2018年北京高考数学(理)试题及答案.pdf

绝密绝密启用前启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 A=x|x|2，B=2，0，1，2，则 AB=（A）0，1（B）1，0，1（C）2，0，1，2（D）1，0，1，2（2）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于11i（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（A）（B）1256（C）（D）76712（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为 学&科网122（A）（B）32f322 f（C）（D）1252 f1272 f（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A）1（B）2 （C）3（D）4（6）设 a，b 均为单位向量，则“”是“ab”的33abab（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cos，sin）到直线的距离，当20 xmy，m 变化时，d 的最大值为（A）1（B）2（C）3（D）4（8）设集合则(,)|1,4,2,Ax yxyaxyxay（A）对任意实数 a，（B）对任意实数 a，（2，1）(2,1)AA（C）当且仅当 af（0）对任意的 x（0，2都成立，则 f（x）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_（14）已知椭圆，双曲线若双曲线 N 的两条渐近22221(0)xyMabab：22221xyNmn：线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M的离心率为_；双曲线 N 的离心率为_三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题 13 分）在ABC 中，a=7，b=8，cosB=17（）求A；（）求 AC 边上的高（16）（本小题 14 分）如图，在三棱柱 ABC中，平面 ABC，D，E，F，G 分别为，111ABC1CC 1AAAC，的中点，AB=BC=，AC=2学科*网11AC1BB51AA（）求证：AC平面 BEF；（）求二面角 BCDC1的余弦值；（）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交（17）（本小题 12 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第 k 类电影得到人们喜欢，“”表示第 k 类电影没有得到人们喜1k0k欢（k=1，2，3，4，5，6）写出方差，的大小1D2D3D4D5D6D关系（18）（本小题13分）设函数=()f x2(41)43axaxaex（）若曲线y=f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；(1)fx（）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围()f x（19）（本小题 14 分）已知抛物线 C：=2px 经过点（1，2）过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有2yP两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围；（）设 O 为原点，求证：为定值QMQO QNQO11（20）（本小题14分）设 n 为正整数，集合 A=对于集合 A 中的12|(,),0,1,1,2,nkt tttkn 任意元素和，记12(,)nx xx12(,)ny yyM（）=，111122221(|)(|)(|)2nnnnxyxyxyxyxyxy（）当 n=3 时，若，求 M（）和 M（）的值；(1,1,0)(0,1,1),（）当 n=4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素，当,相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数求集合 B,，,，中元素个数的最大值；（）给定不小于 2 的 n，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素，,M（）=0写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由，绝密绝密启用前启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题（1）A（2）D（3）B（4）D（5）C（6）C（7）C（8）D二、填空题（9）（10）（11）（12）363nan1223（13）=sinx（答案不唯一）（14）()f x312三、解答题（15）（共 13 分）解：（）在ABC 中，cosB=，B（，），172sinB=24 31cos7B由正弦定理得=，sinA=sinsinabAB7sin A84 3732B（，），A（0，），A=223（）在ABC 中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=3114 3()2727 3 314如图所示，在ABC 中，sinC=，h=，hBCsinBCC3 33 37142AC 边上的高为3 32（16）（共 14 分）解：（）在三棱柱 ABC-A1B1C1中，CC1平面 ABC，四边形 A1ACC1为矩形又 E，F 分别为 AC，A1C1的中点，ACEFAB=BCACBE，AC平面 BEF（）由（I）知 ACEF，ACBE，EFCC1又 CC1平面 ABC，EF平面 ABCBE平面 ABC，EFBE如图建立空间直角坐标系 E-xyz由题意得 B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1），=(2 0 1)=(1 2 0)CDCBuuu ruur，设平面 BCD 的法向量为，()a b c，n，00CDCBuuu ruurnn2020acab令 a=2，则 b=-1，c=-4，平面 BCD 的法向量，(214)，n又平面 CDC1的法向量为，=(0 2 0)EBuur，21cos=21|EBEBEBuuruuruurnnn由图可得二面角 B-CD-C1为钝角，所以二面角 B-CD-C1的余弦值为2121（）由（）知平面 BCD 的法向量为，G（0，2，1），(214)，nF（0，0，2），与不垂直，=(02 1)GFuuu r，2GF uuu rnnGFuuu rGF 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内，GF 与平面 BCD 相交（17）（共 12 分）解：（）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.25=50故所求概率为500.0252000（）设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件 B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”故所求概率为 P（）=P（）+P（）ABABABAB=P（A）（1P（B）+（1P（A）P（B）由题意知：P（A）估计为 0.25，P（B）估计为 0.2故所求概率估计为 0.250.8+0.750.2=0.35（）=1D4D2D5D3D6D（18）（共 13 分）解：（）因为=，()f x2(41)43axaxaex所以 f（x）=2ax（4a+1）ex+ax2（4a+1）x+4a+3ex=ax2（2a+1）x+2exf(1)=(1a)e由题设知 f(1)=0，即(1a)e=0，解得 a=1此时 f(1)=3e0所以 a 的值为 1（）由（）得 f（x）=ax2（2a+1）x+2ex=（ax1）(x2)ex若 a，则当 x(，2)时，f(x)0所以 f(x)在 x=2 处取得极小值若 a，则当 x(0，2)时，x20，ax1x10所以 2 不是 f(x)的极小值点综上可知，a 的取值范围是（，+）12（19）（共 14 分）解：（）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2），所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y=kx+1（k0）由得241yxykx22(24)10k xkx 依题意，解得 k0 或 0k122(24)410kk 又 PA，PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点（1，-2）从而 k-3所以直线 l 斜率的取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1）（）设 A（x1，y1），B（x2，y2）由（I）知，12224kxxk 1221x xk直线 PA 的方程为1122(1)1yyxx令 x=0，得点 M 的纵坐标为1111212211Mykxyxx同理得点 N 的纵坐标为22121Nkxyx由，得，=QMQOuuuruuu r=QNQOuuu ruuu r=1My1Ny 所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11MNkxxx xxxkkyykxkxkx xkk所以为定值11（20）（共 14 分）解：（）因为=（1，1，0），=（0，1，1），所以M(，)=(1+1|11|)+(1+1|11|)+(0+0|00|)=2，12M(，）=(1+0|10|)+(1+1|11|)+(0+1|01|)=112（）设=（x1，x 2，x3，x4）B，则 M(，）=x1+x2+x3+x4由题意知 x1，x 2，x3，x40，1，且 M(，)为奇数，所以 x1，x 2，x3，x4中 1 的个数为 1 或 3所以 B(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0).将上述集合中的元素分成如下四组：（1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).经验证，对于每组中两个元素，均有 M(，）=1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素所以集合 B 中元素的个数不超过 4.又集合（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)满足条件，所以集合 B 中元素个数的最大值为 4.（）设 Sk=(x1，x 2，xn）|(x1，x 2，xn）A，xk=1，x1=x2=xk1=0)（k=1，2，n)，Sn+1=(x1，x 2，xn）|x1=x2=xn=0，则 A=S1S1Sn+1对于 Sk（k=1，2，n1）中的不同元素，经验证，M(，)1.所以 Sk（k=1，2，n1）中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素所以 B 中元素的个数不超过 n+1.取 ek=(x1，x 2，xn）Sk且 xk+1=xn=0（k=1，2，n1）.令 B=（e1，e2，en1）SnSn+1，则集合 B 的元素个数为 n+1，且满足条件.故 B 是一个满足条件且元素个数最多的集合.