考研数学一试题及答案解析.pdf

1/112007 年数学一年数学一一、选择题：一、选择题：(本题共本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当时，与等价的无穷小量是0 xx(A).(B).(C).(D).B 1xe1ln1xx11x1 cosx【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当时，有；0 x1(1)xxeex 1112xx 利用排除法知应选(B).2111 cos().22xxx (2)曲线，渐近线的条数为1ln(1)xyex(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.D 【分析】先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。【详解】因为，所以为垂直渐近线；01limln(1)xxex 0 x 又又，所以 y=0 为水平渐近线；1limln(1)0 xxex进一步，=，21ln(1)ln(1)limlimlimxxxxxyeexxxxlim11xxxee=1lim1limln(1)xxxyxexx limln(1)xxex =，limln(1)lim ln(1)0 xxxxxeexe于是有斜渐近线：y=x.故应选(D).(3)如图，连续函数 y=f(x)在区间3，2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间2，0，0，2的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设则下列结论正确的是0()().xF xf t dt(A).(B).3(3)(2)4FF 5(3)(2)4FF(C).(D).C )2(43)3(FF )2(45)3(FF【分析】本题考查定积分的几何意义，应注意 f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。【详解】根据定积分的几何意义，知 F(2)为半径是 1 的半圆面积：，1(2)2FF(3)是两个半圆面积之差：=，22113(3)1()228F3(2)4F 0330)()()3(dxxfdxxfF)3()(30Fdxxf 因此应选(C).2/11(4)设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是(A)若存在，则 f(0)=0.(B)若存在，则 f(0)=0.0()limxf xx0()()limxf xfxx (C)若存在，则存在.(D)若存在，则存在0()limxf xx(0)f 0()()limxf xfxx(0)f D 【分析】本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。【详解】(A),(B)两项中分母的极限为 0，因此分子的极限也必须为 0，均可推导出 f(0)=0.若存在，则，可见(C)也正确，故应选(D).事实上，0()limxf xx00()(0)()(0)0,(0)limlim00 xxf xff xffxx可举反例：在 x=0 处连续，且()f xx=存在，但在 x=0 处不可导。0()()limxf xfxx0lim0 xxxx()f xx(5)设函数 f(x)在上具有二阶导数，且 令,(0,)()0.fx),2,1)(nnfun则下列结论正确的是(A)若，则必收敛.(B)若，则必发散.12uunu12uunu (C)若，则必收敛.(D)若，则必发散.D 12uunu12uunu【分析】可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。【详解】设 f(x)=,则 f(x)在上具有二阶导数，且，但发散，排2x(0,)12()0,fxuu2nun除(C)。设 f(x)=,则 f(x)在上具有二阶导数，且，但收敛，排除(B)。1x(0,)12()0,fxuu1 nun又若设，则 f(x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除()lnf xx(0,)12()0,fxuu ln nun(A).故应选(D).(6)设曲线具有一阶连续偏导数)，过第 II 象限内的点 M 和第 IV 象限内的点 N，T:(,)1(,)L f x yf x y为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列小于零的是(A).(B).(,)Tf x y dx(,)Tf x y dy(C).(D).B (,)Tf x y ds()(,)xyTfx y dxfx y dy【分析】直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。【详解】设 M、N 点的坐标分别为.先将曲线方程代入积分表达式，11221212(,),(,),M x yN xyxxyy再计算有：。21(,)0TTf x y dxdxxx21(,)0TTf x y dydyyy。.(,)0TTf x y dsdss(,)(,)(,)0 xyTTfx y dxfx y dydf x y故正确选项为(B).(7)设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是321,3/11(A).(B).133221,133221,(C).(D).A 1332212,2,2 1332212,2,2 【详解】用定义进行判定:令，0)()()(133322211 xxx得 .0)()()(332221131 xxxxxx因线性无关，所以又，321,1312230,0,0.xxxxxx0110011101 故上述齐次线性方程组有非零解,即线性相关.类似可得(B),(C),(D)中的向量组都是线133221,性无关的.(8)设矩阵,则 A 与 B 211121112A 000010001B(A)合同,且相似.(B)合同,但不相似.(C)不合同,但相似.