抛物线性质归纳、证明和应用.pdf

第 1 页抛物线性质归纳、证明和应用抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线（定点在定直线外）的距离的点的轨迹，它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线，它只有一支（双曲线有两支），只有一条对称轴，没有渐近线和对称中心，属于无心曲线抛物线的焦半径、焦点弦性质丰富多彩，此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨，抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点，这里就它的一些性质加以归纳，说明和证明，及其在历年高考和模拟考试出现的典例一、焦半径、焦点弦性质如图，如图，AB 是过抛物线是过抛物线 y22px（p0）焦点）焦点 F 的弦，的弦，AD、BC 是准线的垂线，垂足分别为是准线的垂线，垂足分别为D、C，M 是是 CD 的中点，的中点，N 是是 AB 的中点设点的中点设点 A(x1，y1)、点、点 B(x2，y2)，直线，直线 AB 交交 y 轴于点轴于点K(0，y3)，则：，则：y1y2p2；x1x2；p241y11y21y3|AB|x1x2p（为 AB 的倾斜角）；2psin2 SOAB，S梯形 ABCD.p22sin2p2sin3 ；1|AF|1|BF|2p AMBDFCRt；AM、BM 是抛物线的切线；AM、BM 分别是DAB 和CBA 的平分线；AM、DF、y 轴三线共点，BM、CF、y 轴三线共点；A、O、C 三点共线，B、O、D 三点共线；若|AF|：|BF|m：n，点 A 在第一象限，为直线 AB 的倾斜角.则 cos ；mnmn 以 AF 为直径的圆与 y 轴相切，以 BF 为直径的圆与 y 轴相切；以 AB 为直径的圆与准线相切.MN 交抛物线于点 Q，则，Q 是 MN 的中点.K(0，y3)CMDB(x2，y2)ROF(，0)p2A(x1，y1)xyHGxp2NQ第 2 页 y1y2p2；x1x2；p p2 24 41 1y y1 11 1y y2 21 1y y3 3|AB|x1x2p（为为 AB 的倾斜角）的倾斜角）；SOAB，S梯形梯形 ABCD.2 2p ps si in n2 2 p p2 22 2s si in n 2 2p p2 2s si in n3 3【证明】设过焦点 F(，0)的 AB 的直线方程为 xmy，代入抛物线方程 y22px 得p2p2 y22pmyp20，因此 y1y2p2，y1y22pm.另由得在 RtCFD 中，FRCD，有|RF|2|DR|RC|，而|DR|y1|，|RC|y2|，|RF|p，且 y1 y20y1y2p2.又点 A、B 在抛物线上，有 x1，x2，y2 12py2 22p因此 x1x2.y2 12py2 22p(y1y2)24p2p24，1y11y2y1y2y1y22pmp22mp在直线 AB 方程 xmy 中令 x0，得 y3，代入上式得p2p2m1y11y21y3【证法一】根据抛物线的定义，|AF|AD|x1，|BF|BC|x2，p2p2|AB|AF|BF|x1x2p又|AB|y2y1|(x2x1)2(y2y1)21m21m2(y1y2)24y1y2 2p(1m2)1m2 4m2p24p2当 m0 时，m，有1k1tancossin1m21（k 为直线 AB 的斜率）cos2sin21sin2当 m0 时，90，1m21 也满足 1m21sin2|AB|2p(1m2).2psin2【证法二】如图 2，过 A、B 引 x 轴的垂线 AA1、BB1，垂足为A1、B1，那么|RF|AD|FA1|AF|AF|cos，|AF|RF|1cosp1cosCDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOA1B1F图 2CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF(，0)p2图 1第 3 页同理，|BF|RF|1cosp1cos|AB|AF|BF|.p1cosp1cos2psin2【证法三】极坐标法，设抛物线的极坐标方程为，则p1cos|AF|1，|BF|2.p1cosp1cos()p1cos|AB|AF|BF|.p1cosp1cos2psin2SOABSOAFSOBF|OF|y1|OF|y1|(|y1|y1|)121212p2y1y2p2，则 y1、y2异号，因此，|y1|y1|y1y2|SOAB|y1y2|.p4p4(y1y2)24y1y2p4 4m2p24p2p22 