二次根式章节知识点题型及巩固习题.pdf

1二次根式二次根式知识点一：知识点一：二次根式的概念二次根式的概念定义：一般地，形如（a0）的代数式叫做二次根式二次根式。称为二次根号。称为二次根号。a”“注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例 1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、x（x0）、0、42、-x12、（x0，y0）yx1yx 知识点二：取值范围知识点二：取值范围1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时，有意义，是二次根式，所以要使a二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a0 时，没有意义。a例 2当 x 是多少时，在实数范围内有意义？1x3 例 3当 x 是多少时，+在实数范围内有意义？32x 1x1知识点三：二次根式知识点三：二次根式（a0）的非负性）的非负性a（a0）表示 a 的算术平方根，也就是说，（a0）是一个非负数，即（a0）。aaa注：因为二次根式（a0）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，a所以非负数（a0）的算术平方根是非负数，即（a0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性a质，和绝对值、偶次方类似。例 4(1)已知 y=5，求的值2xx2yx(2)若=0，求a2004+b2004的值1b1a2知识点四：二次根式知识点四：二次根式的性质的性质 2a=a（a0）2a文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式=a（a0）是逆用平方根的定义得出的结论。2a例 1 计算 25223227例 2 在实数范围内分解下列因式:（1）（2）3x24x4知识点五：二次根式的性质知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于 a 本身，即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即；2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。例 1 化简 （1）9 （2）2(4)（3）25 （4）2(3)例 2 填空：当 a0 时，2a=_；当 aa，则 a 是什么数？例 3 当 x2，化简22x212x知识点六：知识点六：与与的异同点的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而表3示一个实数 a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，时，无意义，而.知识点七：二次根式的乘除知识点七：二次根式的乘除1、乘法（a0，b0）反过来：=（a0，b0）abababab2、除法（a0，b0）反过来，（a0，b0）babababa 例 1计算（1）457 （2）139 （3）927 （4）126 例 2 化简（1）9 16 （2）16 81 （3）229x y （4）54 例 3判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）(4)(9)49 （2）1242525=4122525=4122525=412=83 例 4计算：（1）123 （2）3128 （3）11416 （4）648 例 5化简：（1）364 （2）22649ba （3）2964xy （4）25169xy4例 6已知9966xxxx，且 x 为偶数，求（1+x）22541xxx的值知识点八：最简二次根式与同类二次根式知识点八：最简二次根式与同类二次根式1、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数不含不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中不含不含开得尽方的因数或因式2、化简最简二次根式的方法：(1)把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式，即分解因式；(2)化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化；(3)将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）3、同类二次根式：被开方数（因式相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。判断是否是同类二次根式时务必务必将各个根式都化为最简二次根式。如8与18例例 1把下列二次根式化为最简二次根式(1)5312;(2)2442x yx y;(3)238x y知识点九：二次根式的加减知识点九：二次根式的加减1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。例 1计算（1）8+18 （2）16x+64x （3）348-913+312 （4）（48+20）+（12-5）例 3已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（293xx+y23xy）-（x21x-5xyx）的值5【基础训练基础训练】1化简：（1）_ _；（2）_ _；（3）_ _；72 2225246 12 18（4）_ _；（5）。3275(0,0)x yxy_4202.(16，安徽)化简=_。243.（16，武汉）计算的结果是（）4.2 2 -2 44.化简：（1）（16，泰安）的结果是 ；（2）的结果是 ；9123（3）(16，宁夏)=；（4）（16，黄冈）5-2=_ 825xx_；（5）（16，宜昌）（5）=_；（6）；33（7）(16，荆门)_；（8）5（16，重庆）计算的结果是（）28 A、6 B、C、2 D、626.（16，遵义）若，则 230ab2ab7.(16，聊城)下列计算正确的是（）A B CD8.下列运算正确的是（）A、B、C、D、4.06.15.15.1239 32949（16，中山）已知等边三角形 ABC 的边长为33，则 ABC 的周长是_；10.比较大小：。1011（16，嘉兴）使有意义的的取值范围是 2xx12.(16，常州)若式子在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是（）5xA.x-5 B.x0，n0）32nnmm331nmm32nm2、化简-3（）（a0）222332mna232mna2amn3、化简 、2211aaaa2ababababab xyy xy xxyxyy xy xxy2aabbabaabaabbabbab4、当 x=时，求+的值（结果用最简二次根式表示）1212211xxxxxx 2211xxxxxx 95、已知 x，y，求的值（先化简 xy，再化简分式，求值）2323232332234232yxyxyxxyx6、当 x1时，求的值22222axxaxx222222axxxaxx221ax 7、若 x，y 为实数，且 y求的值x4114 x21xyyx2xyyx28、若1995-a+=a，求 a-19952的值2000a（提示：先由 a-20000，判断 1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）