高中排列组合知识点汇总及典型例题(全).pdf

一基本原理1加法原理：做一件事有 n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。2乘法原理：做一件事分 n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二排列：从 n 个不同元素中，任取 m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一.mnmnA有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.!121mnnmnnnnAmn 2.规定：0!1(1)!(1)!,(1)!(1)!nnnnnn (2)!(1)1!(1)!(1)!n nnnnnnnn；(3)1 11111(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!nnnnnnnnn 三组合：从 n 个不同元素中任取 m（mn）个元素并组成一组，叫做从 n 个不同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn。1.公式：CAAn nnmmnm nmnmnmmm11!10nC规定：组合数性质：.2 nnnnnmnmnmnmnnmnCCCCCCCC21011，；11112111212211rrrrrrrrrrrrrrrrrrnnrrrnnrrnnnCCCCCCCCCCCCCCC注：若12mm1212m=mm+mnnnCC则或四处理排列组合应用题 1.明确要完成的是一件什么事（审题）有序还是无序 分步还是分类。2解排列、组合题的基本策略（1）两种思路：直接法；间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。（4）两种途径：元素分析法；位置分析法。3排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；(2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；（3）相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。（4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。（5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有 1 种排法；若不要求，则有 2 种排法；（6）“小团体”排列问题采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。（8）数字问题（组成无重复数字的整数）能被 2 整除的数的特征：末位数是偶数；不能被 2 整除的数的特征：末位数是奇数。能被 3 整除的数的特征：各位数字之和是 3 的倍数；能被 9 整除的数的特征：各位数字之和是 9 的倍数能被 4 整除的数的特征：末两位是 4 的倍数。能被 5 整除的数的特征：末位数是 0 或5。能被 25 整除的数的特征：末两位数是 25，50，75。能被 6 整除的数的特征：各位数字之和是 3 的倍数的偶数。4组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:（2）“含”与“不含”用间接排除法或分类法:3分组问题：均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。4分配问题：定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。5隔板法：不可分辨的球即相同元素分组问题例 1.电视台连续播放 6 个广告，其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有 A22种；中间 4 个为不同的商业广告有 A44种，从而应当填 A22A4448.从而应填 48例 3.6 人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？解一：间接法：即655465547202 12024504AAAA 解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.(1)甲排在最右端时,有55A种排法；(2)甲不排在最右端（甲不排在最左端）时，则甲有14A种排法，乙有14A种排法，其他人有44A种排法，共有14A14A44A种排法，分类相加得共有55A+14A14A44A=504 种排法例.有 4 个男生，3 个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？分析一：先在 7 个位置上任取 4 个位置排男生，有 A47种排法.剩余的 3 个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有 1 种排法，故共有A471=840 种.1.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有33394570CCC种,选.C解析 2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型 1 台乙型 2 台；甲型 2 台乙型 1 台；故不同的取法有2112545470C CC C台,选C.2从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛奎屯王新敞新疆（1）如果 4 人中男生和女生各选 2 人，有 种选法；（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有 种选法；（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内，有 种选法；（4）如果 4 人中必须既有男生又有女生，有 种选法奎屯王新敞新疆分析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问题.解：（1）先从男生中选 2 人，有25C种选法，再从女生中选 2 人，有24C种选法，所以共有2254C C=60（种）；（2）除去甲、乙之外，其余 2 人可以从剩下的 7 人中任意选择，所以共有2227C C=21（种）；（3）在 9 人选 4 人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，得到符合条件的选法数：4497CC=91（种）；直接法，则可分为 3 类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数131322332171727777C CC CC CCCC=91（种）.（4）在 9 人选 4 人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数444954CCC=120（种）.直接法：分别按照含男生 1、2、3 人分类，得到符合条件的选法为132231545454C CC CC C=120（种）.16 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐 4 人，则不同的乘车方法数为()A40 B50 C60 D70 解析先分组再排列，一组 2 人一组 4 人有 C 15 种不同的分法；两组各 3 人共有10 种不同的分法，所以乘车方法数为 25250，故2 6C3 6A2 2选 B.2有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A36 种 B48 种 C72 种 D96 种 解析恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共 A A 72 种排法，故选 C.3 3 2 43只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A6 个 B9 个 C18 个 D36 个 解析注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有 C 3(种)选法，即1 31231,1232,1233，而每种选择有 A C 6(种)排法，所以共有 3618(种)情况，即这样的四位数有 18 个2 22 34男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有()A2 人或 3 人 B3 人或 4 人 C3 人 D4 人 解析设男生有n人，则女生有(8n)人，由题意可得 C C30，解得n5 或n6，代入验证，可知女生为 2 人或 3 人2n18n5某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用 8 步走完，则方法有()A45 种 B36 种 C28 种 D25 种 解析因为 108 的余数为 2，故可以肯定一步一个台阶的有 6 步，一步两个台阶的有 2 步，那么共有 C 28 种走法2 86某公司招聘来 8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A24 种 B36 种 C38 种 D108 种 解析本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有 2 种方法，第二步将 3 名电脑编程人员分成两组，一组 1 人另一组 2 人，共有 C 种分法，然后再分到两部门去共有 C A 种方法，第三步只需将其他 3 人分成两组，一组 1 人另一组 2 人即可，由于1 31 3 2 2是每个部门各 4 人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有 C 种方法，由分步乘法计数原理共有 2C A C 36(种)1 31 3 2 2 1 37已知集合A5，B1,2，C1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A33 B34 C35 D36 解析所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含 1 的有 C A 12 个；1 