1m2p22sin又|CD|AB|sin，|AD|BC|AB|.2psin2psin2S梯形 ABCD(|AD|BC|)|CD|.12122psin2psin2p2sin3【例 1】（2001 年新课程高考文）设坐标原点为 O，抛物线 y22x 与过焦点的直线交于 A、B 两点，则（）OA OB A.B.C.3D.33434【解】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2y1y2p2，故选 B.OA OB p2434【例 2】（2009 年福建理）过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 作倾斜角为 45的直线交抛物线于A、B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p .【解】由性质得|AB|8，p4.2psin22psin2458 122 1 1|A AF F|1 1|B BF F|2 2p p【证法一】由x1x2，且|AF|x1，|BF|x2.p24p2p21|AF|1|BF|1x1p21x2p2x1x2p(x1f(p,2)(x2f(p,2)x1x2px1x2p2(x1x2)p24 x1x2pp24p2(x1x2)p24x1x2pp2(x1x2p)2p【证法二】由|AF|1，|BF|2.p1cosp1cos()p1cos第 4 页 1|AF|1|BF|11121cosp1cosp2p【例 3】（2000 全国）过抛物线 yax2（a0）的焦点 F 用一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段PF 与 FQ 的长分别是 p、q，则 等于（）1p1qA.2a B.C.4a D.12a4a【解】由 yax2得 x2 y，（抛物线焦点到准线的距离为），由此得 4a，故选 C.1a12a1p1q AMBDFCRt，先证明：AMBRt【证法一】延长 AM 交 BC 的延长线于 E，如图 3，则ADMECM，|AM|EM|，|EC|AD|BE|BC|CE|BC|AD|BF|AF|AB|ABE 为等腰三角形，又 M 是 AE 的中点，BMAE，即AMBRt【证法二】取 AB 的中点 N，连结 MN，则|MN|(|AD|BC|)(|AF|BF|)|AB|，|MN|AN|BN|121212ABM 为直角三角形，AB 为斜边，故AMBRt.【证法三】由已知得 C(，y2)、D(，y1)，由此得 M(，).p2p2p2y1y22kAM，同理 kBMy1y1y22x1p2y1y22y2 12ppp(y1y2)y2 1p2p(y1f(p2,y1)y2 1p2py1py2kAMkBM1py1py2p2y1y2p2p2BMAE，即AMBRt.【证法四】由已知得 C(，y2)、D(，y1)，由此得 M(，).p2p2p2y1y22(x1，)，(x3，)MA p2y1y22MB p2y2y12(x1)(x2)MA MB p2p2(y1y2)(y2y1)4x1x2(x1x2)p2p24(y1y2)24CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM图 3CDBRAxyOF图 41234M第 5 页()p24p2y2 12py2 22pp24y2 1y2 22y1y240p22y1y22p22p22，故AMBRt.MA MB【证法五】由下面证得DFC90，连结 FM，则 FMDM.又 ADAF，故ADMAFM，如图 412，同理3423 1809012AMBRt.接着证明：DFCRt【证法一】如图 5，由于|AD|AF|，ADRF，故可设AFDADFDFR，同理，设BFCBCFCFR，而AFDDFRBFCCFR1802()180，即90，故DFC90【证法二】取 CD 的中点 M，即 M(，)p2y1y22由前知 kAM，kCFpy1y2p2p2y2ppy1kAMkCF，AMCF，同理，BMDFDFCAMB90.【证法三】(p，y1)，(p，y2)，DF CF p2y1y20DF CF，故DFC90.DF CF【证法四】由于|RF|2p2y1y2|DR|RC|，即，且DRFFRC90|DR|RF|RF|RC|DRFFRCDFRRCF，而RCFRFC90DFRRFC90DFC90【例 4】（2009 年湖北文）如图 7，过抛物线 y22px（P0）的焦点F 的直线与抛物线相交于 M、N 两点，自 M、N 向准线 l 作垂线，垂图 5CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF(，0)p2CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图 6GHD1N1NMxyOF图 7M1l第 6 页足分别为 M1、N1，求证：FM1FN1 AM、BM 是抛物线的切线是抛物线的切线【证法一】kAM，AM 的直线方程为 yy1(x)py1py1y2 12p与抛物线方程 y22px 联立消去 x 得yy1()，整理得 y22y1y0py1y22py2 12py2 1可见(2y1)240，y2 1故直线 AM 与抛物线 y22px 相切，同理 BM 也是抛物线的切线，如图 8.