概率论与数理统计知识点总结.pdf

1第第 1 章章 随机事件及其概率随机事件及其概率（1）随）随机机试验试验和随机和随机事件事件如果一个如果一个试验试验在相同条件下可以重复在相同条件下可以重复进进行，而每次行，而每次试验试验的可能的可能结结果果不止一个，但在不止一个，但在进进行一次行一次试验试验之前却不能断言它出之前却不能断言它出现现哪个哪个结结果，果，则则称称这这种种试验为试验为随机随机试验试验。试验试验的可能的可能结结果称果称为为随机事件。随机事件。（2）基）基本事件、本事件、样样本空本空间间和事和事件件在一个在一个试验试验下，不管事件有多少个，下，不管事件有多少个，总总可以从其中找出可以从其中找出这样这样一一组组事事件，它具有如下性件，它具有如下性质质：每每进进行一次行一次试验试验，必，必须发须发生且只能生且只能发发生生这这一一组组中的一个事件；中的一个事件；任何事件，都是由任何事件，都是由这这一一组组中的部分事件中的部分事件组组成的。成的。这样这样一一组组事件中的每一个事件称事件中的每一个事件称为为基本事件，用基本事件，用来表示。来表示。基本事件的全体，称基本事件的全体，称为试验为试验的的样样本空本空间间，用，用表示。表示。一个事件就是由一个事件就是由中的部分点（基本事件中的部分点（基本事件）组组成的集合。通常用大成的集合。通常用大写字母写字母 A，B，C，表示事件，它表示事件，它们们是是的子集。的子集。为为必然事件，必然事件，为为不可能事件。不可能事件。不可能事件（不可能事件（）的概率）的概率为为零，而概率零，而概率为为零的事件不一定是不可能事件；零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（同理，必然事件（）的概率）的概率为为 1，而概率，而概率为为 1 的事件也不一定是必然的事件也不一定是必然事件。事件。（3）事）事件的关件的关系与运系与运算算关系：关系：如果事件如果事件 A 的的组组成部分也是事件成部分也是事件 B 的的组组成部分，成部分，（A 发发生必有事件生必有事件 B发发生）：生）：BA 如果同如果同时时有有，则则称事件称事件 A 与事件与事件 B 等价，或称等价，或称 A 等于等于BA AB B：A=B。A、B 中至少有一个中至少有一个发发生的事件：生的事件：AB，或者，或者 A+B。属于属于 A 而不属于而不属于 B 的部分所构成的事件，称的部分所构成的事件，称为为 A与与B 的差，的差，记为记为 A-1B，也可表示，也可表示为为 A-AB 或者或者，它表示，它表示 A 发发生而生而 B 不不发发生的事件。生的事件。BAA、B 同同时发时发生：生：AB，或者，或者 AB。AB=，则则表示表示 A 与与 B 不可能同不可能同时时发发生，称事件生，称事件 A 与事件与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。的。-A 称称为为事件事件 A 的逆事件，或称的逆事件，或称 A 的的对对立事件，立事件，记为记为A。它表示。它表示A 不不发发生的事件。互斥未必生的事件。互斥未必对对立。立。运算：运算：结结合率：合率：A(BC)=(AB)C A(B C)=(A B)C 分配率：分配率：(AB)C=(A C)(B C)(A B)C=(AC)(BC)德摩根率：德摩根率：11iiiiAA ，BABABABA（4）概）概率的公率的公理化定理化定义义设设为样为样本空本空间间，A为为事件，事件，对对每一个事件每一个事件A都有一个都有一个实实数数 P(A)，若，若满满足下列三个条件：足下列三个条件：1 0P(A)1，2 P()=13 对对于两两互不相容的事件于两两互不相容的事件1A，2A，有有11)(iiiiAPAP则则称称 P(A)为为事件事件A的概率。的概率。（5）古）古典概型典概型1，n21,2。nPPPn1)()()(21设设任一事件任一事件A，它是由，它是由组组成的，成的，则则有有m21,P(A)=)()()(21m)()()(21mPPPnm基本事件总数所包含的基本事件数A（6）几）几何概型何概型若随机若随机试验试验的的结结果果为为无限不可数并且每个无限不可数并且每个结结果出果出现现的可能性均匀，的可能性均匀，同同时样时样本空本空间间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，1则则称此随机称此随机试验为试验为几何概型。几何概型。对对任一事件任一事件 A，。其中。其中 L 为为几何度量（几何度量（长长度、面度、面积积、体、体积积）。）。)