(D)既不合同,又不相似.B 【详解】由 得 A 的特征值为 0,3,3,而 B 的特征值为 0,1,1,从而 A 与 B 不相似.0|AE又 r(A)=r(B)=2,且 A、B 有相同的正惯性指数,因此 A 与 B 合同.故选(B).(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p(0p1),则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为(A)(B).2)1(3pp 2)1(6pp(C)(D)C 22)1(3pp 22)1(6pp【详解】“第 4 次射击恰好第 2 次命中”表示 4 次射击中第 4 次命中目标,前 3 次射击中有 1 次命中目标,由独立重复性知所求概率为：.故选(C).2213)1(ppC(10)设随机变量(,)服从二维正态分布，且与不相关，分别表示，的概率密度，则在)()(yfxfYXy 的条件下，的条件概率密度为)|(|yxfYX(A)(B)(C).(D)A )(xfX)(yfY)()(yfxfYX)()(yfxfYX【详解】因(,)服从二维正态分布，且与不相关，故与相互独立，于是 =.)|(|yxfYX)(xfX因此选(A).二、填空题二、填空题：(1116 小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上)(11)=12311xe dxx121.2e4/11【分析】先作变量代换，再分部积分。【详解】=111213213211211()txttxe dxt edtte dtxt111121112221.2ttttdetee dte(12)设 f(u,v)为二元可微函数，则=(,)yxzf xyzx112ln.yxfyxfyy【详解】利用复合函数求偏导公式，有=zx112ln.yxfyxfyy(13)二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 其中2432xyyye32122.xxxyC eC ee为任意常数.21,CC【详解】特征方程为，解得 可见对应齐次线性微分方程2430121,3.的通解为 430yyy312.xxyC eC e设非齐次线性微分方程的特解为，代入非齐次方程可得 k=2.故通解为2432xyyye*2xyke32122.xxxyC eC ee(14)设曲面，则=:1xyzdSyx|)|(43.3【详解】由于曲面关于平面 x=0 对称，因此=0.又曲面具有轮换对称性，于dSx :1xyz是=dSyx|)|(dSy|dSx|dSz|dSzyx|)|(|31=dS 3123831 43.3(15)设矩阵,则的秩为 1.0000100001000010A3A【详解】依矩阵乘法直接计算得 ,故 r()=1.00000000000010003A3A(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于的概率为2143【详解】这是一个几何概型,设 x,y 为所取的两个数,则样本空间,记.1,0|),(yxyx21|,),(|),(yxyxyxA5/11故 ，其中分别表示 A 与 的面积.SSAPA)(43143 SSA,三、解答题三、解答题：(1724 小题，共 86 分.)(17)(本题满分 11 分)求函数在区域上的最大值和最小值。2222(,)2f x yxyx y22(,)4,0Dx y xyy【分析】由于 D 为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。【详解】因为，解方程：2(,)22xfx yxxy2(,)42yfx yyx y 得开区域内的可能极值点为.22220,420 xyfxxyfyx y(2,1)其对应函数值为(2,1)2.f 又当 y=0 时，在上的最大值为 4，最小值为 0.2(,)f x yx22x 当，构造拉格朗日函数224,0,22xyyx 222222(,)2(4)F x yxyx yxy解方程组 得可能极值点：，其对应函数值为22222220,4220,40,xyFxxyxFyx yyFxy 53(0,2),(,)22537(0,2)8,(,).224ff比较函数值，知 f(x,y)在区域 D 上的最大值为 8，最小值为 0.72,0,4,8,4(18)(本题满分 10 分)计算曲面积分23,Ixzdydzzydzdxxydxdy其中为曲面的上侧。221(01)4yzxz【分析】本题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。【详解】补充曲面：，取下侧.则221:1,04yxz123Ixzdydzzydzdxxydxdy123xzdydzzydzdxxydxdy =(2)3Dzz dxdydzxydxdy6/11其中为与所围成的空间区域，D 为平面区域.12214yx 由于区域 D 关于 x 轴对称，因此.又30Dxydxdy=(2)3zz dxdydzzdxdy1100332(1).zDzdzdxdyzz dz其中.zD22:14yxz(19)(本题满分本题满分 11 分分)设函数 f(x),g(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：存在，使得(,)a b()().fg【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，若令，()()()F xf xg x则问题转化为证明,只需对用罗尔定理，关键是找到的端点函数值相等的区间(特别是()0F()F x()F x两个一阶导数同时为零的点)，而利用 F(a)=F(b)=0,若能再找一点，使得，则在区间(,)ca b()0F c 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对用罗尔定理即可。,a cc b()F x【证明】构造辅助函数，由题设有 F(a)=F(b)=0.