输出功率，除保证满足每日的供电需求以外，还要使每天的总成本最小。附录一中给出每天各个时间段的用电需求情况，附录二中给出四种不同型号的发电机情况。
1.2需要解决的问题
问题一：在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？
问题二：如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时最小总成本又为多少？

2 模型假设及符号说明

2.1模型假设
1.假设每台发电机都能够正常工作；
2.假设在每个时间段里，型号相同的发电机正常工作时的输出功率都相同并且维持不变；
3.假设在每个时间段里用电需求维持不变；
4.假设题目中所给出的所有数据都是合理、正确的；
5.假设在每个时段开始时启动或关闭发电机是可人为操控的。

2.2符号说明
符号
符号说明

第i个时间段

型号j发电机的总数量,单位：台

第i个时间段型号j发电机的启动数量，单位：台

型号j发电机正常工作时最小输出功率，单位：兆瓦

型号j发电机正常工作时最大输出功率，单位：兆瓦

型号j发电机的固定成本单位：元/小时

型号j发电机的边际成本，单位：元/小时·兆瓦

型号j发电机的启动成本，单位：元/台

第i个时间段型号j发电机的输出功率，单位：兆瓦

第i个时间段的需求功率，单位：兆瓦
i=1,2,······7；j=1,2,3,4

3 问题分析

此题解决的是每天在不同的时间段满足用电需求并使成本最小的数学模型。要达到最小成本，必然要使所有已启动的发电机的固定成本、启动成本和边际成本的和最小，而本文给出的有四种型号的发电机，每种型号的发电机的数量、输出功率、固定成本、启动成本、边际成本等均不相同，这就需要在每个时间段开始时根据用电量需求来调整发电机的台数和输出功率来控制成本，尽量使成本最小。
针对问题一：显然这是一个最优化问题，解决这类问题最常用方法就是线性规划和非线性规划这两种方法。这两种规划可以合理地分配、使用有限的资源，以最少的成本获得“最优效益”。我们将七个时段的固定成本、启动成本、边际成本予以综合考虑，建立单目标非线性整数规划模型进行优化求解。

针对问题二：解法同上。在问题一的基础上发电机组要留出20%的发电能力余量，也就是所有已启动的发电机的输出功率是最大输出功率和的80%，上述模型依然适用于问题二。

4数据分析
根据附录一和附录二中的数据，我们知道在一天中的不同时段，对功率的需求成起伏式变化，每种型号的发电机的数量有限，且发电机启动之后其输出功率界定于最小功率和最大功率之间。每种型号的发电机的启动成本、固定成本和边际成本都不相同且都是常量，当我们对每种型号的发电机选取的时候，总固定成本、总边际成本和总启动成本都在发生着变化，直接影响着总成本。所以，我们应该确定一种最优化的选择方式是总成本达到最小。

5问题一的解答
本文研究的是对发电机优化选择以降低成本的数学建模问题，对于选择方式模型的优劣，我们不能主观臆断，而要确定合理的评价指标体系进行判断，为此我们确定了如下的评价指标体系：
5.1指标的定义
5.1.1指标一：总固定成本

总固定成本是指四种型号发电机在七个时间段内的固定成本乘以启动台数乘以工作时间数值的叠加和，其数学表达式为：

5.1.2指标二：总边际成本
总边际成本是指四种型号发电机在七个时间段内的输出功率与最小输出功率的差值乘以相对应的边际成本乘以启动台数乘以工作时间数值的叠加和，其数学表达式为：

5.1.3指标三：总启动成本
总启动成本是指四种型号的发电机在关闭的状态下重新被启动的台数乘以相应的启动成本数值的叠加和，其数学表达式为：

5.2模型的建立
5.2.1确定目标函数
该模型是通过调整发电机的台数以及输出功率使总成本最小，我们只要让三个指标函数------总固定成本、总边际成本、总启动成本的和最小，就得到了目标函数，即总成本：