()()(LALAP（7）加）加法公式法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当当 AB 不相容不相容 P(AB)0 时时，P(A+B)=P(A)+P(B)当当 AB 独立，独立，P(AB)=P(A)P(B),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)（8）减）减法公式法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当当 BA 时时，P(A-B)=P(A)-P(B)当当 A=时时，P()=1-P(B)B（9）条）条件概率件概率定定义义 设设 A、B 是两个事件，且是两个事件，且 P(A)0，则则称称为为事件事件 A 发发生条生条)()(APABP件下，事件件下，事件 B 发发生的条件概率，生的条件概率，记为记为。)/(ABP)()(APABP条件概率是概率的一种，所有概率的性条件概率是概率的一种，所有概率的性质质都适合于条件概率。都适合于条件概率。例如例如 P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)B（10）乘）乘法公式法公式乘法公式：乘法公式：)/()()(ABPAPABP更一般地，更一般地，对对事件事件 A1，A2，An，若，若 P(A1A2An-1)0，则则有有21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn)1nA。（11）独）独立性立性两个事件的独立性两个事件的独立性设设事件事件A、B满满足足)()()(BPAPABP，则则称事件称事件A、B是相互独立的。是相互独立的。若事件若事件A、B相互独立，且相互独立，且0)(AP，则则有有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP若事件若事件A、B相互独立，相互独立，则则可得到可得到A与与B、A与与B、A与与B也都相互也都相互独立。独立。必然事件必然事件和不可能事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。与任何事件都互斥。多个事件的独立性多个事件的独立性设设 ABC 是三个事件，如果是三个事件，如果满满足两两独立的条件，足两两独立的条件，1P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同并且同时满时满足足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么那么 A、B、C 相互独立。相互独立。对对于于 n 个事件个事件类类似。似。（12）全）全概公式概公式设设事件事件nBBB,21满满足足1nBBB,21两两互不相容，两两互不相容，),2,1(0)(niBPi，2niiBA1，则则有有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。全概率公式解决的是多个原因造成的全概率公式解决的是多个原因造成的结结果果问题问题，全概率公式的，全概率公式的题题型：型：将将试验试验可看成分可看成分为为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；概率公式；（13）贝贝叶斯公叶斯公式式设设事件事件1B，2B，nB及及A满满足足1 1B，2B，nB两两互不相容，两两互不相容，)(BiP0，i1，2，n，2 niiBA1，0)(AP，则则，i=1，2，n。njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(此公式即此公式即为贝为贝叶斯公式。叶斯公式。，（1i，2，n），通常叫先），通常叫先验验概率。概率。，（1i，2，n)(iBP)/(ABPi通常称通常称为为后后验验概率。概率。贝贝叶斯公式反映了叶斯公式反映了“因果因果”的概率的概率规规律，并作出律，并作出了了“由果朔因由果朔因”的推断。将的推断。将试验试验可看成分可看成分为为两步做，如果求在第二步两步做，如果求在第二步某事件某事件发发生条件下第一步某事件的概率，就用生条件下第一步某事件的概率，就用贝贝叶斯公式。叶斯公式。（14）伯）伯努利概努利概型型我我们们作了作了n次次试验试验，且，且满满足足 每次每次试验试验只有两种可能只有两种可能结结果，果，A发发生或生或A不不发发生；生；n次次试验试验是重复是重复进进行的，即行的，即A发发生的概率每次均一生的概率每次均一样样；每次每次试验试验是独立的，即每次是独立的，即每次试验试验A发发生与否与其他次生与否与其他次试验试验A发发生与否是互不影响的。