高二空间向量知识点归纳总结.pdf

1一知识要点1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示奎屯王新敞新疆同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2.空间向量的运算：定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。；baBAOAOB baOBOABA )(RaOP 运算律：加法交换律：加法结合律：abba )()(cbacba 数乘分配律：运算法则：三角形法则、平行四边形法则baba )(3.共线向量：（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作ab。ba/（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（），/存在实数，使。abb0abab（3）三点共线：A、B、C 三点共线，其中ACAB OByOAxOC 1 yx（4）与共线的单位向量为a|aa 4.共面向量：（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。,a bp,a b,x ybyaxp （3）四点共面：若 A、B、C、P 四点共面，其中ACyABxAPOCzOByOAxOP 1 zyx5.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使cba,pzyx,。若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面czbyaxp cba,cba,cba,的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使,O A B CP,x y z。OCzOByOAxOP 6.空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数OxyzA(,)x y zzkyixiOA组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。(,)x y zAOxyz(,)A x y zxyz注：点 A（x,y,z）关于 x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在 y 轴上的点设为(0,y,0),在平面 yOz 中的点设为(0,y,z)（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。空间中任一向量1,i j k 2),(zyxkzjyixa （3）空间向量的直角坐标运算律：若，则，),(321aaaa ),(321bbbb ),(332211babababa ，),(332211babababa )(,(321Raaaa ，332211babababa )(,/332211Rbabababa 0332211 babababa若，则。),(1,11zyxA),(222zyxB),(121212zzyyxxAB 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。中点坐标公式：若，当 P 为 AB 中点时，111(,)A x y z222(,)B xyz)2,2,2(212121zzyyxxP 中，三角形重心 P 坐标为ABC),(1,11zyxA),(222zyxB),(333zyxC)3,3,3(321321321zzzyyyxxxP （4）模长公式：若，123(,)aa a a123(,)bb b b则，232221|aaaaaa 222123|bb bbbb（5）夹角公式：。1 1223 3222222123123cos|aba ba ba ba babaaabbb ABC 中A 为锐角A 为钝角，钝角 0 ACAB0 ACAB（6）两点间的距离公式：若，111(,)A x y z222(,)B xyz则，2222212121|()()()ABABxxyyzz 7.空间向量的数量积：（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量,a bO,OAa OBb AOB与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称ab,a b0,a b,a bb a,2a b与互相垂直，记作：。abab（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。OAa OA a|a（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即,a b|cos,aba b,a ba ba b。|cos,aba b（4）空间向量数量积的性质：。0 baba22|aaaa （5）空间向量数量积运算律：。（交换律）。()()()aba baba bb a（分配律）。不满足乘法结合律：()abca ba c)()(cbacba 二空间向量与立体几何1线线平行两线的方向向量平行31-1 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行两面的法向量平行2.线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1 线面垂直线与面的法向量平行2-2 面面垂直两面的法向量垂直3.线线夹角（共面与异面）两线的方向向量的夹角或夹角的补角，90,0OO2,1nn|,cos|cos21 nn 3-1 线面夹角：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，90,0OOAPn则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.|,cos|sin nAP 3-2 面面夹角（二面角）：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同 180,0OO2,1nn出，则二面角等于法向量的夹角的补角.21,coscosnn 4点面距离：求点到平面的距离：在平面上去一点，得向量;；计算平面的法向量;h00,P xy,Q x yPQ n|nnPQh 4-1 线面距离（线面平行）：转化为点面距离4-2 面面距离（面面平行）：转化为点面距离