【证法二】由抛物线方程 y22px，两边对 x 求导，(y2)x(2px)x得 2y2p，故抛物线 y22px 在点 A(x1，y1)处的切线的斜率为 k切|yy1.y xy xpyy xpy1又 kAM，k切kAM，即 AM 是抛物线在点 A 处的切线，同理 BM 也是抛物线的切线.py1【证法三】过点 A(x1，y1)的切线方程为 y1yp(xx1)，把 M(，)代入p2y1y22左边y1px1，y1y22y2 1y1y222px1p22p22右边p(x1)px1，左边右边，可见，过点 A 的切线经过点 M，p2p22即 AM 是抛物线的切线，同理 BM 也是抛物线的切线.AM、BM 分别是分别是DAB 和和CBA 的平分线的平分线【证法一】延长 AM 交 BC 的延长线于 E，如图 9，则ADMECM，有 ADBC，ABBE，DAMAEBBAM，即 AM 平分DAB，同理 BM 平分CBA.【证法二】由图 9 可知只须证明直线 AB 的倾斜角是直线 AMCDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM图 9CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图 8D1第 7 页的倾斜角的 2 倍即可，即2.且 M(，)p2y1y22tankAB.y2y1x2x1y2y1y2 22py2 12p2py1y2tankAM.y1y1y22x1p2y1y22y2 12ppp(y1y2)y2 1p2p(y1f(p2,y1)y2 1p2py1tan 2tan2tan1tan22py11(f(p,y1)22py1y2 2p22py1y2 2y1y22py1y22，即 AM 平分DAB，同理 BM 平分CBA.AM、DF、y 轴三线共点，轴三线共点，BM、CF、y 轴三线共点轴三线共点【证法一】如图 10，设 AM 与 DF 相交于点 G1，由以上证明知|AD|AF|，AM 平分DAF，故 AG1也是 DF 边上的中线，G1是 DF 的中点.设 AD 与 y 轴交于点 D1，DF 与 y 轴相交于点 G2，易知，|DD1|OF|，DD1OF，故DD1G2FOG2|DG2|FG2|，则 G2也是 DF 的中点.G1与 G2重合（设为点 G），则 AM、DF、y 轴三线共点，同理 BM、CF、y 轴也三线共点.【证法二】AM 的直线方程为 yy1(x)，py1y2 12p令 x0 得 AM 与 y 轴交于点 G1(0，)，y12又 DF 的直线方程为 y(x)，令 x0 得 DF 与 y 轴交于点 G2(0，)y1pp2y12AM、DF 与 y 轴的相交同一点 G(0，)，则 AM、DF、y 轴三线共点，y12同理 BM、CF、y 轴也三线共点 H由以上证明还可以得四边形 MHFG 是矩形.A、O、C 三点共线，三点共线，B、O、D 三点共线三点共线【证法一】如图 11，kOA，y1x1y1y2 12p2py1CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF图 11CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图 10GHD1第 8 页kOCy2p22y2p2py2p22py2y1y22py1kOAkOC，则 A、O、C 三点共线，同理 D、O、B 三点也共线.【证法二】设 AC 与 x 轴交于点 O，ADRFBC，|RO|AD|CO|CA|BF|AB|OF|AF|CB|AB|又|AD|AF|，|BC|BF|，|RO|AF|OF|AF|RO|OF|，则 O与 O 重合，即 C、O、A 三点共线，同理 D、O、B 三点也共线.【证法三】设 AC 与 x 轴交于点 O，RFBC，|OF|CB|AF|AB|OF|【见证】|CB|AF|AB|BF|AF|AF|BF|11|AF|1|BF|p2O与 O 重合，则即 C、O、A 三点共线，同理 D、O、B 三点也共线.