考研数学之线性代数知识点以及重要性质指导.pdf

线性代数（经管类）重点难点指导线性代数（经管类）重点难点指导线性代数这门课程的概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系。下面就对线代每章中一些具体知识点以及重要性质作如下总结：一、行列式一、行列式行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和阶两种类型。主要方法是应用行列式按行或者列展开定理和n化为上下三角行列式求解，还可能用到的方法包括：行列式的定义（阶行列式的值为取n自不同行、不同列的个元素的乘积的代数和）、性质（其中为矩阵 n12nA iA的特征值）、行列式的性质。对于抽象行列式的求值，主要在于考虑等的相*1TAAA、关性质。二、矩阵二、矩阵矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵、矩阵的秩等重要概念外，主要也是运算，其运算分两个层次，一是运用矩阵的性质对抽象矩阵进行运算，二是具体矩阵的数值运算。矩阵计算中最主要的工具是初等变换。下面的表格分类列出了的性质以供区*1TAAA、别记忆（为 的特征值）：A行列式性质特征值性质运算性质秩的性质与 A 的特征值相同()TTAA()TTkAkA()TTTABB A()TTTABBA()()()TTr Ar Ar A A11AA1111();();()AABkA伴随矩阵有特征值数乘矩阵、矩阵之积及矩阵之和有特征值有特征值则有：若是可逆矩阵则有；同样，若可逆则有三、线性方程组三、线性方程组向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。学习本章必须彻底弄清楚诸多知识点之间的内在联系，只有这样才能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。以下给出这部分主要知识点：三个双重定义：1.秩的定义a.矩阵秩的定义：矩阵中非零子式的最高阶数。b.向量组秩定义：向量组的极大线性无关组中的向量个数。2.线性相关无关的定义a.对于一组向量，若存在不全为零的数使得成立，则相量组线性相关，否则向量组线性无关，即上述等式当且仅当全为 0 时才成立。b.向量组线性相关 向量组中至少存在一个向量可由其余-1 个向量线性表出；线性无关向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。3线性方程组的两种形式a.矩阵形式：b.向量形式：两条性质：两条性质：1.对于方阵有：方阵可逆存在方阵使得的行列向量组均线性无关可由克莱姆法则判断有唯一解，而仅有零解。对于一般矩阵 则有：的列向量组线性无关 仅有m nAA0Ax 零解若有解，则必有唯一解。2.齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关，而非齐次线性方程组是否有解对应于是否可以由的列向量组线性表出。以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁。关于秩的一些结论关于秩的一些结论：；若有、满足，则；若是可逆矩阵，则有；同样若可逆则有。非齐次线性方程组有唯一解则对应齐次方程组仅有零解，若有无穷多解则 有非零解；若有两个不同的解则有非零0Ax 0Ax 解；若是矩阵而则一定有解，而且当时是唯一解，当时是无穷多解，而若则没有解或有唯一解。四、特征值与特征向量四、特征值与特征向量本章知识要点如下：1.特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式，如:、和。常用到下列性质：若阶矩阵有个特征值，则有；若矩阵有特征值，则、分别有特征值、1A、，且对应特征向量等于所对应的特征向量，而若、分别为矩阵、的特征值，则不一定为的特征值。AB2.相似矩阵及其性质。定义式为，需要区分矩阵的相似、等价与合同：矩阵与矩阵等价的定义式是，其中、为可逆矩阵，此时矩阵可通过A初等变换化为矩阵，并有；当中的、互逆时就变成了矩B阵相似的定义式，即有，此时满足、，并且、有相同的特征值。矩阵合同的定义是，其中为可逆矩阵。由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若与合同或相似则与ABA必等价，反之不成立；合同与等价之间没有必然联系。B3.矩阵可相似对角化的条件。包括两个充要条件和两个充分条件，充要条件（1）是阶矩阵有个线性无关的特征向量；充要条件(2)是的任意重特征根对应有个线性无nn关的特征向量；充分条件（1）是有个互不相同的特征值；充分条件（2）是为实对称nA矩阵。4.实对称矩阵极其相似对角化。阶实对称矩阵必可正交、相似于对角阵，即有n正交阵使得，而且正交阵由对应的几个正交的特征向量组成。五、二次型五、二次型将二次型表示成矩阵形式,用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个:一是化二次型为标准形,这主要是正交变换法(这和实对称阵正交相似对角阵是一个问题的两种提法),在没有其他要求的情况下,用配方法得到标准形可能更方便些;二是二次型的正定性问题,对具体的数值二次型,一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别,而抽象的由给定矩阵的正定性,证明相关矩阵的正定性时,可利用定义，标准形,规范形,特征值等证明,这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。