二次函数知识点(填空)考点复习题.pdf

导航家教-1-二次函数知识点二次函数知识点一、二次函数概念：一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如 （是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强abc何何0a 调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而可以为零二次函数的定义域是 bc何2.二次函数的结构特征：2yaxbxc 等号左边是 ，右边是关于自变量的 ，的最高次数是 xx 是 ，是 ，是 ，是 abc何何abc二、二次函数的基本形式二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口 。2.的性质：上加下减。2yaxc3.的性质：左加右减。2ya xh4.的性质：2ya xhk三、二次函数图象的平移三、二次函数图象的平移 1.平移步骤：的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上00何轴y时，随的增大而 ；时，随的增大而 0 x yx0 x yx；时，有最小值0 x y00a 向下00何轴y时，随的增大而 ；时，随的增大而 0 x yx0 x yx；时，有最 值0 x y0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0c何轴y时，随的增大而 ；时，随的增大而 0 x yx0 x yx；时，有最 值0 x yc0a 向下0c何轴y时，随的增大而 ；时，随的增大而 0 x yx0 x yx；时，有最 值0 x yc的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0h何X=h时，随的增大而 ；时，随的增大而 xhyxxhyx；时，有最 值xhy00a 向下0h何X=h时，随的增大而 ；时，随的增大xhyxxhyx而 ；时，有最 值xhy0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上hk何X=h时，随的增大而 ；时，随xhyxxhy的增大而 ；时，有最 值xxhyk0a 向下hk何X=h时，随的增大而 ；时，随xhyxxhy的增大而 ；时，有最 xxhy值k导航家教-2-方法一：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标()；2ya xhk 保持抛物线 Y=ax2的形状不变，将其顶点平移到()处，具体平移方法如下：【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2.平移规律 在原有函数的基础上“值正 移，负 移；值正 移，负 移”概括成八个字“左 右 ，上 hk下 ”方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成cbxaxy2ymcbxaxy2（或 ）mcbxaxy2沿 x 轴平移：向左（右）平移个单位，变成cbxaxy2mcbxaxy2（或 ）cmxbmxay)()(2 四、二次函数四、二次函数与与的比较的比较2ya xhk2yaxbxc从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过 可以得到前者，即2ya xhk2yaxbxc，其中22424bacbya xaa2424bacbhkaa 何五、二次函数五、二次函数图象的画法图象的画法2yaxbxc画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.五点绘图法：利用配方法xy将二次函数化为顶点式，确定其 、及 ，然后在对称2yaxbxc2()ya xhk轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点 、与轴的交点（）、以及关于y0c何对称轴对称的点、与轴的交点（），（）（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的2hc，xx点）.六、二次函数六、二次函数的性质的性质2yaxbxc 1.当时，抛物线开口 ，对称轴为 ，顶点坐标为 0a 当时，随的增大而 ；当时，随的增大而 ；当时，有最小值 2bxa yx2bxa yx2bxa y 2.当时，抛物线开口 ，对称轴为 ，顶点坐标为 0a 当时，随的增大而 ；当时，随的增大而 ；当时，有最大值 2bxa yx2bxa yx2bxa y七、二次函数解析式的表示方法七、二次函数解析式的表示方法导航家教-3-1.一般式：（，为常数，）；abc0a 2.顶点式：（，为常数，）；ahk0a 3.两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.0a 1x2xx注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.x240bac八、二次函数的图象与各项系数之间的关系、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数 二次函数中，作为二次项系数，显然a2yaxbxca0a 当时，抛物线开口 ，的值越大，开口 ，反之的值越小，开口 ；0a aa 当时，抛物线开口 ，的值越小，开口 ，反之的值越大，开口 0a aa总结起来，决定了抛物线开口的 和 ，的正负决定 ，的大小决定 aaa2.一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴对称轴bab 在的前提下，0a 当时，即抛物线的对称轴在轴 ；0b 02bay当时，即抛物线的对称轴就是 ；0b 02ba当时，即抛物线对称轴在轴的 0b 02bay 在的前提下，结论刚好与上述相反，即0a 当时，即抛物线的对称轴在轴 ；0b 02bay当时，即抛物线的对称轴就是 ；0b 02ba当时，即抛物线对称轴在轴的 0b 02bay总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的 ，的符号的判定：对称轴在轴abababx2y左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左 右 ”0aby0ab3.常数项c 当时，抛物线与轴的交点在轴 ，即抛物线与轴交点的纵坐标为 ；0c yxy 当时，抛物线与轴的交点为坐标 ，即抛物线与轴交点的纵坐标为 ；0c yy 当时，抛物线与轴的交点在轴 ，即抛物线与轴交点的纵坐标为 0c yxy 总结起来，决定了抛物线与轴 位置cy二次函数解析式的确定：二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用 ；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用 ；3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用 ；x4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用 九、二次函数与一元二次方程：九、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：x一元二次方程是二次函数当函数值 时的特殊情况.20axbxc2yaxbxc导航家教-4-图象与轴的交点个数：x 当时，图象与轴交于 ，其中的是一元二次方程240bac x1200A xB x，12()xx12xx，的两根.200axbxca 当时，图象与轴 交点；0 x 当时，图象与轴 交点.0 x 当时，图象落在轴的 ，无论为任何实数，都有 y 0；10a xx 当时，图象落在轴的 ，无论为任何实数，都有 y 0 20a xx2.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为(，)；2yaxbxcy3.二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为 ；x 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为 ；根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的2yaxbxcabcabc位置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，x可由对称性求出 坐标.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以2(0)axbxc ax时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0a 十一、函数的应用十一、函数的应用二次函数考查重点与常见题型:二次函数应用何何何何何何何何何何何何何何何何何何何考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：1、已知以为自变量的二次函数的图像经过原点，则的值是 x2)2(22mmxmym2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的bkxy12bxkxy图像大致是（）y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0-1 x A B C D3、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。35x0 抛物线与轴有 交点x二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有 实根0 抛物线与轴 交点x二次三项式的值为非负一元二次方程有 实数根0 抛物线与轴 交点x二次三项式的值恒为正一元二次方程 实数根.导航家教-5-4、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线（a0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是2yaxbxc32（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5 5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。由抛物线的位置确定系数的符号考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。由抛物线的位置确定系数的符号例 1（1）二次函数的图像如图 1，则点在（）2yaxbxc),(acbM A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 （2）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图 2 所示，则下列结论：a、b 同号；当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时，x 的值只能取 0.其中正确的个数是（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 (1)(2)例 2.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且 1x12，与 y 轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方下列结论：abO；4a+cO，其中正确结论的个数为()A 1 个 B.2 个 C.3 个 D4 个会用待定系数法求二次函数解析式会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为()A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D(3，2)例 4、（2006 年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直到 AB 与 CD 重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2（1）写出 y 与 x 的关系式；（2）当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例 5、已知抛物线 y=x2+x-1252（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长例 6.已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4，10)，交 x 轴于，两点，交 y)0,(1xA)0,(2xB)(21xx 轴负半轴于 C 点，且满足 3AO=OB导航家教-6-(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点 M，使锐角MCOACO?若存在，请你求出 M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由例 7、“已知函数的图象经过点 A（c，2），cbxxy221求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。用二次函数解决最值问题用二次函数解决最值问题例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图），其中 AF=2，BF=1试在 AB 上求一点 P，使矩形PNDM 有最大面积例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？例 3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、25 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是 15 m，则学生丁的身高为多少米？(建立的平面直角坐标系如右图所示)