【证法四】(，y2)，(x1，y1)，OC p2OA y1x1 y2 y1 y20p2p2y2 12ppy12y1y2y12ppy12p2y12p，且都以 O 为端点OC OA A、O、C 三点共线，同理 B、O、D 三点共线.【推广】过定点 P(m，0)的直线与抛物线 y22px（p0）相交于点 A、B，过 A、B 两点分别作直线l：xm 的垂线，垂足分别为 M、N，则 A、O、N 三点共线，B、O、M 三点也共线，如下图：O yNMBAPx O yNMBAPx【例 5】（2001 年高考）设抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BCx 轴.证明直线 AC 经过原点 O.【证法一】因为抛物线 y22px（p0）的焦点为 F(，0)，所以经p2过点 F 的直线 AB 的方程可设为 xmy；p2代入抛物线方程得 y22pmyp20CB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF图 12第 9 页设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1，y2是该方程的两个根，y1y2p2因为 BCx 轴，且点 C 在准线 x 上，故 C(，y2)，p2p2直线 CO 的斜率为 kOCkOA.y2p22py1y1x1直线 AC 经过原点 O.【证法二】如图 13，过 A 作 ADl，D 为垂足，则：ADEFBC连结 AC 与 EF 相交于点 N，则，|EN|AD|CN|AC|BF|AB|NF|BC|AF|AB|由抛物线的定义可知：|AF|AD|，|BF|BC|EN|NF|.|AD|BF|AB|AF|BC|AB|即 N 是 EF 的中点，与抛物线的顶点 O 重合，所以直线 AC 经过原点 O.若若|AF|：|BF|m：n，点，点 A 在第一象限，在第一象限，为直线为直线 AB 的倾斜角的倾斜角.则则 cos ；m mn nm mn n【证明】如图 14，过 A、B 分别作准线 l 的垂线，垂足分别为 D，C，过 B 作 BEAD 于 E，设|AF|mt，|AF|nt，则|AD|AF|，|BC|BF|，|AE|AD|BC|(mn)t在 RtABE 中，cosBAE|AE|AB|(mn)t(mn)tmnmncos cosBAE.mnmn【例 6】设经过抛物线 y22px 的焦点 F 的直线与抛物线相交于两点A、B，且|AF|：|BF|3：1，则直线 AB 的倾斜角的大小为 .【答案】60或 120.以以 AF 为直径的圆与为直径的圆与 y 轴相切，以轴相切，以 BF 为直径的圆与为直径的圆与 y 轴相切；以轴相切；以 AB 为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.【说明】如图 15，设 E 是 AF 的中点，则 E 的坐标为(，)，p2x12y12则点 E 到 y 轴的距离为 d|AF|p2x1212故以 AF 为直径的圆与 y 轴相切，同理以 BF 为直径的圆与 y 轴相切.CDB(x2，y2)EA(x1，y1)xyOF图 13NCDBRAxyOEF图 14lCDBRAxyOF图 15lMNE第 10 页【说明】如图 15，设 M 是 AB 的中点，作 MN准线 l 于 N，则|MN|(|AD|BC|)(|AF|BF|)|AB|121212则圆心 M 到 l 的距离|MN|AB|，12故以 AB 为直径的圆与准线相切.MN 交抛物线于点交抛物线于点 Q，则，则 Q 是是 MN 的中点的中点.【证明】设 A(，y1)，B(，y1)，则 C(，y2)，D(，y1)，y2 12py2 22pp2p2M(，)，N(，)，p2y1y22y2 1y2 24py1y22设 MN 的中点为 Q，则 Q(，)p2y2 1y2 24p2y1y22 p2y2 1y2 24p22p2y2 1y2 28p2y1y2y2 1y2 28p(y1y22)2 2p点 Q 在抛物线 y22px 上，即 Q 是 MN 的中点.图 16第 11 页二、定点、定值、定直线问题（共 9 个结论）平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点，如图平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点，如图 17.【证明】如图 17，设抛物线方程为 y22px（p0），直线 ABx 轴，点 A 的坐标为(x0，y0)，则过 A 点的切线方程为 y0yp(xx0)，直线 l 的斜率为 k0，设直线 AB 到 l 的角为，则 tanpy0，py0设直线 AF 的斜率为 k1，则 k1，y0 x0p22py0y2 0p2设直线 l 到 AF 的角为，则 tan.k1k01k0k12py0y2 0p2py01py02py0y2 0p2p(yo(sup1(2),sdo1(0)p2)y0(yo(sup1(2),sdo1(0)p2)py0tantan，又、0，)，则，也就是说平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点.