圆锥曲线(求轨迹方程)汇总.pdf

求轨迹方程-1专题 圆锥曲线（求轨迹方程）求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立 x，y 之间的关系或 F(x，y)0；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入转移法（相关点法）：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用 x，y 的代数式表示 x0，y0，再将 x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程1一个区别“轨迹方程”与“轨迹”“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的前者只须求出轨迹的方程，标出变量 x，y 的范围；后者除求出方程外，还应指出方程的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关的数据2双向检验求轨迹方程的注意点求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响考向一 直接法求轨迹方程【例 1】已知动点 P(x，y)与两定点 M(1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数(0)(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)试根据 的取值情况讨论轨迹 C 的形状【解】(1)由题意可知，直线 PM 与 PN 的斜率均存在且均不为零，所以 kPMkPNyx1，整理得 x21(0，x1)即动点 P 的轨迹 C 的方程为yx1y2x21(0，x1)y2(2)当 0 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点)；当10 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；当 1 时，轨迹 C 为以原点为圆心，1 为半径的圆除去点(1,0)，(1,0)当 1 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)【对点练习 1】已知 A，B 为平面内两定点，过该平面内动点 M 作直线 AB 的垂线，垂足为 N.若2，其中 为常数，则动点 M 的轨迹不可能是()MN AN NB A圆B椭圆C抛物线D双曲线【解析】以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴，建立坐标系，设 M(x，y)，A(a,0)，B(a,0)，则 N(x,0)因为2，所以 y2(xa)(ax)，即 x2y2a2，MN AN NB 当 1 时，是圆的轨迹方程；当 0 且 1 时，是椭圆的轨迹方程；当 0 时，是双曲线的轨迹方程；当 0 时，是直线的轨迹方程 求轨迹方程-2图882图881综上，方程不表示抛物线的方程【答案】C考向二 定义法求轨迹方程【例 2】已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2|4.动圆 M 与圆 O1内切，又与圆 O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线【解】如图所示，以 O1O2的中点 O 为原点，O1O2所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系由|O1O2|4，得 O1(2,0)，O2(2,0)设动圆 M 的半径为 r，则由动圆 M 与圆 O1内切，有|MO1|r1；由动圆 M 与圆 O2外切，有|MO2|r2.|MO2|MO1|3.点 M 的轨迹是以 O1，O2为焦点，实轴长为 3 的双曲线的左支a，c2，b2c2a2.3274点 M 的轨迹方程为1.4x294y27(x 32)【对点练习 2】如图 881 所示，已知圆 A：(x2)2y21 与点 B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点 P 的轨迹方程(1)PAB 的周长为 10；(2)圆 P 与圆 A 外切，且过 B 点(P 为动圆圆心)；(3)圆 P 与圆 A 外切，且与直线 x1 相切(P 为动圆圆心)【解】(1)根据题意，知|PA|PB|AB|10，即|PA|PB|64|AB|，故 P 点轨迹是椭圆，且 2a6,2c4，即 a3，c2，b.5因此其轨迹方程为1(y0)x29y25(2)设圆 P 的半径为 r，则|PA|r1，|PB|r，因此|PA|PB|1.由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，且 2a1,2c4，即 a，c2，b，12152因此其轨迹方程为 4x2y21.415(x 12)(3)依题意，知动点 P 到定点 A 的距离等于到定直线 x2 的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p4.因此其轨迹方程为 y28x.