生与否是互不影响的。这这种种试验试验称称为为伯努利概型，或称伯努利概型，或称为为n重伯努利重伯努利试验试验。1用用p表示每次表示每次试验试验A发发生的概率，生的概率，则则A发发生的概率生的概率为为qp 1，用，用)(kPn表示表示n重伯努利重伯努利试验试验中中A出出现现)0(nkk次的概率，次的概率，knkknnqpkPC)(，nk,2,1,0。第二章第二章 随机随机变变量及其分布量及其分布（1）离）离散型散型随机随机变变量量的分的分布律布律设设离散型随机离散型随机变变量量X的可能取的可能取值为值为 Xk(k=1,2,)且取各个且取各个值值的概率，的概率，即事件即事件(X=Xk)的概率的概率为为 P(X=xk)=pk，k=1,2,，则则称上式称上式为为离散型随机离散型随机变变量量X的概率分布或分布律。有的概率分布或分布律。有时时也用分也用分布列的形式布列的形式给给出：出：,|)(2121kkkpppxxxxXPX。显显然分布律然分布律应满应满足下列条件：足下列条件：（1）0kp，,2,1k，（2）11kkp。（2）连连续续型型随机随机变变量量的分的分布密布密度度设设)(xF是随机是随机变变量量X的分布函数，若存在非的分布函数，若存在非负负函数函数)(xf，对对任意任意实实数数x，有有xdxxfxF)()(，则则称称X为连续为连续型随机型随机变变量。量。)(xf称称为为X的概率密度函数或密度函数，的概率密度函数或密度函数，简简称概率密度。称概率密度。密度函数具有下面密度函数具有下面 4 个性个性质质：1、0)(xf。2、1)(dxxf。3、211221P()()()()xxxXxF xF xf x dx4、P(x=a)=0,a 为为常数，常数，连续连续型随机型随机变变量取个量取个别值别值的概率的概率为为 01（3）分）分布函布函数数设设为为随机随机变变量，量，是任意是任意实实数，数，则则函数函数Xx)()(xXPxF称称为为随机随机变变量量 X 的分布函数，本的分布函数，本质质上是一个累上是一个累积积函数。函数。可以得到可以得到 X 落入区落入区间间的概率。分布的概率。分布)()()(aFbFbXaP,(ba函数函数表示随机表示随机变变量落入区量落入区间间（，x内的概率。内的概率。)(xF分布函数具有如下性分布函数具有如下性质质：1 ；,1)(0 xFx2 是是单调单调不减的函数，即不减的函数，即时时，有，有；)(xF21xx)(1xF)(2xF3 ，；0)(lim)(xFFx1)(lim)(xFFx4 ，即，即是右是右连续连续的；的；)()0(xFxF)(xF5 。)0()()(xFxFxXP对对于离散型随机于离散型随机变变量，量，；xxkkpxF)(对对于于连续连续型随机型随机变变量，量，。xdxxfxF)()(0-1 分分布布P(X=1)=p,P(X=0)=q（4）六）六大分大分布布二二项项分分布布在在 重重贝贝努里努里试验试验中，中，设设事件事件发发生的概率生的概率为为。事件。事件发发生生nApA的次数是随机的次数是随机变变量，量，设为设为，则则可能取可能取值为值为。XXn,2,1,0，其中其中，knkknnqpCkPkXP)()(nkppq,2,1,0,10,1则则称随机称随机变变量量服从参数服从参数为为，的二的二项项分布。分布。记为记为Xnp。),(pnBX当当时时，这这就是（就是（0-1）分布所以（）分布，所以（0-1nkkqpkXP1)(1.0k1）分布是二）分布是二项项分布的特例。分布的特例。1泊松分泊松分布布设设随机随机变变量量的分布律的分布律为为X，ekkXPk!)(02,1,0k则则称随机称随机变变量量服从参数服从参数为为 的泊松分布，的泊松分布，记为记为或或X)(X者者 P()。泊松分布泊松分布为为二二项项分布的极限分布（分布的极限分布（np=，n）。）。均匀分均匀分布布设设随机随机变变量量X的的值值只落在只落在a，b内，其密度函数内，其密度函数)(xf在在a，b上上为为常数常数，即，即 ab 1 其他，其他，,0,1)(abxf则则称随机称随机变变量量X在在a，b上服从均匀分布，上服从均匀分布，记为记为 XU(a，b)。分布函数分布函数为为 xdxxfxF)()(当当 ax1x2b 时时，X 落在区落在区间间（21,xx）内的概率）内的概率为为。abxxxXxP1221)(指数分指数分布布 其中其中0，则则称随机称随机变变量量 X 服从参数服从参数为为的指数分布。的指数分布。0，xb。axb)(xf,xe 0 x,0,0 x,1正正态态分分布布设设随机随机变变量量X的密度函数的密度函数为为，x，222)(21)(xexf其中其中、0为为常数，常数，则则称随机称随机变变量量X服从参数服从参数为为、的正的正态态分布或高斯（分布或高斯（Gauss）分布，）分布记为记为),(2NX。)