【例 7】（2004 年福建省质检）如图 18，从点 M(x0，2)发出的光线沿平行于抛物线 y24x 的轴的方向射向抛物线的点 P，反射后经焦点 F 又射向直线 l：x2y70 上的点 N，再反射后又设回点 M，则 x0 .【解】PMx 轴，点 P 在抛物线上，得 P 的坐标为(1，2)，经过F(1，0)点后反射在 Q 点，则 Q 的坐标为(1，2)，经 Q 反射后点 N 的坐标为(3，2)，设 M 关于 l 对称的点为 M，依题意，Q、N、M 共线.故可设 M(x1，2)，由此得 ，解得 x06.22x0 x1121x0 x12222270)【另解】若设 Q 关于直线 l 的对称点为 Q，设 Q(a，b)，由于 Q、Q关于直线 l 对称，由此得，解得则 Q的坐标为(，)，b2a1121a122b2270)a95b185)95185图 17FABxOTl图 18FPMxOQNyM第 12 页 又 M、N、Q 三点共线，kMNkNQ，即，185195322x03x06.若若 C(x0，y0)是抛物线是抛物线 y22px（p0）上的任一点，过）上的任一点，过 C 引两条互相垂直的直线交抛物线于引两条互相垂直的直线交抛物线于A、B，则直线，则直线 AB 过定点过定点(2px0，y0).【证明】设 A(，s)、B(，t)（s，t，y0互不相等）s22pt22p那么，由 ACBC 得kACkBCy0sx0s22py0tx0t22p 1y0sy2 02ps22py0ty2 02pt22p4p2(y0s)(y0t)4p2(y0s)(y0t)st4p2(st)y0 y2 0又直线 AB 的方程为，整理得，y ystsxs22pt22ps22p2pxstst把代入得 yy0(x2px0)y02px4p2(st)y0y2 0st2px4p22px0st2pst令 x2px00，即 x2px0，得 yy0.故直线 AB 过定点(2px0，y0).特别地，当特别地，当 C 是抛物线的顶点时，定点是抛物线的顶点时，定点 P 的坐标为的坐标为(2p，0).【拓展】C(x0，y0)是抛物线是抛物线 y22px（p0）上的一定点，直线）上的一定点，直线 AB 与抛物线相交于与抛物线相交于 A、B 两点两点（都异于（都异于 C），若直线，若直线 CA、CB 的斜率的斜率 kCA、kCB的乘积为定值的乘积为定值 m，那么，直线，那么，直线 AB 过定点过定点(x0，y0).2 2p pm m【例 8】（2000 京皖春季高考）如图 20，设点 A 和 B 为抛物线y24px（p0）上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线【解法一】点 A，B 在抛物线 y24px 上，设 A(，yA)，B(，yB)，OA、OB 的斜y2 A4py2 B4p率分别为xyOA(，s)s22p图 19B(，t)t22pC(x0，y0)xyOA(xA，yA)图 20B(xB，yB)MP第 13 页kOA、kOBkOA，kOA，kAB.yAy2 A4p4pyA4pyByByAy2 B4py2 A4p4pyAyB由 OAOB，得 kOAkOB1 16p2yAyB直线 AB 方程为，yyA(x)，即(yAyB)(yyA)4p(x)4pyAyBy2 A4py2 A4p由 OMAB，得直线 OM 方程 y yAyB4p设点 M(x，y)，则 x，y 满足、两式，将式两边同时乘以，并利用式x4p整理得，yA2yyA(x2y2)0 x4p由、两式得yByA(x2y2)0，x4p由式知，yAyB16p2，所以 x2y24px0因为 A、B 是原点以外的两点，所以 x0所以点 M 的轨迹是以(2p，0)为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点【解法二】由性质(2)易知 AB 经过定点 P(4p，0)，由于 OMAB，那么，M 的轨迹以(2p，0)为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点其轨迹方程为 x2y24px0（x0）.抛物线抛物线 y22px（p0）的弦）的弦 AB 的中点的中点 D 恰好在定直线恰好在定直线 l：xm（m0）上，则线段）上，则线段 AB 的垂的垂直平分线过定点直平分线过定点 M(mp，0).