新浙教版九年级下册知识点及典型例题.pdf

1九年级下册九年级下册第第 1 章章 解直角三角形解直角三角形一、锐角三角函数（一）、基础知识1锐角三角函数定义在直角三角形 ABC 中，C=900，设 BC=a，CA=b，AB=c，锐角 A 的四个三角函数是：(1)正弦定义：在直角三角形中 ABC，锐角 A 的对边与斜边的比叫做角A 的正弦，记作 sinA，即 sin A=,ca（2）余弦的定义：在直角三角行 ABC，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦，记作 cosA，即 cos A=,cb（3）正切的定义：在直角三角形 ABC 中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做角 A 的正切，记作 tanA，即 tan A=，ba这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：（1）锐角A 必须在直角三角形中，且C=900；（2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。否则，不存在上述关系2、坡角与坡度坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。3、锐角三角函数关系：（1）平方关系：）平方关系：sin2A+cos2A=1；4、互为余角的两个三角函数关系若A+B=90，则 sinA=cosB,cosA=sinB.5、特殊角的三角函数：00300450600sin0212223cos1232221tan033132、勾股定理2、勾股定理的概念：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。3、勾股定理的数学表达;若三角形 ABC 为直角三角形，A，B,C 的对边分别为 a,b,c,且C=90，则,反之，已知 a,b,c 为三角形 ABC 的边。若222cba,则三角形 ABC 为直角三角形。222cba2东典例：典例：1.在 RtABC 中，各边的长度都扩大 2 倍，那么锐角 A 的正弦、余弦 （）A、都扩大 2 倍 B、都扩大 4 倍 C、没有变化 D、都缩小一半2.在 RtABC 中，C=90，sinA=，则 cosB 的值等于（）54A B.C.D.535443553.在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（）ABCcosBABCD122232334.在 RtABC 中，C=90，A=15，AB 的垂直平分线与 AC 相交于 M 点，则 CM：MB 等于（）A、2：B、：2 C、：1 D、1：33335.身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表（假设风筝是拉直的），则三人所放的风筝中()同学甲乙丙放出风筝线长100m100m90m线与地面夹角404560A、甲的最高 B、丙的最高 C、乙的最低 D、丙的最低6.如图，一渔船上的渔民在 A 处看见灯塔 M 在北偏东 60O方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到 B 处，在 B 处看见灯塔 M 在北偏东 15O方向，此时，灯塔 M 与渔船的距离是（）km27km214 km7km147、=084sin45(3)4 8、锐角 A 满足 2 sin(A-15)=,则A=.039、已知 tan B=，则 sin=.32B10、如图所示,小明在家里楼顶上的点 A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点 A 处看电梯楼顶部点 B 处的仰角为 60，在点 A处看这栋电梯楼底部点 C 处的俯角为 45，两栋楼之间的距离为 30m，则电梯楼的高 BC 为_米（保留根号）11.如图，已知直线，相邻两条平行直线间的距离都是 1，如果正方1l2l3l4l形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则 sinABCDA1l3l2l4l3DCBAABCD12.腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点 C，利用三角板测得雕塑顶端 A 点的仰角为30，底部 B点的俯角为45，小华在五楼找到一点 D，利用三角板测得 A 点的俯角为60（如图）.若已知 CD 为 10 米，请求出雕塑 AB 的高度（结果精确到 0.1米，参考数据31 73.）13.如图，某天然气公司的主输气管道从 A 市的东偏北 30方向直线延伸，测绘员在 A 处测得要安装天然气的 M 小区在 A 市东偏北 60方向，测绘员沿主输气管道步行 2000 米到达 C 处，测得小区 M 位于 C 的北偏西 60方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点 N，使到该小区铺设的管道最短，并求 AN 的长.14.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BDDC，C60，AD4，BC6，求AB 的长 4ACDBEFG15、某兴趣小组用高为 1.2 米的仪器测量建筑物 CD 的高度如示意图，由距CD 一定距离的 A 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为，在 A 和 C 之间选一点 B，由 B 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为测得A，B 之间的距离为4 米，tan1.6，tan1.2，试求建筑物 CD 的高度16、一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，ABCF，F=ACB=90,E=45,A=60,AC=10,试求 CD 的长17、综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸 ABCD，河岸 AB 上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为 10米.小明先用测角仪在河岸 CD 的 M 处测得=36，然后沿河岸走 50 米到达 N点，测得=72。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽 FR（结果保留两位有效数字）.（参考数据：sin 360.59，cos 360.81，tan360.73，sin 720.95，cos 720.31，tan723.08）5第第 2 章章 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系无交点；有一个交点；有两个交点；drd=rrd切线的性质与判定定理切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可直线和圆位置关系的判定直线和圆位置关系的判定：依据定义 依据圆心到直线距离 d 与圆的半径 r 的数量关系圆的切线的判定：（5）定义依据 d=r用判定定理圆的切线证明的两种情况：连半径，证垂直；作垂直，证半径。（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。