东北三省四市2019年吉林省长春市高考数学三模试卷(理科).pdf

第 1 页，共 13 页东北三省四市东北三省四市2019 年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.sin210的值为（）A.B.C.D.121232322.已知集合 A=-1，0，1，2，B=x|（x+1）（x-2）0，则 AB=（）A.B.C.0，D.1，0,1 1,0 1,10,23.若的实部与虚部相等，则实数 a 的值为（）+1+A.0B.1C.2D.34.执行如图所示的程序框图，如果输入 N=4，则输出 p 为（）A.6 B.24 C.120 D.7205.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a2=4，a4=2，则 S6=（）A.0B.10C.15D.306.已知、是两个单位向量，且夹角为，则（-2）（-2+）=（）1231212A.B.C.D.323612337.若 8 件产品中包含 6 件一等品，在其中任取 2 件，则在已知取出的 2 件中有 1 件不是一等品的条件下，另 1 件是一等品的概率为（）A.B.C.D.37456712138.已知 m，n 为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出 的是（）A.，B.，/C.，D.，/9.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007 年至 2018 年，某企业连续 12 年累计研发投入达 4100 亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比这 12 年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示第 2 页，共 13 页根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A.年研发投入占营收比增量相比 年增量大2012 20132017 2018B.该企业连续 12 年研发投入逐年增加C.年研发投入增值最大2015 2016D.该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加10.函数 f（x）=的部分图象大致是（）()42 1A.B.C.D.11.已知 O 为坐标原点，抛物线 C：y2=8x 上一点 A 到焦点 F 的距离为 6，若点 P 为抛物线 C 准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（）A.4B.C.D.4 34 66 312.已如函数 f（x）=，若 x1x2，且 f（x1）+f（x2）=2，则 x1+x2的取1+，112+12，1?值范围是（）A.B.C.D.2,+)1,+)3 22,+)3 23,+)二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）第 3 页，共 13 页13.已知函数的最小正周期为，则=_，若，()=(+4)(0)(2)=210则 sin2=_14.已知矩形 ABCD，AB=12，BC=5，以 A，B 为焦点，且过 C，D 两点的双曲线的离心率为_15.我国古代数学名著九章算术商功中阐述：“斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：四个侧面都是直角三角形；最长的侧棱长为；2 6四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；外接球的表面积为 24其中正确的描述为_16.已知数列an中，a1=2，则=_+1=+1+2()=11三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17.在ABC 中，AB=6，=4 2（1）若，求ABC 的面积；=2 23（2）若点 D 在 BC 边上且 BD=2DC，AD=BD，求 BC 的长18.某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人 200 人，第二车间有工人400 人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照55，65），65，75），75，85），85，95分组）分组频数55，65）265，75）475，85）1085，954合计20第一车间样本频数分布表（）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于 75min 的人数；（）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（）从第一车间被统计的生产时间小于 75min 的工人中，随机抽取 3 人，记抽取的生产时间小于 65min 的工人人数为随机变量 X，求 X 的分布列及数学期望第 4 页，共 13 页19.如图，等腰梯形 ABCD 中，ABCD，AD=AB=BC=1，CD=2，E 为 CD 中点，AE与 BD 交于点 O，将ADE 沿 AE 折起，使点 D 到达点 P 的位置（P平面ABCE）（1）证明：平面 POB平面 ABCE；（2）若直线 PB 与平面 ABCE 所成的角为，求二面角 A-PE-C 的余弦值420.如图所示，椭圆离心率为，：22+22=1(0)22B1、B2是椭圆 C 的短轴端点，且 B1到焦点的距离为，3 2点 M 在椭圆 C 上运动，且点 M 不与 B1、B2重合，点 N 满足 NB1MB1，NB2MB2（1）求椭圆 C 的方程；（2）求四边形 MB2NB1面积的最大值21.