【证明】如图 22，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(m，y0)，那么y2 12px1y2 22px2)得2p(x1x2)y2 1y2 2直线 AB 的斜率 kABy1y2x1x22py1y2py0直线 DM 的斜率 kDM1kABy0pDM 的直线方程为 yy0(xm)y0p令 y0，得 xmp图 21xyOA(xA，yA)B(xB，yB)MP图 22第 14 页直线 AB 的垂直平分线恒过定点(mp，0).【例 9】（2008 湖南理科高考）若 A、B 是抛物线 y24x 上的不同两点，弦 AB（不平行于 y 轴）的垂直平分线与 x 轴相交于点 P，则称弦 AB 是点 P 的一条“相关弦”.已知当 x2 时，点 P(x，0)存在无穷多条“相关弦”给定 x02证明：点 P(x0，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；（略）【说明】应用性质，由已知得 p2，由定点 P(x0，0)得 mpx0，故 mx02“相关弦”的中点的横坐标为 x02.第 15 页设直线设直线 l 与抛物线与抛物线 y22px（p0）相交于点）相交于点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，那么，那么若直线若直线 l 过抛物线对称轴的定点过抛物线对称轴的定点 M(a，0)，则，则 y1y22ap，x1x2a2；反之；反之若若 y1y2k（定值）（定值），则直线，则直线 l 恒过定点恒过定点 N(，0).k k2 2p p若直线若直线 l 与与 y 轴相交于点轴相交于点(0，y3)，则，则.1 1y y1 11 1y y2 21 1y y3 3【证明】设过点 M(a，0)的直线方程为 xmya，代入抛物线方程 y22px 得 y22pmy2pa0，因此y1y22ap，x1x2a2.y2 12py2 22p(y1y2)24p24a2p24p2设直线 l 方程为 xmyb，代入抛物线方程 y22px 得 y22pmy2pb0，即方程的根 y1、y2是 P、Q 两点的纵坐标y1y22pb，又 y1y2k.2pbk，即 b，则直线 l 方程为 xmyk2pk2p令 y0，得 x，则直线 l 恒过定点 N(，0).k2pk2p由 l 的方程 xmya 中，令 x0 得 y3，y1y22pmam .1y11y2y1y2y1y22pm2apma1y3【例 10】（北京 2005 年春季高考理科）如图 24，O 为坐标原点，直线 l在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a 和 b（a0，b0），且交抛物线y22px（p0）于 M(x1，y1)、N(x2，y2)两点.写出直线 l 的截距式方程；证明：.1y11y21b【解】直线 l 的截距式方程为 1.xayb由上面性质证明可得.1y11y21bxyOA(x1，y1)图 23B(x2，y2)N(x2，y2)M(x1，y1)xyOa图 24b第 16 页过抛物线过抛物线 y22px（p0）的焦点）的焦点 F 作直线作直线 l 与抛物线交于与抛物线交于 A、B 两点，且与准线交于点两点，且与准线交于点 M，设，设，则，则 0.M MA A A AF F M MB B B BF F 【证法一】设过点 F(，0)的直线方程为 xmy，p2p2代入抛物线方程 y22px 得 y22pmyp20，因此 y1y2p2，y1y22pm令 x，得 yMp2pm由得(x1，y1)(x1，y1)MA AF p2pmp2y1 y1，1，同理，1pmpmy1pmy2222220.pmy1pmy2p(y1y2)my1 y2p2pmm(p2)【证法二】由已知，得0MA AF MB BF 则|MA|MB|AF|BF|过点 A，B 分别作准线 l 的垂线，垂足分别为 A1，B1，则有：|MA|MB|AA1|BB1|AF|BF|由得，即0.