1、第三章第三章 导数及其应用导数及其应用1、变化率与导数变化率与导数 00000000000000010,0limlimlim.xxx xxyf xxxxxyyxxxxxyxxf xxf xyxxyxxfxyf xxf xfxx 、定义：设在处取得一个增量.函数值也得到一个增量称为从到的平均变化率.若当时时，有极限存在，则称此极限值为函数在处的瞬时变化率，记为，也称为函数在处的导数，记作或,即 0yfxxx说明：导数即为函数在处的瞬时变化率.00.PTxf xPPTfxk 2、几何意义:时，Q 沿图像无限趋近于点时，切线的斜率.即 003=limlim.xxf xxf xyyfxyfxyxx 、
2、导函数（简称为导数）称为导函数，记作，即2、常见函数的导数公式常见函数的导数公式1 若(c 为常数)，则；()f xc()0fx2 若,则;()f xx1()fxx3 若,则()sinf xx()cosfxx4 若,则;()cosf xx()sinfxx 5 若,则()xf xa()lnxfxaa6 若,则()xf xe()xfxe7 若,则()logxaf x 1()lnfxxa8 若,则()lnf xx1()fxx3、导数的运算法则导数的运算法则1.()()()()f xg xfxg x2.()()()()()()f xg xfxg xf xg x3.2()()()()()()()f xf
3、xg xf xg xg xg x 四、复合函数求导四、复合函数求导和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数，则()yf u()ug xyx()yf g x5、导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:（1）在某个区间内，如果，那么函数在这个区间单调递增；(,)a b()0fx()yf x 如果，那么函数在这个区间单调递减.()0fx()yf x 33=0000,000,f xfxf xfxfxf xfxfxfxf xf xxffxf xx说明：若在定义域区间上不是单调的，则常常用的点划分的单调区间.若在某个区间恒有，则是常函数；若在某个区间内只有有限个点使，其余恒
4、有则仍为增函数.例如：在R 上有，其余恒有，仍为R 上的增函数，其函数图像为：20.0.f xfxfxfx（）求单调区间的步骤：求的定义域；求导；令，解集在定义域内的部分为增区间令，解集在定义域内的部分为减区间“”“”“”“”.说明：当函数有多个递增区间或递减区间时，不能用、或相连，应该用，隔开或用和()()yfg xg x 3“00”f xfxf xfx（）一种常见的题型：已知函数的单调性求参数的取值范围，利用若单调递增，则；若单调递减，则来求解，注意等号不能省略，否则可能漏解！2.函数的极值与导数（1）极大、极小值得定义：00000=0.xf xf xf xf xf xx若对附近的所有的点
5、，都有且，则称是函数的一个极 大值称是极大值点.00000=0.xf xf xf xf xf xx若对附近的所有的点，都有且，则称是函数的一个极 小值称是极小值点.说明：极大值与极小值统称为极值，极大值与极小值点统称为极值点，极值点是实数而不是点.（2）求函数的极值的步骤：00000000=0I0,0,;II0,0,;IIIfxfxxxfxxfxfxf xxfxfxf xxf xx确定定义区间，求导；求方程的解；检查左右两边的符号：、如果在附近的左侧右侧那么是极大值、如果在附近的左侧右侧那么是极小值、如果在左右两侧导函数不改变符号，那么在处无极值.说明：在解答过程中通常用列表：3、函数的最值与
6、导数求函数在上的最大值与最小值的步骤()yf x,a b求函数在内的极值；()yf x(,)a b将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.()yf x()f a()f b说明：“最值”是整体概念，“极值”是个局部概念.4、生活中的优化问题 解决优化问题的基本思路：/11/“”102030 xxnnnnfxf xe f xefxf xxfxf xxf xxfxf xxfxnf xx f xx fxnxf xxxfxnf xx扩展：常见的导函数构造函数型：1、关系式为加型构造构造构造注意对的符号进行讨论 /22/2/1/21“”102030 xxxxxnnnnnf xfx ef x efxf xfxf xeeef xxfxf xxfxf xxxf xx fxnxf xxfxnf xxfxnf xxxxx2、关系式为减型构造构造构造注意对的符号进行讨论
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