已知 aR，函数()=2+（1）讨论函数 f（x）的单调性；（2）若 x=2 是 f（x）的极值点，且曲线 y=f（x）在两点 P（x1，f（x1），Q（x2，f（x2）（x1x26）处的切线互相平行，这两条切线在 y 轴上的截距分别为 b1、b2，求 b1-b2的取值范围22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1的倾斜角为 30，且经过点 A（2，1）以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l2：cos=3，从原点 O 作射线交 l2于点 M，点 N 为射线 OM 上的点，满足|OM|ON|=12，记点 N 的轨迹为曲线 C（）求出直线 l1的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；（）设直线 l1与曲线 C 交于 P，Q 两点，求|AP|AQ|的值23.已知函数 f（x）=|2x-1|+|x-1|（）求不等式 f（x）4 的解集；（）设函数 f（x）的最小值为 m，当 a，b，cR+，且 a+b+c=m 时，求+2+1第 5 页，共 13 页+的最大值2+12+1答案和解析答案和解析1.【答案】B解：sin210=sin（180+30）=-sin30=-2.【答案】A解：由 B 中不等式解得：-1x2，即 B=x|-1x2，A=-1，0，1，2，AB=0，1，3.【答案】A解：=的实部与虚部相等，a+1=1-a，即 a=04.【答案】B解：由已知中 N=4，第一次进入循环时，p=1，此时 k=1 不满足退出循环的条件，则 k=2 第二次进入循环时，p=2，此时 k=2 不满足退出循环的条件，则 k=3 第三次进入循环时，p=6，此时 k=3 不满足退出循环的条件，则 k=4 第四次进入循环时，p=24，此时 k=4 满足退出循环的条件，故输出的 p 值是 24 5.【答案】C解：数列an是等差数列，a2=4=a1+d，a4=2=a1+3d，所以 a1=5，d=-1，则 S6=6a1+=156.【答案】A解：、是两个单位向量，且夹角为，则（-2）（-2+）=-4+5=-7.【答案】C解：假设第一次取出的不是一等品，则第二次是从 7 产品包含 6件一等品中取一件，是一等品的概率为8.【答案】B解：对于 A，若=l，ml，nl，显然条件成立，但，不平行，故 A 错误；对于 B，由 mn，m 可得 n，又 n，故，故 B 正确；对于 C，若 mn，m，n，则，可能平行，可能相交，故 C 错误；对于 D，mn，m，n，则，故 D 错误 第 6 页，共 13 页9.【答案】D解：从研发投入占营收比（图中的红色折线）0709 年有所下降，并非连续 12 年研发投入占营收比逐年增加，故 D 错 10.【答案】B解：函数 f（x）的定义域为（-，-）（-，）（，+）f（-x）=f（x），f（x）为偶函数，f（x）的图象关于 y 轴对称，故排除 A，令 f（x）=0，即=0，解得 x=0，函数 f（x）只有一个零点，故排除 D，当 x=1 时，f（1）=0，故排除 C，综上所述，只有 B 符合，11.【答案】C解：抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=-2，|AF|=4，A 到准线的距离为 6，即 A 点的横坐标为 4，点 A 在抛物线上，A 的坐标 A（4，4）坐标原点关于准线的对称点的坐标为 B（-4，0），|PO|=|PB|，|PA|+|PO|的最小值：|AB|=412.【答案】C解：根据题意，画出分段函数 f（x）图象如下：第 7 页，共 13 页 由两个函数图象及题意，可知：x1，x2不可能同时1因为当 x1和 x2都1 时，f（x1）+f（x2）2，不满足题意，x1，x2不可能同时1而 x1x2，x11x2，f（x1）+f（x2）=，f（x1）+f（x2）=2，x1=1-2lnx2，x1+x2=1+x2-2lnx2，（x21）构造函数 g（x）=1+x-2lnx，（x1）则令 g（x）=0，即，解得 x=2；令 g（x）0，即，解得 x2；令 g（x）0，即，解得 x2g（x）在（1，2）上单调递减，在 x=2 处取得极小值，在（2，+）上单调递增g（x）min=g（2）=3-2ln2g（x）3-2ln2第 8 页，共 13 页x1+x23-2ln213.【答案】2；-解：由周期公式，可得=2，由 得，所以，平方得，14.【答案】解：由题意可得点 OA=OB=6，AC=1332 设双曲线的标准方程是则 2c=12，c=6，则 2a=AC-BC=13-5=8，所以 a=4所以双曲线的离心率为：e=15.【答案】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，PA底面 ABCD，PA=2，底面 ABCD 为矩形，AB=2，BC=4，则四个侧面是直角三角形，故正确；最长棱为 PC，长度为，故正确；由已知可得，PB=2，PC=2，PD=2，则四个侧面均不全等，故错误；把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为PC=，其表面积为4=24，故正确其中正确的命题是16.【答案】解：由得 an+1（n+1+2an）=nan，52 34 第 9 页，共 13 页即 2anan+1+（n+1）an+1=nan，两边同时除以 n（n+1）anan+1，得由累加法得，为等差数列，所以17.【答案】（本小题满分 12 分）解：（1）由正弦定理得：，所以 sinC=1，4 22 23=6=2所以，所以（6 分）=62(4 2)2=2=12 2 4 2=4 2（2）设 DC=x，则 BD=2x，由余弦定理可得(2)2+(2)2 622 2 2=(2)2+2(4 2)22 2解得：所以（12 分）=5 23=3=5 218.