|AF|BF|AF|BF|【例 11】（2007 年福建理科高考）如图 27，已知点 F(1，0)，直线 l：x1，P 为平面上的动点，过 P 作直线 l 的垂线，垂足为点 Q，且QP QF FP FQ 求动点 P 的轨迹 C 的方程；过点 F 的直线交轨迹 C 于 A，B 两点，交直线 l 于点 M，已知1，2，求12的值；MA AF MB BF【略解】动点 P 的轨迹 C 的方程为：y24x；120.B(x2，y2)A(x1，y1)xyOF图 25MB(x2，y2)A(x1，y1)xyOF图 26MA1B1Oyx11lF图 27第 17 页定长为定长为 l 的弦的弦 AB 的两个端点在抛物线的两个端点在抛物线 y22px 上，上，M 是是 AB 的中点，的中点，M 到到 y 轴的距离为轴的距离为 d，那么，那么，M 的轨迹方程为：的轨迹方程为：4(y2p2)(2pxy2)p2l2，且，且当当 0l2p 时，时，d 的最小值为的最小值为，此时，此时，ABy 轴；轴；l l2 28 8p p当当 l2p 时，时，d 的最小值为的最小值为，此时，弦，此时，弦 AB 过焦点过焦点 F.l lp p2 2【解】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦 AB 的中点 M 的坐标为(x0，y0)，AB 的直线方程为 xmyb，代入抛物线方程 y22px得 y22pmy2pb0.y1y22pm，y1y22pb.又 AB 的中点为 M(x0，y0)，且点 M 在直线 AB 上，y0pm，x0my0b，m，bx0my0 x0.y1y22y0py2 0p|AB|2l2(x1x2)2(y1y2)2(my1bmy2b)2(y1y2)2(1m2)(y1y2)2(1m2)(y1y2)24y1y2(1)48pb(1)48p(x0)y2 0p2y2 0y2 0p2y2 0y2 0p整理得，4(p2)(2px0)p2l2.故中点 M 的轨迹方程为：4(y2p2)(2pxy2)p2l2.y2 0y2 0由上可知 dx，令 ty2p2p2，即 y2tp2，则pl28(y2p2)y22pdx（tp2）.令，得 t.pl28ttp22ppl28tt2pp2pl28tt2ppl2当 0l2p 时，p2，d 在 t p2，)上是增函数，pl2当 tp2，即 y0 时，dmin，此时，m0，即 ABy 轴.pl28p2p22pp2l28p当 l2p 时，p2，d 2.pl2pl28tt2pp2pttpl282p2lp2当且仅当，即 tp2时取等号，故 d 的最小值为.pl28tt2ppl2lp2【证法二】当 l2p 时，过 A、B、M 作准线 x 的垂线，垂p2足为 A、B、M，则|MM|d (|AA|BB|)(|AF|BF|)|AB|l.p212121212上式当且仅当|AF|BF|AB|，即弦 AB 过抛物线的焦点 M 时取等号，则 d 的最小值为 l.12p2lp2【说明】经过焦点 F 的最短弦是通经 2p，因此当弦 AB 的长 l2p 时，BAxyOF图 29MAMBB(x2，y2)A(x1，y1)xyOF图 28M(x0，y0)第 18 页不能用证法二证明 d 的最小值为.l28p【例 12】长度为 a 的线段 AB 的两个端点在抛物线x22py（a2p0）上运动，以 AB 的中点 C 为圆心作圆与抛物线的准线相切，求圆 C 的最小半径.【解】依题意，问题转化为定长的弦的两个端点在抛物线上，弦的中点 C 到 y 轴的距离的最值问题，由上面的性质可知当弦 AB 经过焦点 F 时，点 C 到准线的距离为最小值.如图 30.圆 C 的最小半径为 r.a2过抛物线过抛物线 y22px（p0）的对称轴上的定点）的对称轴上的定点 M(m，0)（m0），作直线，作直线 AB 与抛物线相交于与抛物线相交于A，B 两点点两点点 N 是定直线是定直线 l：xm 上的任一点，则直线上的任一点，则直线 AN，MN，BN 的斜率成等差数列的斜率成等差数列.【证明】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(m，n)，由性质有 y1y22pm，则直线 AN、BN 的斜率为 kAN，kBNy1nx1my2nx2mkANkBNy1ny2 12pmy2ny2 22pm2p(y1n)y2 12pm2p(y2n)y2 22pm 2p(y1n)y2 1y1y22p(y1n)y2 2y1y22py2(y1n)y1(y2n)y1y2(y1y2)2pn(y1y2)y1y2(y1y2)2pny1y22pn2pmnm又直线 MN 的斜率为 kMN.n0mmn2mkANkBN2kMN直线 AN，MN，BN 的斜率成等差数列.抛物线的一组平行弦的中点共线，且所在直线平行于对称轴或与对称轴重合抛物线的一组平行弦的中点共线，且所在直线平行于对称轴或与对称轴重合.【证明】设斜率为 k（k 为常数）的一组平行线与抛物线 y22px（p0）交于点Ai、Bi（i1，2，），弦 AiBi的中点为 Mi，（即M1，M2，Mn），且 AiBi的直线方程为 ykxbi（bi为直线AiBi在 y 轴上的截距），Ai(x1，y1)，Bi(x2，y2)，Mi(xi，yi).BAxyO图 30CFABNM(m，0)(m，n)xmOxy图 31AiBiMixyO图 33第 19 页联立方程组，消去 x 得y2ybi0y22pxykxbi)k2py1y2，又 Mi是 AiBi的中点2pkyi，则 M1，M2，Mn在平行于 x 轴的直线 y 上.y1y22pkpk当直线 AiBi与 x 轴垂直（即直线 AiBi的斜率不存在时），易知 M1，M2，Mn在 x 轴上.