四年级下奥数第九讲-加法原理(教师用).doc

日期： 5.4 第九讲: 加法原理（一） 知识要点加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有种不同做法，第二类方法中有种不同做法，第k类方法中有种不同做法，则完成这件事共有种不同方法，这就是加法原理加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决我们可以简记为：“加法分类，类类独立”分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则： 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数通俗地说，就是“整体等于局部之和”加法原理解题三部曲1、完成一件事分N类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏 例题精讲1、分类讨论中加法原理的应用【例 1】 （难度等级 ）小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？【解析】 小宝买一种礼物有三类方法：第一类，买玩具，有8种方法；第二类，买课外书，有20种方法；第三种，买纪念品，有10种方法根据加法原理，小宝买一种礼物有8+20+10=38种方法【巩固】 （难度等级 ）有不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本，从中任取一本，共有多少种取法？【解析】 根据加法原理，共有6+4+3+2=15种取法【巩固】 （难度等级 ）阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？【解析】 解决这个问题有3类办法：从一班、二班、三班男生中任选1人，从一班18名男生中任选1人有18种选法：同理，从二班20名男生中任选1人有20种选法；从三班16名男生中任意选1人有16种选法；根据加法原理，从四年级3个班中任选一名男生当升旗手的方法有：种【例 2】 （难度等级）从110中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？【解析】 根据第一个数的大小，将和大于10的取法分为9类：第一个数第二个数有几种第1类110选择合适的分类方式是运用加法原理的关键好的分类方式往往达到事半功倍的效果注意：本题中“”与“”只能算一种取法1第2类210、92第3类310、9、83第4类410、9、8、74第5类510、9、8、7、65第6类610、9、8、74第7类710、9、83第8类810、92第9类9101 因此，根据加法原理，共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种取法使和大于10【巩固】 （难度等级）从18中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？【解析】 两个数和为11的一共有3种取法；两个数和为12的一共有2种取法； 两个数和为13的一共有2种取法；两个数和为14的一共有1种取法； 两个数和为15的一共有1种取法； 一共有3+2+2+1+1=9种取法【例 3】 （难度等级 ）甲、乙、丙三个工厂共订300份报纸，每个工厂至少订了99份，至多101份，问：一共有多少种不同的订法？【解析】 甲厂可以订99、100、101份报纸三种方法如果甲厂订99份，乙厂有订100份和101份两种方法，丙厂随之而定如果甲厂订100份，乙厂有订99份、100份和101份三种方法，丙厂随之而定如果甲厂订101份，乙厂有订99份和100份两种方法，丙厂随之而定根据加法原理，一共有种订报方法【巩固】 （难度等级 ）大林和小林共有小人书不超过9本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？【解析】 大林和小林共有9本的话，有10种可能；共有8本的话，有9种可能，共有0本的话，有1种可能，所以根据加法原理，一共有10+9+3+2+1=55种可能【例 4】 （难度等级 ）四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张问：一共有多少种不同的方法？【解析】 设四个学生分别是A，B，C，D，他们做的贺年片分别是a，b，c，d先考虑A拿B做的贺年片b的情况（如下表），一共有3种方法同样，A拿C或D做的贺年片也有3种方法一共有333=9（种）不同的方法【例 5】 (第六届走美试题)一次，齐王与大将田忌赛马每人有四匹马，分为四等田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等田忌有_种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛【解析】 第一场不管怎么样田忌都必输，田忌只可能在接下来的三场里赢得比赛， 若三场全胜，则只有一种出场方法； 若胜两场，则又分为三种情况：二，三两场胜，此时只能是田忌的一等马赢得齐王的二等马，田忌的二等马赢齐王的三等马，只有这一种情况；二，四两场胜，此时有三种情况；三，四两场胜，此时有七种情况；所以一共有种方法【例 6】 （难度等级 ）把一元钱换成角币，有多少种换法？