高一数学必修二《圆与方程》知识点整理.pdf

1圆与方程圆与方程知识点整理知识点整理一、标准方程一、标准方程222xaybr1.求标准方程的方法关键是求出圆心和半径,a br待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材例 2119P利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理二、一般方程二、一般方程2222040 xyDxEyFDEF1.表示圆方程则220AxByCxyDxEyF222200004040ABABCCDEAFDEFAAA 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：3.常可用来求有关参数的范围2240DEF三、圆系方程：三、圆系方程：四、参数方程：四、参数方程：五、点与圆的位置关系五、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离与半径的大小关系dr点在圆内；点在圆上；点在圆外drdrdr2.涉及最值：（1）圆外一点，圆上一动点，讨论的最值BPPBminPBBNBCrmaxPBBMBCr（2）圆内一点，圆上一动点，讨论的最值APPA minPAANrACmaxPAAMrAC思考：过此点作最短的弦？（此弦垂直）AAC2六、直线与圆的位置关系六、直线与圆的位置关系1.判断方法（为圆心到直线的距离）d（1）相离没有公共点0dr（2）相切只有一个公共点0dr（3）相交有两个公共点0dr 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.2.直线与圆相切（1）知识要点基本图形主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线 与圆相切意味着什么？lC圆心到直线 的距离恰好等于半径恰好等于半径Clr（2）常见题型求过定点的切线方程切线条数点在圆外两条；点在圆上一条；点在圆内无求切线方程的方法及注意点i）点在圆外如定点，圆：，00,P xy222xaybr22200 xaybr第一步：设切线 方程l00yyk xx第二步：通过，从而得到切线方程drk特别注意：特别注意：以上解题步骤仅对存在有效，当不存在时，应补上千万不要漏了！kk如：过点作圆的切线，求切线方程.1,1P2246120 xyxy答案：和3410 xy 1x ii）点在圆上1）若点在圆上，则切线方程为00 xy，222xyr200 x xy yr会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.2）若点在圆上，则切线方程为00 xy，222xaybr 200 xaxaybybr碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.求切线长：利用基本图形，22222APCPrAPCPr3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题垂径定理及勾股定理常用3弦长公式：（暂作了解，无需掌握）222121212114lkxxkxxx x（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题例：若圆上有且仅有两个点到直线的距离为 1，则22235xyr4320 xy半径的取值范围是_.答案：r4,64.直线与圆相离会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）七、对称问题七、对称问题1.若圆，关于直线，则实数的值为_.222120 xymxmym10 xy m答案：3（注意：时，故舍去）1m 2240DEF变式：已知点是圆:上任意一点，点关于直线AC22450 xyaxyA的对称点在圆上，则实数_.210 xy Ca 2.圆关于直线对称的曲线方程是_.22131xy0 xy变式：已知圆：与圆：关于直线 对称，1C22421xy2C22241xyl则直线 的方程为_.l3.圆关于点对称的曲线方程是_.22311xy2,3八、最值问题八、最值问题方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1.已知实数，满足方程，求：xy22410 xyx（1）的最大值和最小值；看作斜率5yx（2）的最小值；参数法；截距（线性规划）yx（3）的最大值和最小值.两点间的距离的平方22xy2.已知中，点是内切圆上一点，求以AOB3OB 4OA 5AB PAOB，为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.PAPBPO数形结合和参数方程两种方法均可！3.设为圆上的任一点，欲使不等式恒成立，则的,P x y2211xy0 xycc取值范围是_.答案：（数形结合和参数方程两种方法均可！）21c 4七、圆的参数方程七、圆的参数方程，为参数222cos0sinxrxyrryr，为参数222cos0sinxarxaybrrybr八、相关应用八、相关应用1.若直线（，），始终平分圆的周长，240mxnymnR224240 xyxy则的取值范围是_.m n2.已知圆：，问：是否存在斜率为 1 的直线，使 被圆截C222440 xyxyllC得的弦为，以为直径的圆经过原点，若存在，写出直线 的方程，若不存在，说明ABABl理由.提示：或弦长公式.答案：或12120 x xy y2121dkxx10 xy 40 xy3.已知圆：，点，设点是圆上的动点，C22341xy0,1A0,1BPC，求的最值及对应的点坐标.22dPAPBdP4.已知圆：，直线：（C221225xyl211740mxmym）mR（1）证明：不论取什么值，直线 与圆均有两个交点；mlC（2）求其中弦长最短的直线方程.5.若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围.yxk 21xy k6.已知圆与直线交于，两点，为坐标原点，2260 xyxym230 xyPQO问：是否存在实数，使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.mOPOQm九、圆与圆的位置关系九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（为圆心距）d（1）外离 （2）外切12drr12drr（3）相交 （4）内切1212rrdrr12drr（5）内含12drr2.两圆公共弦所在直线方程圆：，圆：，1C221110 xyD xE yF2C222220 xyD xE yF5则为两相交圆公共弦方程.1212120DDxEEyFF补充说明：补充说明：若与相切，则表示其中一条公切线方程；1C2C若与相离，则表示连心线的中垂线方程.1C2C3 圆系问题（1）过两圆：和：交点1C221110 xyD xE yF2C222220 xyD xE yF的圆系方程为（）22221112220 xyD xE yFxyD xE yF1 说明：说明：1）上述圆系不包括；2）当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）2C1（2）过直线与圆交点的圆系方程为0AxByC220 xyDxEyF220 xyDxEyFAxByC（3）有关圆系的简单应用（4）两圆公切线的条数问题相内切时，有一条公切线；相外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线；相离时，有四条公切线十、轨迹方程十、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）：略（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式轨迹方程.例：过圆外一点作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.221xy2,0A分析：222OPAPOA（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动 动点 主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.6法 2：（参数法）设，由，则3cos,3sinB223BOCBAC 223cos,3sin33C设，则,G x y 233cos3cos231 coscos133323sin3sin23sinsin2333ABCABCxxxxyyyy，由得：4,33 221122233110,122xyxy 参数法的本质是将动点坐标中的和都用第三个变量（即参数）表示，通过,x yxy消参得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出，的范围.xy（4）求轨迹方程常用到得知识重心，中点，,G x y33ABCABCxxxxyyyy,P x y121222xxxyyy内角平分线定理：BDABCDAC定比分点公式：，则，AMMB1ABMxxx1ABMyyy韦达定理.