椭圆常见题型总结.pdf

第 1 页 共 10 页椭圆常见题型总结1 1、椭圆中的焦点三角形：、椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；椭圆上一点和焦点，为顶点的22221(0)xyabab00(,)P xy1(,0)cF2(,0)cF中，则当为短轴端点时最大，且12PFF12FPFP；122PFPFa；22212122cos4cPFPFPF PF=（短轴长）1 2121sin2PF FSPF PF2tan2bb2 2、直线与椭圆的位置关系：、直线与椭圆的位置关系：直线与椭圆交于ykxb22221(0)xyabab两点，则1122(,),(,)A x yB xy22212121 2()114ABkxxkxxx x3 3、椭圆的中点弦：、椭圆的中点弦：设是椭圆上不同两点，1122(,),(,)A x yB xy22221(0)xyabab是线段的中点，可运用点差法点差法可得直线斜率，且；00(,)M xyABAB2020ABb xka y 4 4、椭圆的离心率、椭圆的离心率范围：，越大，椭圆就越扁。01ee求椭圆离心率时注意运用：，cae222cba5 5、椭圆的焦半径、椭圆的焦半径 若是离心率为的椭圆上任一点，焦00(,)P xye22221(0)xyabab第 2 页 共 10 页点为，则焦半径，；1(,0)cF2(,0)cF10PFaex10PFaex6 6、椭圆标准方程的求法、椭圆标准方程的求法定义法：根据椭圆定义，确定，值，结合焦点位置直接写出椭圆方程；2a2b待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出，从而求出2a2b标准方程；在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为；221AxBy椭圆方程的常见题型椭圆方程的常见题型1、点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，则点的轨迹方程P(4,0)F10 x 1:2P为 ；2、已知轴上一定点，为椭圆上的动点，则 AQ 中点的轨迹方程x(1,0)AQ2214xyM是 ；3、平面内一点到两定点、的距离之和为 10，则的轨迹为（）M2(0,5)F2(0,5)FMA 椭圆 B 圆 C 直线 D 线段4、经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆为（）(2,3)229436xyA B C D 2211510 xy2211015xy221510 xy221105xy5、已知圆，从这个圆上任意一点向轴做垂线段，则线段的中点221xyPy1PP1PP的轨迹方程是（）MA B C D2241xy2241xy2214xy2214yx 6、设一动点到直线的距离与它到点的距离之比为，则动点的轨迹方P3x(1,0)A3P第 3 页 共 10 页程是 （）A B C D 22132xy22132xy22(1)132xy22123xy7、动圆 P 与圆内切与圆外切，求动圆圆心的221:(4)81Cxy222:(4)1CxyP 的轨迹方程8、已知动圆 C 过点 A，且与圆相内切，则动圆圆心的轨迹(2,0)222:(2)64Cxy方程为 ；9、已知椭圆的焦点在轴上，焦距等于 4，并且经过点，则椭圆方程为 y(2,2 6)P；10、已知中心在原点，两坐标轴为对称轴的椭圆过点，则该椭圆3 5(,)2 2A(3,5)B的标准方程为 ；11、设是两个定点，且，动点到点的距离是，线段的垂直平分,A B|2AB MA4MB线 交于点，求动点的轨迹方程lMAPP12、若平面内一动点到两定点，之和为常数，则的轨迹是 ；M1F2F2aM13、已知椭圆经过两点和，求椭圆的标准方程；(2,0)(0,1)14、已知椭圆的焦距是 2，且过点，求其标准方程；5(,0)P 第 4 页 共 10 页椭圆定义的应用椭圆定义的应用1、已知、是椭圆的两个焦点，是经过焦点的弦且，若椭圆长轴长是1F2FAB1F8AB，求的值；1021F AFB2、已知、是两个定点，若点的轨迹是以，为焦点的椭圆，则4AB 的值可能为（）PAPB 3、椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一点，若，求221259xy1F2F01290FPF的面积。12FPF4、设是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点，若，则221499xy1F2F12PF 2PF 5、椭圆上一点到焦点的距离为，是中点，则（）221259xy1F1MFON 6 326、在椭圆上有一点 P，、分别是椭圆的上下焦点，若，则2219yx 1F2F122PFPF=；2PF7、已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于 A、B 两点，若1F2F221259xy1F，则 ；2212F AF BAB 第 5 页 共 10 页8、设、为椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的点，且，求1F2F221496xy12=4 3PFPF：的面积。