考向三 代入法(相关点法)求轨迹方程【例 3】如图 882 所示，设 P 是圆 x2y225 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且|MD|PD|.45(1)当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度45【解】(1)设 M 的坐标为(x，y)，P 的坐标为(xP，yP)，由已知得Error!Error!求轨迹方程-3图 885P 在圆上，x2225，即 C 的方程为1.(54y)x225y216(2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y(x3)，设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，4545将直线方程 y(x3)代入 C 的方程，得1，即 x23x80.45x225x3225x1，x2.3 4123 412线段 AB 的长度为|AB|.x1x22y1y22(11625)x1x224125 41415【对点练习 2】(2014合肥模拟)如图 885 所示，以原点 O 为圆心的两个同心圆的半径分别为 3 和 1，过原点 O 的射线交大圆于点 P，交小圆于点 Q，P 在 y 轴上的射影为 M.动点 N 满足且0.PM PN PM QN(1)求点 N 的轨迹方程；(2)过点 A(0,3)作斜率分别为 k1，k2的直线 l1，l2与点 N 的轨迹分别交于 E，F 两点，k1k29.求证：直线 EF 过定点【解】(1)由且0 可知 N，P，M 三点共线且 PMQN.PM PN PM QN 过点 Q 作 QNPM，垂足为 N，设 N(x，y)，|OP|3，|OQ|1，由相似可知 P(3x，y)P 在圆 x2y29 上，(3x)2y29，即x21.所以点 N 的轨迹方程为x21.y29y29(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，由Error!Error!(k 9)x26k1x0，2 1解得 x0 或 x.所以 xE，yEk13，6k1k2 196k1k2 19(6k1k2 19)273k2 1k2 19E.k1k29，k2.用 k2替代中的 k1，(6k1k2 19，273k2 1k2 19)9k19k1同理可得 F.显然 E，F 关于原点对称，直线 EF 必过原点 O.(6k1k2 19，3k2 127k2 19)【达标训练】一、选择题1若 M，N 为两个定点，且|MN|6，动点 P 满足0，则 P 点的轨迹是()PM PN A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线2已知点 F，直线 l：x，点 B 是 l 上的动点若过 B 垂直于 y 轴的直线与线(14，0)14段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是()A双曲线B椭圆 C圆 D抛物线 求轨迹方程-4图8843(2014天津模拟)平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1)，B(1,3)，若点 C 满足1OC 2(O 为原点)，其中 1，2R，且 121，则点 C 的轨迹是()OA OB A直线B椭圆C圆D双曲线4(2014合肥模拟)如图 884 所示，A 是圆 O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线 CD 与 OB 交于 E，则点 E 的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线5设过点 P(x，y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于A，B 两点，点 Q 与点 P 关于 y 轴对称，O 为坐标原点，若2，BP PA 且1，则点 P 的轨迹方程是()OQ AB A.x23y21(x0，y0)B.x23y21(x0，y0)3232C3x2 y21(x0，y0)D3x2 y21(x0，y0)32326已知动点 P 在曲线 2x2y0 上移动，则点 A(0，1)与点 P 连线中点的轨迹方程是()Ay2x2 By8x2 C2y8x21 D2y8x21二、填空题7平面上有三个点 A(2，y)，B，C(x，y)，若，则动点 C 的轨迹方程是(0，y2)AB BC _8动圆与C1：x2y21 外切，与C2：x2y28x120 内切，则动圆圆心的轨迹是_9已知ABC 的顶点 B(0,0)，C(5,0)，AB 边上的中线长|CD|3，则顶点 A 的轨迹方程为_ 10.(2014佛山模拟)在ABC 中，A 为动点，B，C 为定点，B，C(a0)，且(a2，0)(a2，0)满足条件 sin Csin B sin A，则动点 A 的轨迹方程是_12三、解答题11已知定点 F(0,1)和直线 l1：y1，过定点 F 与直线 l1相切的动圆的圆心为点 C.