又 f(x),g(x)在(a,b)内具有相等的最大()()()F xf xg x值,不妨设存在,使得21xx ),(,21baxx，12,()max(),()max()a ba bf xMf x g xMg x若，令,则21xx 1xc ()0.F c 若，因，从而存在21xx 111222()()()0,()()()0F xf xg xF xf xg x，使12,(,)cx xa b()0.F c 在区间上分别利用罗尔定理知，存在，使得,a cc b12(,),(,)a cc b.12()()0FF再对在区间上应用罗尔定理，知存在，有()F x12,12(,)(,)a b，即 ()0F()().fg(20)(本题满分本题满分 10 分分)设幂级数在内收敛，其和函数 y(x)满足0nnna x(,)7/11240,(0)0,(0)1.yxyyyy(I)证明：22,1,2,;1nnaa nn(II)求 y(x)的表达式.【分析】先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。【详解】(I)记 y(x)=,则代入微分方程0nnna x1212,(1),nnnnnnyna xyn na x有240,yxyy2210(1)240,nnnnnnnnnn na xna xa x即 2000(2)(1)240,nnnnnnnnnnnaxna xa x故有 2(2)(1)240,nnnnnanaa即 22,1,2,;1nnaa nn(II)由初始条件知，于是根据递推关系式 有(0)0,(0)1yy010,1.aa22,1nnaan 故22110,.!nnaany(x)=0nnna x21212001!nnnnnaxxn2201().!nxnxxxen(21)(本题满分 11 分)设线性方程组04,02,03221321321xaxxaxxxxxx与方程 12321 axxx有公共解，求 a 的值及所有公共解【分析】两个方程有公共解就是与联立起来的非齐次线性方程组有解.【详解】将与联立得非齐次线性方程组:.12,04,02,03213221321321axxxxaxxaxxxxxx若此非齐次线性方程组有解,则与有公共解,且的解即为所求全部公共解.对的增广矩阵作初等A8/11行变换得:.112104102101112aaaA 11000)1)(2(0001100111aaaaa于是 1 当 a=1 时，有=23，方程组有解,即与有公共解,其全部公共解即为的通解，)()(ArAr 此时，此时方程组为齐次线性方程组，其基础解系为:,0000000000100101A 101所以与的全部公共解为，k 为任意常数.101k2 当 a=2 时，有=3，方程组有唯一解,此时)()(ArAr，故方程组的解为:,即与有唯一公共解:为.0000110010100001A011123011xxxx(22)(本题满分 11 分)设 3 阶对称矩阵的特征值是的属于的一个特征向量,记,2,2,1321 T)1,1,1(1 1其中为 3 阶单位矩阵.EAAB 354E(I)验证是矩阵的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量1(II)求矩阵【分析】根据特征值的性质可立即得 B 的特征值,然后由 B 也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.【详解】(I)由 得,11 A1112 AA进一步 ,，113 A115 A故 ，1351)4(EAAB 113154 AA1114 12 从而是矩阵的属于特征值2 的特征向量.1因,及的 3 个特征值 得EAAB 354,2,2,1321 B 的 3 个特征值为.1,1,2321 9/11设为 B 的属于的两个线性无关的特征向量,又32,132 为对称矩阵，得 B 也是对称矩阵,因此与正交,即132,0,03121 TT所以可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：32,其基础解系为:,故可取=,=.0)1,1,1(321 xxx 011 1012 0113 101即 B 的全部特征值的特征向量为:,其中,是不为零的任意常数,是不 1111k 10101132kk01 k32,kk同时为零的任意常数.(II)令=,则，),(321 P 101011111 1121BPP得=1112 PPB 101011111 112 21112111131=.102012112 21112111131 011101110(23)(本题满分 11 分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为2,01,01,(,)0,xyxyf x y其它.(I)求；(II)求 Z+的概率密度.YXP2)(zfZ【详解】(I).YXP2 yxdxdyyxf2),(12210)2(ydxyxdy247(II)先求 Z 的分布函数:zyxZdxdyyxfZYXPzF),()()(当 Z0 时,。0)(zFZ10/11当时,；10 z 1),()(DZdxdyyxfzF yzzdxyxdy00)2(3231zz 当时,；21 z 2),(1)(DZdxdyyxfzF 111)2(1yzzdxyxdy3)2(311z 当时,.2 z1)(zFZ故 Z+的概率密度为=)(zfZ)(zFZ .,0,21,)2(,10,222zzzzz(24)(数 1,3)(本题满分 11 分)设总体 X 的概率密度为.,0,1,)1(21,0,21),(其他xxxf其中参数(01)未知,是来自总体 X 的简单随机样本,是样本均值nXXX21,X(I)求参数的矩估计量；(II)判断是否为的无偏估计量,并说明理由.24X2【详解】(I)dxxxfXE),()(dxxdxx 10)1(22.412)1(414 令,其中，X 412 niiXnX11解方程得的矩估计量为:=.212 X(II),)()(4)(4)4(222XEXDXEXE )()(42XEnXD 而dxxfxXE),()(22 dxxdxx 1202)1(22.616132 ，)()()(22XEXEXD 22)4121(61613 4851211212 故,)4(2XE)()(42XEnXD nnnnnn1253133132 2 所以不是的无偏估计量.24X211/11