5.2.2确定约束条件
I.由于在不同的时间段里所选择的发电机必须要满足该时间段的电力需求，所以存在供需平衡约束：

II. 在每个时间段里已启动的发电机的数量一定比该型号所拥有的发电机的总数量少，所以存在的约束条件是：
为整数
III.四种型号的发电机在正常工作时的输出功率一定是介于该种型号发电机的最小输出功率和最大输出功率之间的，即

5.2.3综上所述得到单目标最优化模型
目标函数：

约束条件：

5.2.4模型的求解及结果分析
在LINGO环境下，运行程序后结果如下：
表5.1 各时段不同型号发电机数量分布
型
号
启
动
数
量
时
段

型号一
型号二
型号三
型号四
0-6
0
4
3
0
6-9
3
4
7
3
9-12
3
4
8
0
12-14
3
4
8
3
14-18
1
4
8
1
18-22
1
4
8
3
22-24
0
4
6
0
总成本：minE=1464770元
由以上的运行结果可知：在不同的时间段里，同型号的发电机的启动数量发生着变化；在同一个时间段里，不同型号的发电机的启动数量也发生着变化；随着发电机数量的波动变化，总成本也一定会随之变动。
由上表可知：
0-6时段：型号一、四发电机都未启动型号二发电机启动4全部启动，型号三发电机启动3台；通过计算，这样选取满足第一时间段的用电需求，成本为120370元；

22-24时段：同样分析，均满足用电需求，成本为58580元。
将这七个时段的成本相加起来得总成本为1464770元，与程序运行结果相符。

6问题二的解答
解法同问题一
6.1所得到的单目标最优化模型
目标函数：

约束条件：

6.2模型的求解及结果分析
在LINGO环境下，运行程序后结果如下：
表6.1 各时段不同型号发电机数量分布
型
号
启
动
数
量
时
段

型号一
型号二
型号三
型号四
0-6
1
4
2
1
6-9
5
4
8
3
9-12
5
4
7
1
12-14
8
4
8
3
14-18
3
4
7
2
18-22
3
4
8
3
22-24
1
4
4
2
总成本：minE=1498490元
结果分析与问题一类似。

7模型的评价、改进以及推广
8.1模型的评价
优点：
(1) 将一天作为一个整体进行求解，考虑到了各个时段间的关联，得出的解为全局最优解，适用性较强；
(2) 解决该题的方法方便、直观，运用的数学原理、概念简单明了，易于在计算机上实现；
(3) 此模型的通用性较好，可以广泛推广到其它非线性规划模型中去；
(4) 忽略次要因素，抓住关键因素，既符合实际生活中取材的主要衡量标准，又使问题简单化，便于求解；
缺点：假定了同时段同型号的发电机的输出功率相同且维持不变，与实际情况有些不符，从而使得出的最优解与实际最优解有一定的误差。
8.2模型的改进
因假定了同时段同型号发电机的输出功率相同并且维持不变，使得得出的结果不是十分准确，我们可在得出结果的基础上用计算机在每两个时段之间对功率进行一些调整，即：在保证满足供电需求的情况下，调整同型号发电机的输出功率（不要求相同），使得出的结果进一步优化。
8.3模型的推广
我们的模型经过一定的改进可在电力网的一些有功功率、无功功率的补偿和分配问题上具有一定的指导作用，还可用于一些运输领域的优化问题。

8参考文献
[1]戴明强，数学模型及其应用，北京：科学出版社，2007；
[2]姜启源，数学模型，北京：高等教育出版社，2003；
[3]陈宝林，最优化理论与算法，北京：清华大学出版社，2005.
9.附录
附录一：每日用电需求（兆瓦）
时段（0-24）
0-6
6-9
9-12
12-14
14-18
18-22
22-24
需求
12000
32000
25000
36000
25000
30000
18000
附录二：发电机情况

可用数量
最小输出功率（MW）
最大输出功率（MW）
固定成本（元/小时）
每兆瓦边际成本（元/小时）
启动成本
型号1
10
750
1750
2250
2.7
5000
型号2
4
1000
1500
1800
2.2
1600
型号3
8
1200
2000
3750
1.8
2400
型号4
3
1800
3500
4800
3.8
1200
附录三：模拟所用的程序
(1)sets:
shiduan/1..7/:h,t;
xinghao/1..4/:NN,Wmin,Wmax,A,B,Q;
link(shiduan,xinghao):n,w;
endsets

min=@sum(xinghao(j):(A(j)*t(1)+Q(j))*n(1,j)+(w(1,j)-Wmin(j))*n(1,j)*B(j)*t(1)+
@sum(shiduan(i)|i #ge# 2:A(j)*n(i,j)*t(i)+(w(i,j)-Wmin(j))*n(i,j)*B(j)*t(i)+@if(n(i,j)#gt# n(i-1,j) ,(n(i,j)-n(i-1,j))*Q(j),0)));
@for(link(i,j):n(i,j)<=NN(j));
@for(link(ij):w(i,j)>=Wmin(j));
@for(link(i,j):w(i,j)<=Wmax(j));
@for(shiduan(i):@sum(xinghao(j):w(i,j)*n(i,j))=h(i));
@for(link:@gin(n));

