北师大版八年级下因式分解、分式与分式方程知识点(上传版).pdf

因式分解因式分解一、基本概念因式分解：因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式因式分解与整式乘法互为逆变形：因式分解与整式乘法互为逆变形：()m abcmambmcA整式的乘积因式分解式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为m公因式因式分解的常用方法：因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法分解因式的一般步骤：分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式或十字相乘法，如还不能，就试用分组分解法或其它方法注意事项：注意事项：若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；结果一定是乘积的形式；每一个因式都是整式；相同的因式的积要写成幂的形式在分解因式时，结果的形式要求：在分解因式时，结果的形式要求：没有大括号和中括号；每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；单项式因式写在多项式因式的前面；每个因式第一项系数一般不为负数；形式相同的因式写成幂的形式二、提公因式法提取公因式：提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面确定公因式的方法：确定公因式的方法：系数系数取多项式各项系数的最大公约数；字母字母(或多项式因式或多项式因式)取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂三、公式法平方差公式：平方差公式：22()()abab ab公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；每一项都可以化成某个数或式的平方形式；右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积完全平方公式：完全平方公式：2222()aabbab2222()aabbab左边相当于一个二次三项式；左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；左边中间一项是这两个数或式的积的 2 倍，符号可正可负；右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定一些需要了解的公式：一些需要了解的公式：3322()()abab aabb3322()()abab aabb33223()33abaa babb33223()33abaa babb2222()222abcabcabacbc四、十字相乘法十字相乘法：十字相乘法：一个二次三项式，若可以分解，则一定可以写成的形式，2axbxc1122()()a xca xc它的系数可以写成，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系12aa12cc数 a，b，c，使得：，12a aa1 2c cc1 22 1a ca cb2()()()xab xabxa xb若若不是一个平方数，那么二次三项式不是一个平方数，那么二次三项式就不能在有理数范围内分解就不能在有理数范围内分解24bac2axbxc五、分组分解分组分解法：分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法分式与分式方程分式与分式方程一、分式的基本概念当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式ABBAB整式与分式统称为有理式在理解分式的概念时，注意以下三点：在理解分式的概念时，注意以下三点：分式的分母中必然含有字母；分式的分母的值不为 0；分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开二、分式有意义的条件两个整式相除，除数不能为 0，故分式有意义的条件是分母不为 0，当分母为 0 时，分式无意义如：分式，当时，分式有意义；当时，分式无意义1x0 x 0 x 三、分式的值为零分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”四、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于 0 的整式，分式的值不变上述性质用公式可表示为：，()aambbmaambbm0m 注意：在运用分式的基本性质时，基于的前提是；0m 强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；分式的基本性质是约分和通分的理论依据五、分式的乘除分式的乘法：分式的乘法：a ca cb db d分式的除法：分式的除法：acada dbdbcb c六、分式的乘方分式的乘方：分式的乘方：(为正整数)()nnnnnaa aaa aaabb bbb bbb 个个n个n整数指数幂运算性质：整数指数幂运算性质：(、为整数)；mnm naaamn(、为整数)；()mnmnaamn(为整数)；()nnnaba bn(，、为整数)mnm naaa0a mn负整指数幂：负整指数幂：一般地，当 是正整数时，()，即()是的倒数n1nnaa0a na0a na七、分式的加减运算法则同分母分式相加减同分母分式相加减:分母不变，把分子相加减，ababccc异分母分式相加减异分母分式相加减:先通分，变为同分母的分式再加减，acadbcadbcbdbdbdbd最简公分母最简公分母：确定最简公分母的一般步骤：取各分母系数的最小公倍数；所出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取；相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最大的.在求出最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母所得的商八、分式的混合运算的运算顺序先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算结果以最简形式存在九、分式方程及其求解分式方程：分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程分式方程求解步骤：分式方程求解步骤：方程左右两边时乘最简公分母，化为整式方程；解整式方程，得到具体的值；x检验，将值代入最简公分母，若最简公分母为零，此值为增根；否则为方程的根增根产生的原因：增根产生的原因：分式分母不能为零，而分式方程转化为整式方程后，最简公分母为零可能使方程成立十、分式方程应用题分式方程应用题步骤：分式方程应用题步骤：析、设、列、解、验分式方程应用题验根：分式方程应用题验根：既要检验方程的根是否是增根，还应考虑题目中的实际意义