(1)求动点 C 的轨迹方程；(2)过点 F 的直线 l2交轨迹于 P，Q 两点，交直线 l1于点 R，求的最小值RP RQ 12(2011课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，1)，B 点在直线y3 上，M 点满足，M 点的轨迹为曲线 C.MB OA MA AB MB BA(1)求 C 的方程；求轨迹方程-5(2)P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处的切线，求 O 点到 l 距离的最小值13(2013课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为2，在 y 轴上截得线段长为 2.23(1)求圆心 P 的轨迹方程；(2)若 P 点到直线 yx 的距离为，求圆 P 的方程22【达标训练】参考答案一、选择题1A.【解析】0，PMPN，点 P 的轨迹是以线段 MN 为直径的圆PM PN 2D.【解析】由已知：|MF|MB|，由抛物线定义知，点 M 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线3A【解析】设 C(x，y)，因为12，所以(x，y)1(3,1)2(1,3)，即Error!Error!解OC OA OB 得Error!Error!又 121，所以1，即 x2y5，所以点 C 的轨迹为直线，故选 A.y3x103yx104B【解析】由题意知，|EA|EO|EB|EO|r(r 为圆的半径)且 r|OA|，故 E 的轨迹为以 O，A 为焦点的椭圆，故选 B.5A.【解析】设 P(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)，则(x，yyB)，(xAx，y)，BP PA 2，Error!Error!即Error!Error!A，B(0,3y)BP PA(32x，0)又 Q(x，y)，(x，y)，x23y21，OQ AB(32x，3y)OQ AB 32则点 P 的轨迹方程是 x23y21(x0，y0)326C【解析】设 AP 中点 M(x，y)，P(x，y)，则 x，y，Error!Error!x2y12代入 2x2y0，得 2y8x21，故选 C.二、填空题7y28x。【解析】(2，y)，(x，y)，AB(0，y2)(2，y2)BC(0，y2)(x，y2)，0，0，即 y28x.动点 C 的轨迹方程为 y28x.AB BC AB BC(2，y2)(x，y2)8以 C1，C2为焦点的双曲线的右支。【解析】C2的圆心为 C2(4,0)，半径为 2，设所求动圆的圆心为 M，半径为 r，因为动圆与C1外切，又与C2内切，所以 r2，|MC1|r1，|MC2|r2.由得|MC1|MC2|3|C1C2|4.根据双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹是以 C1，C2为焦点的双曲线的右支9(x10)2y236(y0)【解析】设 A(x，y)，则 D，|CD|3，(x2，y2)(x25)2y24化简得(x10)2y236，由于 A，B，C 三点构成三角形，A 不能落在 x 轴上，即 y0.求轨迹方程-610.【答案】1(x0 且 y0).【解析】由正弦定理：，即16x2a216y23a2|AB|2R|AC|2R12|BC|2R|AB|AC|BC|，故动点 A 是以 B，C 为焦点，为实轴长的双曲线右支12a2三、解答题11【解】(1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1的距离，点 C 的轨迹是以 F 为焦点，l1为准线的抛物线，动点 C 的轨迹方程为 x24y.(2)由题意知，直线 l2的方程可设为 ykx1(k0)，与抛物线方程联立消去 y，得x24kx40.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x24k，x1x24.又易得点 R 的坐标为，(2k，1)(kx12)(kx22)RP RQ(x12k，y11)(x22k，y21)(x12k)(x22k)(1k2)x1x2(x1x2)44(1k2)4k448.(2k2k)4k2(2k2k)4k2(k21k2)k22，当且仅当 k21 时取等号，1k242816，即的最小值为 16.RP RQ RP RQ 12【解】(1)设 M(x，y)，由已知得 B(x，3)又 A(0，1)，所以(x，1y)，MA(0，3y)，(x，2)再由题意可知()0，MB AB MA MB AB 即(x，42y)(x，2)0，所以曲线 C 的方程为 y x22.14(2)设 P(x0，y0)为曲线 C：y x22 上一点，因为 y x，所以 l 的斜率为 x0.141212因此直线 l 的方程为 yy0 x0(xx0)，即 x0 x2y2y0 x 0.则 O 点到 l 的距离 d122 0，|2y0 x2 0|x2 04又 y0 x 2，所以 d2.14 2 012x2 04x2 0412(x2 044x2 04)当 x00 时取等号，所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.13【解】(1)设 P(x，y)，圆 P 的半径为 r.由题设 y22r2，x23r2，从而 y22x23.故 P 点的轨迹方程为 y2x21.(2)设 P(x0，y0)由已知得.又 P 点在双曲线 y2x21 上，|x0y0|222 求轨迹方程-7从而得Error!Error!由Error!Error!得Error!Error!此时，圆 P 的半径 r.3由Error!Error!得Error!Error!此时，圆 P 的半径 r.3故圆 P 的方程为 x2(y1)23 或 x2(y1)23.