人教版九年级数学下册反比例函数知识点归纳及练习(含答案).pdf

1 反比例函数反比例函数26.1 知识点知识点 1 反比例函数的定义反比例函数的定义一般地，形如（k 为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：xky 0k x 是自变量，y 是 x 的反比例函数；自变量 x 的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是；0 x 0y 比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分；0k 反比例函数有三种表达式：（），xky 0k（），1kxy0k（定值）（）；kyx0k 函数（）与（）是等价的，所以当 y 是 x 的反比例函数时，x 也是 y 的反比例函数。xky 0k ykx 0k（k 为常数，）是反比例函数的一部分，当 k=0 时，就不是反比例函数了，由于反比例函数0k xky（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出 k 的值，从而确定反比例函数的表达xky 0k 式。26.2 知识点知识点 2 用待定系数法求反比例函数的解析式用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出 k 的值，从而确xky 0k 定反比例函数的表达式。26.3 知识点知识点 3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量，函数值，所以它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双0 x 0y 曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤：列表；描点；连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点：列表时选取的数值宜对称选取；列表时选取的数值越多，画的图像越精确；连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。（1）图象的形状：双曲线 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直越小，图象的弯曲度越大（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线2当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上4k 的几何意义如图 1，设点 P（a，b）是双曲线上任意一点，作 PAx 轴于 A 点，PBy 轴于 B 点，则矩形 PBOA 的面积是（三角形 PAO 和三角形 PBO 的面积都是）如图 2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点 Q 也在双曲线上，作QCPA 的延长线于 C，则有三角形 PQC 的面积为 图 1 图 25说明1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称（3）反比例函数与一次函数的联系26.4 知识点知识点 4 反比例函数的性质反比例函数的性质关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：3反比例函数（）xky 0k 的k符号0k 0k 图像性质的取值范围是x，y 的取值范围0 x 是0y 当时，函数图0k 像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。的取值范围是x，y 的取值范围0 x 是0y 当时，函数图0k 像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内”否则，笼统地说，当时，y 随 x 的增大而减0k 小“，就会与事实不符的矛盾。反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数 k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出 k 的符号。如在第一、第三象限，则可知。xky 0k 反比例函数（）中比例系数 k 的绝对值的几何意义。xky 0k k如图所示，过双曲线上任一点 P（x，y）分别作 x 轴、y 轴的垂线，E、F 分别为垂足，则OEPFSPEPFyxxy矩形k 反比例函数（）中，越大，双曲线越远离坐标原点；越小，双曲线越靠近坐标原xky 0k kxky kxky 点。双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线 y=x 和直线 y=x。练习练习一、选择题一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1、下列函数中 y 是 x 的反比例函数的是（）A B xy=8 C D 21xy 52xy53xy2、反比例函数 y图象经过点（2，3），则 n 的值是（）xn5A、2B、1 C、0 D、143、函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）。4、若点 A(x1,1)、B(x2,2)、C(x3,3)在双曲线上，则（）A、x1x2x3 B、x1x3x2 C、x3x2x1 D、x3x1x25、如图 4，A、C 是函数 y=的图象上任意两点，过点 A 作 y 轴的垂线，垂足为 B，过点 C 作 y 轴的垂线，垂足为 D，记 RtAOB 的面积为 S1，RtCOD 的面积为 S2，则（）图 4A、S1S2；B、S1S2；C、S1=S2；D、S1和 S2的大小关系不能确定6、在反比例函数1 kyx的图象的每一条曲线上，yx都随的增大而增大，则k的值可以是（）A1 B0 C1 D27、如图 2，正比例函数 y=x 与反比例 y=的图象相交于 A、C 两点，ABx 轴于 B，CDx 轴于 D，则四边形 ABCD 的面积为（）A、1 B、C、2 D、8、已知反比例函数 y的图象上有 A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当 x1x20 时，y1y2，xm21则 m 的取值范围是（）A、m0B、m0C、mD、m21219、一次函数 ykxk，y 随 x 的增大而减小，那么反比例函数 y满足（）xkA、当 x0 时，y0B、在每个象限内，y 随 x 的增大而减小C、图象分布在第一、三象限 D、图象分布在第二、四象限10、若反比例函数 的图象经过点（a，-a），则 a 的值为（）A、2；B、2；C、-2；D、4二、填空题二、填空题（每小题 4 分，共 40 分）ABCyxODxy4-511、已知正比例函数yk1x(k10)与反比例函数y=(k20)的图象有一个交点的坐标为(-2，-1)，2kx则它的另一个交点的坐标是 12、函数是反比例函数，则的值是 22)2(axaya13、正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点 A（1，），5yx(0)kykxa则 k14、反比例函数 y（m2）xm10的图象分布在第二、四象限内，则 m 的值为 215、在反比例函数的图象上有两点和，若时，xky111()xy，22()xy，xx120yy12则的取值范围是k16、如图，点 M 是反比例函数 y（a0）的图象上一点，过 M 点作 x 轴、y 轴的平行线，若 S阴影xa5，则此反比例函数解析式为 17、如图，点A、B是双曲线3yx上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若1S阴影，则12SS 18、点在反比例函数(x 0)的图象上，且横坐标为 2.若将 P1yx点先向右P平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点.则在第P一象限内，经过点的反比例函数图象的解析式是_P19.如图，直线 y kx(k0)与双曲线交于 A（x1，y1），xy4B（x2，y2）两点，则 2x1y27x2y1_20、如图 5，A、B 是函数的图象上关于原点对称的任意两点，2yxBC轴，AC轴，则ABC 的面积=_xySOBxyCA图 5三、解答题三、解答题（共 50 分）21、（8 分）已知 若与成正比例关系，与 x 成反比例关系，且当 X=-1 时，21yyy1y2x2y3由1 时，5 时，求与的函数关系式？xyABO1S2S17 题图622、（10 分）如图所示：已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为x21)0(kxk4求的值 若双曲线上的一点 C 的纵坐标为 8，求AOC 的面积)0(kxkxyABO23、（8 分）在反比例函数的图像的每一条曲线上，都随的增大而减小在曲线上取一点 A，xky yx分别向轴、轴作垂线段，垂足分别为 B、C，坐标原点为 O，若四边形 ABOC 面积为 6，求的值xyk24、（24 分）如图，已知反比例函数 y的图象与一次函xk数 yaxb 的图象交于 M（2，m）和 N（1，4）两点（1）求这两个函数的解析式；（2）求MON 的面积；（3）请判断点 P（4，1）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由（4）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围参考答案71、B 2、D 3、B 4、C 5、C 6、D 7、C 8、D 9、D 10、B 11、(2，1)12、-1 ,13、-514、-3 ,15、K-116、y=,17、4x518、y=,19、4x620、4 ,21、y=-x2-x422、k=8,AOC 的面积=1523、k=6,24、(1)y=,y=2x-2x4 (2)=3,(3)在，(4)、x-1 或 0 x 2