高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结.pdf

第二章基本初等函数知识点整理第二章基本初等函数知识点整理2.12.1指数函数指数函数2.1.12.1.1 指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算（1）根式的概念如果，且，那么叫做的次方根当是奇数时，的次方根用符号,1nxa aR xR nnNxannan表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0 的次方根是nanannannan0；负数没有次方根an式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，nananan0a 根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时，()nnaannnaan (0)|(0)nnaaaaaa（2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：且0 的正分数指数幂等于 0正数的负分(0,mnmnaaam nN1)n 数指数幂的意义是：且0 的负分数指数幂没有意义 注意口诀：注意口诀：11()()(0,mmmnnnaam nNaa1)n 底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质 (0,)rsr saaaar sR()(0,)rsrsaaar sR()(0,0,)rrraba b abrR2.1.22.1.2 指数函数及其性质指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数(0 xyaa1)a 1a 01a图象定义域R值域（0,+）过定点图象过定点（0,1），即当 x=0 时，y=1奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数R在上是减函数Rxay xy(0,1)O1y xay xy(0,1)O1y 函数值的变化情况y1(x0),y=1(x=0),0y1(x0)y1(x0),y=1(x=0),0y1(x0)变化对a图象的影响在第一象限内，越大图象越高，越靠近 y 轴；a在第二象限内，越大图象越低，越靠近 xa轴在第一象限内，越小图象越高，越靠近 y 轴；a在第二象限内，越小图象越低，越靠近 x 轴a2.22.2对数函数对数函数【2.2.1】【2.2.1】对数与对数运算对数与对数运算（1）对数的定义若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数(0,1)xaN aa且xaNlogaxNaN负数和零没有对数对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaN aaN（2）几个重要的对数恒等式:，log 10alog1aa logbaab（3）常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即（其中）lg N10logNln NlogeN2.71828e（4）对数的运算性质 如果，那么0,1,0,0aaMN加法：减法：logloglog()aaaMNMNlogloglogaaaMMNN数乘：loglog()naanMMnRlogaNaN 换底公式：loglog(0,)bnaanMM bnRbloglog(0,1)logbabNNbba且【2.2.2】【2.2.2】对数函数及其性质对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数log(0ayx a1)a 1a 01a图象定义域(0,)值域R过定点图象过定点，即当时，(1,0)1x 0y 奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数(0,)在上是减函数(0,)函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxlog0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx变化对 图a象的影响在第一象限内，越大图象越靠低，越靠近 xa轴在第四象限内，越大图象越靠高，越靠近 ya轴在第一象限内，越小图象越靠低，越靠近 x 轴a在第四象限内，越小图象越靠高，越靠近 y 轴a(6)反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子如果对于在中()yf xAC()yf xx()xyyC的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，()xyxA()xyxy函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成()xy()yf x1()xfy1()yfx（7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式中反解出；()yf x1()xfy将改写成，并注明反函数的定义域1()xfy1()yfx（8）反函数的性质xyO(1,0)1x logayx xyO(1,0)1x logayx 原函数与反函数的图象关于直线对称()yf x1()yfxyx函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域()yf x1()yfx若在原函数的图象上，则在反函数的图象上(,)P a b()yf x(,)P b a1()yfx一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数()yf x2.32.3幂函数幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数yxx（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象y限 过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点(0,)(1,1)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数如果，则幂函数的图象在00,)0上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴(0,)xy奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当（其中互质，和qp,p qp），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数qZpqqpyxpqqpyxp为奇数时，则是非奇非偶函数qqpyx图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象,(0,)yxx101xyx1x 在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方yx101xyx1x yx补充知识补充知识二次函数二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式：顶点式：2()(0)f xaxbxc a2()()(0)f xa xhk a两根式：12()()()(0)f xa xxxxa（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便x()f x（3）二次函数图象的性质二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是2()(0)f xaxbxc a,2bxa 24(,)24bacbaa当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，0a(,2ba,)2ba2bxa；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当2min4()4acbfxa0a(,2ba,)2ba时，2bxa 2max4()4acbfxa二次函数当时，图象与轴有两个交点2()(0)f xaxbxc a240bac x11221212(,0),(,0),|M xMxM Mxxa（4）一元二次方程根的分布20(0)axbxca一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方程的两实根为，且令，从以下四个20(0)axbxca12,x x12xx2()f xaxbxc方面来分析此类问题：开口方向：对称轴位置：判别式：端点函数值符号 a2bxa（5）二次函数在闭区间上的最值2()(0)f xaxbxc a,p q 设在区间上的最大值为最大值为，最小值为，最小值为，令()f x,p qMm01()2xpq（）当时（开口向上）0a 若，则 若，则 若，则2bpa()mf p2bpqa()2bmfa2bqa()mf q若，则 ，则02bxa()Mf q02bxa()Mf p()当时(开口向下)0a 若，则 若，则 若，则2bpa()Mf p2bpqa()2bMfa2bqa()Mf q若，则 ，则02bxa()mf q02bxa()mf pf(p)f(q)()2bfaf(p)f(q)()2bfaf(p)f(q)()2bfaf(p)f(q)()2bfaA0 xf(p)f(q)()2bfa0 xAf(p)f(q)()2bfaf(p)f(q)()2bfaf(p)f(q)()2bfa0 xAf(p)f(q)()2bfaf(p)f(q)()2bfaA0 x