【答案】解：（I）估计第一车间生产时间小于 75min 的工人人数为 200=60（人）620，（2 分）估计第二车间生产时间小于 75min 的工人人数为：400（0.025+0.05）10=300（人）（II）第一车间生产时间平均值约为：=（602+704+8010+904）=78（min）1120第二车间生产时间平均值约为：=600.25+700.5+800.2+900.05=70.5（min），2x1x2，第二车间工人生产效率更高（III）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于 75min 的工人有 6 人，其中生产时间小于 65min 的有 2 人，从中抽取 3 人，随机变量 X 服从超几何分布，X 可取值为 0，1，2，P（X=0）=，023436420=15P（X=1）=，1224361220=35P（X=2）=，221436420=15X 的分布列为：X012P153515第 10 页，共 13 页数学期望 E（X）=10 15+1 35+2 1519.【答案】（本小题满分 12 分）（）证明：在PAE 中，OPAE，在BAE 中，OBAE，AE平面 POB，AE平面 ABCE，所以平面 POB平面 ABCE；（4 分）（）在平面 POB 内作 PQOB=Q，PQ平面 ABCE直线 PB 与平面 ABCE 夹角为，=4又OP=OB，OPOB，O、Q 两点重合，即 OP平面 ABCE，以 O 为原点，OE 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，(0，0，32)(12，0，0)(1，32，0)，=(12，0，32)=(12，32，0)设平面 PCE 的一个法向量为，1=(，)则，即，设，1=01=0?12 32=012+32=0?=3则 y=-1，z=1，1=(3，1，1)由题意得平面 PAE 的一个法向量，2=(0，1，0)设二面角 A-P-EC 为，|=|12|1|2|=11 5=55即二面角 A-P-EC 为 的余弦值为（12 分）5520.【答案】解：（1），又，且 a2=b2+c2，=22=2=3 2a2=18，b2=9，因此椭圆 C 的方程为218+29=1第 11 页，共 13 页（2）法一：设 M（x0，y0）（x00），N（x1，y1），MB1NB1，MB2NB2，直线 NB1：直线 NB2：+3=00+3 3=00 3由，解得：，1=20 90又，2018+209=1，1=02四边形 MB2NB1的面积，=12|12|(|1|+|2|)=3 32|0|，020 18当时，S 的最大值为20=1827 22法二：设直线 MB1：y=kx-3（k0），则直线 NB1：=1 3直线 MB1与椭圆 C：的交点 M 的坐标为，218+29=1(1222+1，62 322+1)则直线 MB2的斜率为，直线 NB2：y=2kx+32=62 322+1 31222+1=12由，解得 N 点的横坐标为，因此四边形 MB2NB1的面积=622+1，=12|12|(|+|)=3 (12|22+1+6|22+1)=54|22+1=542|+1|27 22当且仅当时，S 取得最大值|=2227 2221.【答案】解：（1），()=22+=22当 a0 时，f（x）0 在 x（0，+）上恒成立，f（x）在（0，+）上单调递减；当 a0 时，时 f（x）0，时，f（x）0，(0，2)2，+)即 f（x）在上单调递减，在单调递增；(0，2)2，+)（）x=2 是 f（x）的极值点，由（1）可知，2=2a=1设在 P（x1，f（x1）处的切线方程为，(21+1)=(221+11)(1)在 Q（x2，f（x2）处的切线方程为 (22+2)=(222+12)(2)若这两条切线互相平行，则，221+11=222+12第 12 页，共 13 页11+12=12，且 0 x1x26，12=1211，16121111，141113x1（3，4）令 x=0，则，1=41+1 1同理，2=42+2 1【解法一】，12=12111 2=4(1112)+1 2=4(2112)11+(1211)设，()=8 2 +(12)(14，13)()=8 1112=162 8+122=(4 1)222 0g（x）在区间上单调递减，(14，13)()(23 2，0)即 b1-b2的取值范围是(23 2，0)【解法二】，2=211 21 2=4(1112)+1 2=81 2+(12 1)令，其中 x（3，4）()=8+(2 1)2()=82+1 2=2 8+162(2)=(4)22(2)0函数 g（x）在区间（3，4）上单调递增，()(23 2，0)b1-b2的取值范围是(23 2，0)【解法三】x1x2=2（x1+x2），1 2=4142+1 2=4(2 1)1 2+122(2 1)1+2+12=2(1 12)1+12+12设，则()=2(1 )1+()=4(1+)2+1=(1 )2(1+)2，12=12 1 (12，1)第 13 页，共 13 页g（x）0，函数 g（x）在区间上单调递增，(12，1)，()(23 2，0)b1-b2的取值范围是(23 2，0)22.【答案】解：（）直线 l1的参数方程为，=2+30=1+30?即（t 为参数）（2 分）=2+32=1+12?设 N（，），M（1，1），（0，10），则，即，即=4cos，1=12=1?3=12曲线 C 的直角坐标方程为 x2-4x+y2=0（x0）（5 分）（）将 l1的参数方程代入 C 的直角坐标方程中，得，（7 分）(2+32)2 4(2+32)+(1+12)2=0即，t1，t2为方程的两个根，2+32 3=0t1t2=-3，（9 分）|AP|AQ|=|t1t2|=|-3|=3（10 分）23.【答案】解：（）f（x）4或或，12-3+2 4?12 1 4?13-2 4?解得-x2，23故不等式 f（x）4 的解集为x|-x223（）f（x）=，f（x）min=，即 m=，-3+2，12，12 13-2，1?1212又 a，b，cR+且 a+b+c=，z 则 2a+2b+2c=1，设 x=，y=，z=，122+12+12+1x2+y22xy，2xyx2+y2=2a+1+2b+1=2a+2b+2，同理：2yz2a+2c+2，2xz2c+2a+2，2xy+2yz+2xz2a+2b+2+2b+2c+2+2c+2a+2=8，（x+y+z）2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz2a+1+2b+1+2c+1+8=12，x+y+z2，即+2，32+12+12+13当且仅当 a=b=c=时，取得最大值 2163