12FPF9、是方程表示焦点在轴上的椭圆的 条件；0mn221mxnyy10、若方程表示椭圆，则的取值范围为 ；22125xykk11、已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外ABC2213xyA一个焦点在边上，则的周长是 ；BCABC椭圆与向量有关题型椭圆与向量有关题型例 1 已知椭圆 C：的右焦点为，右准线为，线段交 C 于点2212yxFlAlAF，若，则=；B3FAFBAF 例 2 已知椭圆 C：的离心率为，过右焦点且斜率为22221(0)xyabab32Fk的直线与 C 相交于、两点，且，则为 ；(0)k AB3AFFB k1、已知椭圆的焦点为、，点 M 在该椭圆上，且，则点2214xy1F2F120MF MF M 到轴的距离为 ；y第 6 页 共 10 页2、已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且1F2F22221(0)xyababP，若的面积为，则 ；12PFPF 12PFF9b 3、已知椭圆 C：的右焦点为，右准线为，线段交 C 于点223112yxFlAlAF，若，则=；B3FAFBAF 椭圆的离心率问题椭圆的离心率问题例 1、分别是椭圆的两个焦点，和是以为圆心，以1F2F22221(0)xyababABO为半径的圆与该椭圆的两个交点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为 1OF2F AB；例 2、已知、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，求椭圆的离心1F2FP01260FPF率的取值范围；1、设、分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在点，1F2F22221(0)xyababP使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是 ；1PF2F2、在平面直角坐标系中，设椭圆的焦距为 2C，以点为圆心，xoy22221(0)xyababO为半径作圆，若过点所作圆的两条切线相互垂直，则该椭圆的离心率为 a2(,0)aPc第 7 页 共 10 页；3、已知椭圆的左焦点为，为椭圆的两个顶点，22221(0)xyababF(,0),(0,)AaBb若到的距离等于，则椭圆的离心率为 ；FAB7b4、已知椭圆的左右焦点分别为、，且，点 A 在椭22221(0)xyabab1F2F122FFc圆上，则椭圆的离心率为 ；1120AF FF 212AF AFc 5、已知、，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于、两点，1F2F1F若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率为 ；2ABF6、椭圆的右焦点为，其右准线与轴的交点为。在椭圆上存22221(0)xyababFxA在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率取值范围是 ；PAPF7、已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交于点 D，且，则 C 的离心率为 ；2BFFD 8、以椭圆的右焦点为圆心的圆经过原点，且与该椭圆的右准线22221(0)xyababO交于、两点，已知是正三角形，则该椭圆的离心率是 ；ABOAB9、已知 分别为椭圆的右顶点、上顶点、和左焦点，若ABC22221(0)xyabab第 8 页 共 10 页，则该椭圆的离心率为 ；090ABC10设12FF是椭圆的左、右焦点,为直线32ax 上一2222:1(0)xyEababP点,21F PF是底角为30的等腰三角形,则的离心率为（）EABCD122311椭圆(ab0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若22221xyab|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_.椭圆的焦点三角形椭圆的焦点三角形1、椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则 22192xy1F2FP14PF 2PF；的大小为 ；12FPF2、是椭圆上的一点，和是焦点，若，则的面P2212516xy1F2F1230FPF12FPF积等于 （）()A3316()B)32(4()C)32(16()D 16(2-3)3、是椭圆上的一点，和为左右焦点，若。P221259xy1F2F1260FPF第 9 页 共 10 页（1）求的面积；（2）求点的坐标。12FPFP焦半径问题焦半径问题椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，如果线段的中点在221123xy1F2FP1PF轴上，那么是的的 倍；y1PF2PF椭圆的中点弦问题椭圆的中点弦问题例 1、已知椭圆与直线相交于、两点，是221(0)axbyab10 xy ABC的中点，若，的斜率为，求椭圆方程。AB2 2AB OC22第 10 页 共 10 页1、直线 交椭圆于 A、B 两点，中点的坐标是，则直线 的方程为l2211612xyAB(2,1)l ；2、已知椭圆的方程是，则以点为中点的弦所在的直线方程是 221164xy(2,1)P 3、椭圆 C：的左右焦点分别为、，点在椭圆 C 上，且222210 xyabab1F2FP，。112PFFF14,3PF 2143PF（I）求椭圆 C 的方程；（II）若直线 过圆的圆心交椭圆于、两点，且、关l22420 xyxyMABAB于点对称，求直线 的方程。Ml