23 3所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 1 个 1 的有 C A A 18 个；1 23 33 3所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 2 个 1 的有 C 3 个1 3故共有符合条件的点的个数为 1218333 个，故选 A.8由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是()A72 B96 C108 D144 解析分两类：若 1 与 3 相邻，有 A C A A 72(个)，若 1 与 3 不相邻有 A A 36(个)2 21 3 2 2 2 33 33 3故共有 7236108 个9如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A50 种 B60 种 C120 种 D210 种 解析先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有 6 种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为 C，然1 6后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有 A 种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法 C A 120 种，2 51 62 5故选 C.10安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有_种(用数字作答)解析先安排甲、乙两人在后 5 天值班，有 A 20(种)排法，其余 5 人再进行排列，有 A 120(种)排法，所以共有 201202400(种)安2 55 5排方法11今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有_种不同的排法(用数字作答)解析由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有 C C C 1260(种)排法4 92 53 312将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_种(用数字作答)解析先将 6 名志愿者分为 4 组，共有种分法，再将 4 组人员分到 4 个不同场馆去，共有 A 种分法，故所有分C2 6C2 4A2 24 4配方案有：A 1 080 种C2 6C2 4A2 24 413要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有_种不同的种法(用数字作答)解析5 有 4 种种法，1 有 3 种种法，4 有 2 种种法若 1、3 同色，2 有 2 种种法，若 1、3 不同色，2 有 1 种种法，有 432(1211)72 种14.14.将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12 种 （B）18 种 （C）36 种 （D）54 种【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选 B.15.15.某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有A.504 种 B.960 种 C.1008 种 D.1108 种 解析：分两类：甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有种方法4414222AAA甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号，共有种方法)(43313134422AAAAA故共有 1008 种不同的排法排列组合排列组合 二项式定理二项式定理1 1，分类计数原理，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法2，排列排列 排列定义：从 n 个不同元素中，任取 m（mn）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。排列数定义；从 n 个不同元素中，任取 m（mn）个元素的所有排列的个数mnA公式=规定 0！=1mnA!()!nnm3 3，组合，组合 组合定义组合定义 从 n 个不同元素中，任取 m（mn）个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组组合合数数 从 n 个不同元素中，任取 m（mn）个元素的所有组合个数 mnC=mnC!()!nm nm性质=mnCn mnC11mmmnnnCCC 排排列列组组合合题题型型总总结结一直接法1.特殊元素法例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字 1 不排在个位和千位（2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择，其余 2 位有四个可供选择，由乘法原理：=24025A24A25A24A2特殊位置法（2）当 1 在千位时余下三位有=60，1 不在千位时，千位有种选法，个位有种，余下的有，共有=192 所以35A14A14A24A14A14A24A总共有 192+60=252二 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法=2522435462AAAEg 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中 0 在百位的有个，这是333352AC2242C22A不合题意的。故共可组成不同的三位数-=432333352AC2242C22AEg 三个女生和五个男生排成一排（1）女生必须全排在一起 有多少种排法（捆绑法）（2）女生必须全分开（插空法 须排的元素必须相邻）（3）两端不能排女生（4）两端不能全排女生（5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法二插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的 8 个节目中含有 9 个空档，插入一个节目后，空档变为 10 个，故有=100 中插入方法。11019AA 三捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（）3324AC,2，某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观 2 天，其余只参观一天，则植物园 30 天内不同的安排方法有（）（注意连续参观 2 天，即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选1928129AC有其余的就是 19 所学校选 28 天进行排列）129C四阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例 5 某校准备组建一个由12 人组成篮球队，这12 个人由 8 个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种。分析：此例的实质是 12 个名额分配给 8 个班，每班至少一个名额，可在 12 个名额种的 11 个空当中插入 7 块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种711C五 平均分推问题 eg 6 本不同的书按一下方式处理，各有几种分发？3,5 2,4（1）平均分成三堆，（2）平均分给甲乙丙三人（3）一堆一本，一堆两本，一对三本（4）甲得一本，乙得两本，丙得三本（一种分组对应一种方案）（5）一人的一本，一人的两本，一人的三本 分析：1，分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有=6 种，而这 6 种分法只算一种33A分堆方式，故 6 本不同的书平均分成三堆方式有=15 种 33222426ACCC2，六本不同的书，平均分成三堆有 x 种，平均分给甲乙丙三人就有 x种 33A222642C C C 3，5，123653C C C33A123653C C C 五合并单元格解决染色问题Eg 如图 1，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。分析：颜色相同的区域可能是 2、3、4、5 下面分情况讨论:()当 2、4 颜色相同且 3、5 颜色不同时，将 2、4 合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于 4 个元素 的全排列数A44（）当 2、4 颜色不同且 3、5 颜色相同时，与情形()类似同理可得 种着色法A44（）当 2、4 与 3、5 分别同色时，将 2、4；3、5 分别合并，这样仅有三个单元格 从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格，计有种方法AC3334 由加法原理知：不同着色方法共有 2=48+24=72（种）ACA333444练习 1（天津卷（文）将 3 种作物种植 在如图的 5 块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共 种（以数字作答）（72）2某城市中心广场建造一个花圃，花圃 6 分为个部分（如图 3），现要栽种 4 种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）（120）123452,4546132EDCBA图 3 图 43如图 4，用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数（540）4如图 5：四个区域坐定 4 个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）图 5 图 65将一四棱锥(图 6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种（420）4321DBCEA