(xf具有如下性具有如下性质质：1 )(xf的的图图形是关于形是关于x对对称的；称的；2 当当x时时，为为最大最大值值；21)(f若若),(2NX，则则X的分布函数的分布函数为为参数参数0、1时时的正的正态态分布称分布称为标为标准正准正态态分布，分布，记为记为)1,0(NX，其密度函数，其密度函数记为记为2221)(xex，x分布函数分布函数为为。xtdtex2221)()(x是不可求是不可求积积函数，其函数函数，其函数值值，已，已编编制成表可供制成表可供查查用。用。(-x)1-(x)且且(0)。21如果如果，则则。X),(2NX)1,0(N。1221)(xxxXxP6）分）分位数位数下分位表：下分位表：；)(XP上分位表：上分位表：。)(XP离散型离散型已知已知的分布列的分布列为为X ，,)(2121nnipppxxxxXPX的分布列（的分布列（互不相等）如下：互不相等）如下：)(XgY)(iixgy，,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY若有某些若有某些相等，相等，则应则应将将对应对应的的相加作相加作为为的概率。的概率。)(ixgip)(ixg（7）函）函数的数的分布分布函数函数连续连续型型 先利用先利用 X 的概率密度的概率密度 fX(x)写出写出 Y 的分布函数的分布函数 FY(y)P(g(X)y)，再利用，再利用变变上下限上下限积积分的求分的求导导公式求出公式求出 fY(y)。第三章第三章 二二维维随机随机变变量及其分布量及其分布1（1）联联合分布合分布离散型离散型如果二如果二维维随机向量随机向量（X，Y）的所有可能取）的所有可能取值为值为至多可列至多可列个有序个有序对对（x,y），），则则称称 为为离散型随机量。离散型随机量。设设=（X，Y）的所有可能取）的所有可能取值为值为，且事件，且事件),2,1,)(,(jiyxji=的概率的概率为为 pij,称称),(jiyx),2,1,(),(),(jipyxYXPijji为为=（X，Y）的分布律或称）的分布律或称为为 X 和和 Y 的的联联合分布律。合分布律联联合分布有合分布有时时也用下面的概率分布表来表示：也用下面的概率分布表来表示：YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1ijp这这里里 pij具有下面两个性具有下面两个性质质：（1）pij0（i,j=1,2,）；）；（2）.1ijijp1连续连续型型对对于二于二维维随机向量随机向量，如果存在非，如果存在非负负函数函数),(YX，使，使对对任意一个其任意一个其邻边邻边分分别别平平),)(,(yxyxf行于坐行于坐标轴标轴的矩形区域的矩形区域 D，即，即 D=(X,Y)|axb,cyx1时时，有，有 F（x2,y）F(x1,y);当当 y2y1时时，有，有 F(x,y2)F(x,y1);（3）F（x,y）分）分别对别对 x 和和 y 是右是右连续连续的，即的，即);0,(),(),0(),(yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),(FxFyFF（5）对对于于，2121yyxxP(x1xx2,y10,D(Y)0，则则称称)()(YDXDXY为为 X 与与 Y 的相关系数，的相关系数，记记作作（有（有时时可可简记为简记为）。）。XY|1，当，当|=1 时时，称，称 X 与与 Y 完全相关：完全相关：1)(baYXP完全相关完全相关，时负相关，当，时正相关，当)0(1)0(1aa而当而当时时，称，称 X 与与 Y 不相关。不相关。0以下五个命以下五个命题题是等价的：是等价的：；0XYcov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).（6）协协方差性方差性质质(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);(ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).1（7）独）独立和不立和不相关相关（i（若随机若随机变变量量 X 与与 Y 相互独立，相互独立，则则；反之不真。；反之不真。0XY（ii（若（若（X，Y）N（），），,222121则则 X 与与 Y 相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是 X 和和 Y 不相关。不相关。