切线长定理切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线PAPB PAPB 平分POBPA圆的外切四边形两组对边和相等弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 一、选择题一、选择题1.O 的直径是 3，直线 与0 相交，圆心 O 到直线 的距离是 d，则 d 应满足 ll()A.d3 B.1.5d3 C.O d1.5 D.dO2.在平面直角坐标系中，以点（2,l）为圆心、1 为半径的圆必与（)NMAOPBAO6A.x 轴相交 B.y 轴相交 C.x 轴相切 D.y 轴相切3.已知两圆的圆心距是 3，两圆的半径分别是方程 x2-3x+2=0 的两个根，则这两个圆的位置关系是（)A外离 B外切 C相交 D内切4已知O1与O2内切，它们的半径分别为 2 和 3，则这两圆的圆心距 d 满足（）（A）d=5 （B）d=1 （C）1d5 （D）d 55如图，PA 为O 的切线，A 为切点，PO 交O 于点 B，PA=3，OA=4，则 cosAPO 的值为（）（A）（B）（C）（D）343545436.如图，AB 是O 的直径，P 是 AB 延长线上的一点，PC 切O 于点C，PC=3、PB：AB=1：3，则O 的半 径等于（）A B.C.D.25349297已知正三角形的内切圆半径为cm，则它的边长是（）33（A）2 cm （B）cm （C）2cm （D）cm43338已知半径均为 1 厘米的两圆外切，半径为 2 厘米，且和这两圆都相切的圆共有（）（A）2 个 （B）3 个 （C）4 个 （D）5 个9.如图，AD、AE 分别是O 的切线，D、E 为切点，BC 切O 于 F,交AD、AE 于点 B、C，若 AD=8.则三角形 ABC 的周长是（）A.8 B.10 C.16 D.不能确定10.要在一个矩形纸片上画出半径分别是 4cm 和 1cm 的两个外切圆，该矩形面积的最小值是（）A.36 B.72 C.80 D.100二、填空题二、填空题1、如图，PA、PB 是O 的切线，A、B 为切点，若APB=60，则ABO=.2如图，在ABC 中，A=90，AB=AC=2cm，A 与 BC 相切于点 D，则A 的半径为 cm 3.两圆内切，其中一个圆的半径为 5，两圆的圆心 距为 2，则另一个圆的半径是 .4如图，已知AOB=30，M 为 OB 边上一点，以 M 为圆心、2 cm 为半径作M若点 M 在 OB 边上运动，则当 OM=cm 时，M 与 OA 相切 5OC 是O 的半径；ABOC；直线 AB 切O 于点 C请以其中两个语句为条件，一个语句为结论，写出一个真命题 6、如图，施工工地的水平地面上有三根外径都是1 米的水泥管，两两相切地堆放在一起，则其最7高点到地面的距离是 .三、解答题三、解答题 1如图ABC 中，BCA=90，A=30，以 AB 为直径画O，延长 AB 到D，使 BD 等于O 的半径求证：CD 是O 的切线 2.如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，D 是O 上一点，且 ADOC（1）求证：ADBOBC（2）若 AB=2，BC=，求 AD 的长（结果保留根号）53.在ABC 中，ABC90，AB4，BC3，O 是边 AC 上的一个动点，以点O 为圆心作半圆，与边 AB 相切于点 D，交线段 OC 于点 E，作 EPED，交射线 AB 于点 P，交射线 CB 于点 F。（A）如图，求证：ADEAEP；（B）设 OAx，APy，求 y 关于 x 的函数解析式并写出 x 的取值范围；（C）当 BF1 时，求线段 AP 的长.4.8VShA底高第三章第三章 三视图和表面展开图三视图和表面展开图1.多面体与旋转体：多面体 棱 顶点.旋转体 轴.2.棱柱：直棱柱 斜棱柱 正棱柱棱柱的性质：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。3.棱锥：棱锥的底面或底 顶点 侧棱 正棱柱 斜高（1）棱锥的性质：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.（2）正棱锥的性质：正棱锥各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形。正棱锥的高，斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高，侧棱，侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等。4.圆柱与圆锥：圆柱的轴 圆柱的底面 圆柱的侧面 圆柱侧面的母线5.棱台与圆台：统称为台体（1）棱台的性质：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.（2）圆台的性质：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.6.球：球体 球的半径 球的直径.球心7.简单组合体：由简单几何体（如柱、锥、台、球等）组合而成的几何体叫简单组合体.（二）空间几何体的三视图和直观图1.中心投影 平行投影 正投影2.三视图的画法：长对正、高平齐、宽相等。3.直观图：斜二测画法，直观图中斜坐标系，两轴夹角为；平行于 x o y45x 轴长度不变，平行于 y 轴长度减半。（三）空间几何体的表面积和体积1.柱体、锥体、台体表面积求法：利用展开图2.柱体、锥体、台体表面积体积公式，球体的表面积体积公式：几何体表面积相关公式体积公式棱柱2SSSSlcA侧全底侧侧棱长直截面周长，其中9棱锥SSS侧全底13VShA底高棱台SSSS侧全上底下底1()3VSS SS h圆柱222Srrh全2Vr h圆锥2Srrl全（r：底面半径，l：母线长）213Vr h 展开图与三视图练习展开图与三视图练习 1如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种平面展开图，那么在原正方体中和“国”字相对的面是（）A中B钓C鱼D岛2一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后，与汉字“岳”相对的面上的汉字是（）A建B设C和D谐3一个正方体的相对的表面上所标的数都是互为相反数的两个数，如图是这个正方体的表面展开图，那么图中 x 的值是（）A2B8C3D24在右边的展开图中，分别填上数字 1，2，3，4，5，6，使得折叠成正方体后，相对面上的数字之和相等，则 a=，b=，c=5.如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值的是 6立方体木块的六个面分别标有数字 1、2、3、4、5、6，如图，是从不同方向观察这个立方体木块看到的数字情况，数字 1 和 5 对面的数字的和是 7若图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数最少是（）A6B8C10D12108某工厂要加工一批茶叶罐，设计者给出了茶叶罐的三视图，如图，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积（单位：毫米）9如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（）A60B70C90D160