【例 13】（2009 年陕西卷理 20 文 21）已知抛物线 C：y2x2，直线 ykx2 交 C 于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点N证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行；【证明】如图 34，设 A(x1，2)，B(x1，2)，x2 1x2 2把 ykx2 代入 y2x2得 2x2kx20，由韦达定理得 x1x2，x1x21，k2xNxM，即 N 点的坐标为(，)x1x22k4k4k28设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 ym(x)，k28k4将 y2x2代入上式得 2x2mx0，mk4k28直线 l 与抛物线 C 相切，m28()0，mk4k28解得 mk，即 lAB.【说明】其实，也就是与 AB 平行的弦，它们的中点在过 AB 中点且与对称轴（x 轴）平行的直线上，它与 C 的交点 N，此时的切点就是这些弦的缩点，故过 N 点的抛物线 C 的切线与 AB 平行.过定点过定点 P(x0，y0)作任一直线作任一直线 l 与抛物线与抛物线 y22px（p0）相交于）相交于 A、B 两点，过两点，过 A、B 两点作抛两点作抛物线的切线物线的切线 l1、l2，设，设 l1，l2相交于点相交于点 Q，则点，则点 Q 在定直线在定直线 pxy0ypx00 上上.【证明】设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，因为过点 P 与 x 轴平行的直线与抛物线只有一个交点，所以直线 AB与 x 轴不平行，故可设 AB 的方程为xx0m(yy0).联立方程组，消去 x 得y22pxxx0m(yy0)y2mymy0 x0012py1y22p(my0 x0)又过 A、B 两点的抛物线的切线方程为PABQOxy图 35xAy112MNBO图 34第 20 页 y1yp(xx1)和 y2yp(xx2)，联立方程组解得y1yp(xx1)y2yp(xx2)xQmy0 x0 x1y2x2y1y1y2y2 12py2y2 22py1y1y2y1y22pyQppm x1x2y1y2由得 m 代入得 xQ y0 x0，点 Q 在直线 pxy0ypx00 上.yQpyQp【例 14】（2007 年重庆文科高考题）如图 36，对每个正整数 n，An(xn，yn)是抛物线 x24y 上的点，过焦点 F 的直线 FAn交抛物线于另一点 Bn(sn，tn).试证：xnsn4（n1）；取 xn2n，并记 Cn为抛物线上分别以 An与 Bn为切点的两条切线的交点.试证：|FC1|FC2|FCn|2n2n11.【说明】本题第小题就是抛物线的焦点弦的性质 y1y2=p2.第小题两条切线的交点 Cn就是上面抛物线的性质，即点 Cn必在直线 y1 上.【例 15】（2008 年山东理科高考）如图，设抛物线方程为 x22py（p0），M 为 直线 y2p 上任意一点，过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B.求证：A，M，B 三点的横坐标成等差数列；略.【证明】由题意设 A(x1，)，B(x2，)，x1x2，M(x0，2p)x2 12px2 22p由 x22py 得 y，yx22pxp所以，kMA，kMB，x1px2p因此直线 MA 的方程为 y2p(xx0)，直线 MB 的方程为 y2p(xx0)，x1px2p所以，2p(x1x0)，x2 12px1p2p(x2x0)，x2 22px2p得，(x1x2)(x1x2)2p(x1x2)(x1x2)px0(x1x2)pAnA2A1BnB1B2FOCnxy图 36yxBAOM2p图 37第 21 页x1x2x0，即 2x0 x1x2x1x22所以 A，M，B 三点的横坐标成等差数列.过抛物线过抛物线 y22px（p0）的焦点）的焦点 F 的直线的直线 l 与抛物线交于与抛物线交于 A、B 两点，线段两点，线段 AB 的垂直平分线的垂直平分线交交 x 轴于点轴于点 M，则，则2.|A AB B|F FM M|【证明】设过焦点 F(，0)的直线 AB 的方程为 xmyp2p2（m0），且 A(x1，y1)、B(x2，y2)，把 xmy 代入 y22px，得 y22pmyp2，p2即 y22pmyp20y1y22pm，y1y