大一下学期解析几何考试试卷及答案(西南大学).pdf

一、填空题（共一、填空题（共 7 7 题，题，2 2 分分/空，共空，共 2020 分）分）1.1.四点四点,组成的四面体的体积是组成的四面体的体积是_ _._.(0,0,0)O(1,0,0)A(0,1,1)B(0,0,1)C162.2.已知向量已知向量,则则=_(-2,-1,0)_.=_(-2,-1,0)_.(1,1,1)a)3,2,1(b(0,0,1)ccba)(3.3.点点到直线到直线的距离是的距离是_._.)1,0,1(03zxyx66114.4.点点到平面到平面的距离是的距离是_._.)2,0,1(321xyz31475.5.曲线曲线 C:C:对对 xoyxoy 坐标面的射影柱面是坐标面的射影柱面是_,_,2201xyzzx2210 xxy 对对 yozyoz 坐标面的射影柱面是坐标面的射影柱面是_,_,对对 xozxoz 坐标面的射坐标面的射22(1)0zyz影柱面是影柱面是_._.10zx 6.6.曲线曲线 C:C:绕绕轴旋转后产生的曲面方程是轴旋转后产生的曲面方程是_，曲，曲220 xyzx4224()xyz线线 C C 绕绕轴旋转后产生的曲面方程是轴旋转后产生的曲面方程是_._.y222xzy7.7.椭球面椭球面的体积是的体积是_._.12549222zyx40二、计算题（共二、计算题（共 4 4 题题,第第 1 1 题题 1010 分分,第第 2 2 题题 1515 分分,第第 3 3 题题 2020 分分,第第 4 4 题题 1010 分分,共共 5555 分）分）1 1.过点过点作作 3 3 个坐标平面的射影点个坐标平面的射影点,求过这求过这 3 3 个射影点的平面方程个射影点的平面方程.这里这里(,)P a b c是是 3 3 个非零实数个非零实数.,a b c解解:设点设点在平面在平面上的射影点为上的射影点为，在平面，在平面上的射影上的射影(,)P a b c0z 1(,0)M a b0 x 点为点为，在平面，在平面上的射影点为上的射影点为，则，则，2(0,)Ma b0y 3(,0,)Mac12(,0,)M Mac 13(0,)M Mb c于是于是，所确定的平面方程是所确定的平面方程是1M12M M13M M000 xaybzacbc即即 .()()0bc xaac ybabz2 2.已已知知空空间间两两条条直直线线,.:1l010 xyz:2l010 xyz(1 1)证证明明和和是是异异面面直直线线;(2 2)求求和和间间的的距距离离;(3 3)求求公公垂垂线线方方程程.1l2l1l2l证明：证明：(1)(1)的的标标准准方方程程是是，经经过过点点，方方向向向向量量1l1110 xyz 1l1(0,0,1)M11,1,0v 的标准方程是的标准方程是，经过点经过点，方方向向向向量量，2l2110 xyz 2l2(0,0,2)M211,0v 于于是是，所以，所以和和是是异异面面直直线线。1212003(,)1106110M Mv v01l2l(2)(2)由于由于，12(0,0,2)vv122vv和和间间的的距距离离 1l2l121212(,)632M Mv vdvv(3 3)公公垂垂线线方方程程是是，即即。1110000221100002xyzxyz00 xyxy3.3.求曲线求曲线绕绕 x x 轴旋转产生的曲面方面轴旋转产生的曲面方面.221xyz解：设解：设是母线是母线上任意一点上任意一点,则过则过的纬圆方程是的纬圆方程是1111(,)Mx y z221xyz1111(,)Mx y z，（1 1）22222211110 xyzxyzxx又又 ，（2 2）211121xyz由（由（1 1）（2 2）消去）消去得到得到.111,x y z2222220 xyz4 4.已已知知单单叶叶双双曲曲面面,为为腰腰椭椭圆圆上上的的点点,22214925xyz)0,0,2(P(1 1)求求经经过过点点两两条条直直母母线线方方程程及及其其夹夹角角;P(2 2)求求这这两两条条直直母母线线所所在在的的平平面面的的方方程程及及平平面面与与腰腰椭椭圆圆所所在在平平面面的的夹夹角角.解解：(1 1)设设单单叶叶双双曲曲面面两两直直母母线线方方程程是是与与()(1)253()(1)253xzywuxzyuw()(1)253()(1)253xzytvxzyvt把把点点分分别别代代入入上上面面两两方方程程组组，求求得得代代入入直直母母线线方方程程，)0,0,2(P,wu tv得得到到过过点点的的两两条条直直母母线线与与，即即)0,0,2(P12531253xzyxzy 12531253xzyxzy 与与1510630015106300 xyzxyz1510630015106300 xyzxyz两两直直母母线线的的方方向向向向量量可可分分别别取取和和，设设两两直直母母线线的的1(0,3,5)v 2(0,3,5)v 夹夹角角是是，则则有有，.12128cos17v vv v8arccos17（2 2）两两直直母母线线所所在在平平面面的的方方程程是是，即即20350035xyz2x 显显然然平平面面与与腰腰椭椭圆圆所所在在的的平平面面的的夹夹角角是是0 0.四四、证证明明题题(共共 2 2 题题,第第一一题题 1 10 0 分分,第第二二题题 1 15 5 分分,共共 2 25 5 分分)1 1.求求证证:曲曲线线在在一一个个球球面面上上,这这里里的的23222()(,)111tttr ttttttt .(,)t 证证明明:设设，则则有有，即即()(,)r tx y z222xyzy22211()24xyz所以曲线所以曲线在在球球心心为为,半半径径为为的的球球23222()(,)111tttr ttttttt 1(00)212面面上上。2 2.证证明明:(1 1)双双曲曲抛抛物物面面的的同同族族的的所所有有直直母母线线都都平平行行于于同同一一平平面面:(2 2)双双曲曲抛抛物物面面的的同同族族的的两两条条直直母母线线异异面面.证证明明:(1 1)双双曲曲抛抛物物面面的的u u 族族直直母母线线中中任任一一条条直直母母线线都都平平行行于于平平面面,0byaxv v 族族直直母母线线中中任任一一条条直直母母线线都都平平行行于于平平面面,0byax因因而而结结论论成成立立.-5 5 分分 (2 2)不不妨妨取取 u u 族族直直母母线线来来证证明明，任任取取u u 族族直直母母线线中中两两条条直直母母线线：和和 ：1lzbyaxuubyax)(2112lzbyaxuubyax)(222其其中中.由由于于 的的第第一一个个方方程程表表示示的的平平面面平平行行于于的的第第一一个个方方程程表表21uu 示示的的平平面面,即即和和在在两两个个平平行行平平面面上上,因因而而和和不不会会相相交交.1l2l1l2l又又由由于于直直线线的的方方向向向向量量为为1l)2,1,1()1,()0,1,1(1111abuabbuaubav直直线线的的方方向向向向量量为为2l)2,1,1()1,()0,1,1(2222abuabbuaubav由由于于,因因此此和和不不会会平平行行,从从而而证证明明了了双双曲曲抛抛物物面面的的同同族族的的两两条条21uu 1l2l直直母母线线异异面面.