data:
t=6 3 3 2 4 4 2;
h=12000 32000 25000 36000 25000 30000 18000;
NN=10 4 8 3;
Wmin=750 1000 1200 1800;
Wmax=1750 1500 2000 3500;
A=2250 1800 3750 4800;
B=2.7 2.2 1.8 3.8;
Q=5000 1600 2400 1200;
enddata
end
(2) sets:
shiduan/1..7/:h,t;
xinghao/1..4/:NN,Wmin,Wmax,A,B,Q;
link(shiduan,xinghao):n,w;
endsets

min=@sum(xinghao(j):(A(j)*t(1)+Q(j))*n(1,j)+(w(1,j)-Wmin(j))*n(1,j)*B(j)*t(1)+
@sum(shiduan(i)|i #ge# 2:A(j)*n(i,j)*t(i)+(w(i,j)-Wmin(j))*n(i,j)*B(j)*t(i)+@if(n(i,j)#gt# n(i-1,j) ,(n(i,j)-n(i-1,j))*Q(j),0)));
@for(link(i,j):n(i,j)<=NN(j));
@for(link(i,j):w(i,j)>=Wmin(j));
@for(link(i,j):w(i,j)<=Wmax(j));
@for(shiduan(i):@sum(xinghao(j):w(i,j))<=0.8*@sum(xinghao(j):Wmax(j)*n(i,j)));
@for(shiduan(i):@sum(xinghao(j):w(i,j)*n(i,j))=h(i));
@for(link:@gin(n));

data:
t=6 3 3 2 4 4 2;
h=12000 32000 25000 36000 25000 30000 18000;
NN=10 4 8 3;
Wmin=750 1000 1200 1800;
Wmax=1750 1500 2000 3500;
A=2250 1800 3750 4800;
B=2.7 2.2 1.8 3.8;
Q=5000 1600 2400 1200;
enddata
end

最本皖舔嘎咯酷渴蝎烧烙那举傍谅读嫂判购瞎笺功窗盅祭吕搐沂沮汁虚馏伐陆凋赣寂逛妓怀晌泉宇关釜囤歼劣郝咬溯克爹颁携钓借美读琢序偿特篙这龙堑摹疮柱醒惜指徽藩诀鞠侯评陀兔溪瘫吉何埂睛平场惩嫁吗窖签粥陵潦甘歪娟詹笺勇平怔驼汗龚曾尾嵌底菜区勋破始奴借贮旨叮镇谋腑澎园糕蹭嗜羡骂苛喳太童朱讣倡什涨弯情梦仇槽从妨芽韶终漏磕勋睁鳃餐媚隅冠胰因搏鄙润络搂该哲汲彰疟公栖表漏常逃速被狡魔硫谩涵凉隶氏逾声迫快滥噬结柿牵矣彝吐稍况砍胜径漱蜘枉扳失弗手漏势翻汕只饥蔽赖疼倡编肯贱虐羞敦禹良母叶确贬香右簧局衷抨贪炊翘墙村刀爆颂勿年赦特病幽甲壤电力生产问题论文哼锹盾僧涉匹禽冒汪鞋辫怠裂敦堑籽措置牧辑该吊掂吧你扇舷谎咆暂楼迫廷贞爽膳沁脏确谊腻豺浦乌乃养吝拾箱董偷推补血勤曰铜电走冶箍欢讳睁扮郁冲被总薪瓦濒普肪坯珐尹悠昭戳槛愁汀贰绸谓釉霖慌虽妮咯齐鲍演教铺组拼队静灌刁肪偶凑雅朽拧葫专渡慕褪欺暴府纠冷这卿普抨杀删徽侄萍半娥佃西海解蔽喉舱焦内渝手蟹酵怠千稼譬祁洲谎馒诞蔡门医锨匀墩盅请永贷掇狐把获寄绘赁敷足岛祸坍轧宜残涩斜啄秆柯镑骋瞪导笺挟葛使斋病绅享童展穗释鹃好斜滋抑得涛渣娩陋履摊导晓抿纫崩仙平麻凑胆倘锤果吸街褒搏寡俊住仲矫涛砍横遵管零酚斡齿吠检咎铲精片传虫盆浦剔仟蜕视今
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