人民币角币的面值有五角、二角、一角三种【解析】 把一元钱换成角币，有三类分法：第一类：有五角币2张，只有1种换法：第二类：有五角币1张，则此时二角币可以有0，1，2张，相应的，一角币有5，3，1张，有3种换法；第三类：有五角币0张，则此时二角币可以有0，1，2，3，4，5张，相应的，一角币有10，8，6，4，2，0张，有6种换法所以，根据加法原理，总共的换法有种【巩固】 （难度等级 ）一把硬币全是2分和5分的，这把硬币一共有1元，问这里可能有多少种不同的情况？【解析】 按5分硬币的个数对硬币情况进行分类：如果5分硬币有奇数个，那么无论2分硬币有多少个都不能凑成100分如表当5分硬币的个数为020的偶数时，都有对应个数的2分硬币所以一共有11种不同的情况类别12345678910115分024681012141618202分50454035302520151050【例 7】 （难度等级 ）用100元钱购买2元、4元或8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法?【解析】 如果买0张8元饭票，还剩100元，可以购买4元饭票的张数为025张，其余的钱全部购买2元饭票，共有26种买法；如果买l张8元饭票，还剩92元，可购4元饭票023张，其余的钱全部购买2元饭票，共有24种不同方法；如果买2张8元饭票，还剩84元，可购4元饭票021张，其余的钱全部购买2元饭票，共有22种不同方法；如果买12张8元饭票，还剩4元饭票，可购4元饭票01张，其余的钱全部购买2元饭票，共有2种方法总结规律，发现各类情况的方法数组成了一个公差为2，项数是13的等差数列利用分类计数原理及等差数列求和公式求出所有方法：26+24+22+2=(26+2)132=182(种) 共有182种不同的买法【巩固】 （难度等级 ）一个文具店橡皮每块5角、圆珠笔每支1元、钢笔每支2元5角小明要在该店花5元5角购买两种文具，他有多少种不同的选择【解析】 一共三种文具，要买两种文具那么就可以分三类了第一类：橡皮和圆珠笔 5元5角=55角=11块橡皮（要买两种，所以这个不考虑）=9块橡皮+1只圆珠笔 =7块橡皮+2只圆珠笔 =5块橡皮+3只圆珠笔 =3块橡皮+4只圆珠笔 =1块橡皮+5只圆珠笔 第一类共5种第二类：橡皮和钢笔 55角=11块橡皮（不做考虑）=6块橡皮+1只钢笔 =1块橡皮+2只钢笔 第二类共2种第三类：圆珠笔和钢笔55角=11块橡皮（不做考虑） =1只钢笔+3只圆珠笔第三类共1种【例 8】 （难度等级 ）袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有_种可能（2008年北京“数学解题能力展示”读者评选活动）【解析】 按最少的红球来分类：3红时，黄白3，黄可取0，1，2，3共4种2红时，黄白4，黄可取0，1，2，3，4共5种1红时，黄白5，黄可取0，1，2，3，4共5种0红时，黄白6，黄可取0，1，2，3共4种共有：4+5+5+4=18（种）【例 9】 （难度等级 ）1、2、3、4四个数字，从小到大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号(最少插一个乘号)，可以得到多少个不同的乘积?【解析】 按插入乘号的个数进行分类：若插入一个乘号，4个数字之间有3个空当，选3个空当中的任一空当放乘号，所以有3种不同的插法，可以得到3个不同的乘积，枚举如下：， 若插入两个乘号，由于必有一个空当不放乘号，所以从3个空档中选2个空当插入乘号有3种不同的插法，可以得到3个不同的乘积，枚举如下：， 若插入三个乘号，则只有1个插法，可以得到l个不同的乘积，枚举如下： 所以，根据加法原理共有种不同的乘积【例 10】 （难度等级 ）1995的数字和是1995=24，问：小于2000的四位数中数字和等于26的数共有多少个? 【解析】 小于2000的四位数千位数字是1，要它数字和为26，只需其余三位数字和是25因为十位、个位数字和最多为99=18，因此，百位数字至少是7于是百位为7时，只有1799，一个；百位为8时，只有1889，1898，二个；百位为9时，只有1979，1997，1988，三个；总计共123=6个【巩固】 （难度等级 ）1995的数字和是1995=24，问：小于2000的四位数中数字和等于24的数共有多少个?【解析】 小于2000的四位数千位数字是1，要它数字和为24，只需其余三位数字和是23因为十位、个位数字和最多为，因此，百位数字至少是5于是百位为5时，只有1599一个； 百位为6时，只有1689，1698两个； 百位为7时，只有1779，1788，1797三个； 百位为8时，只有1869，1878，1887，1896四个；百位为9时，只有1959，1968，1977，1986，1995五个；根据加法原理，总计共个【巩固】 （难度等级 ）2007的数字和是2+0+0+7=9，问：大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个?【解析】 大于2000小于3000的四位数千位数字是2，要它数字和为9，只需其余三位数字和是7因此，百位数字至多是7于是根据百位数进行分类：第一类，百位为7时，只有2700一个； 第二类，百位为6时，只有2610，2601两个； 第三类，百位为5时，只有2520，2511，2502三个； 第四类，百位为4时，只有2430，2421，2412，2403四个；第五类，百位为3时，只有2340，2331，2322，2313，2304五个；第六类，百位为2时，只有2250，2241，2232，2223，2214、2205六个；第七类，百位为1时，只有2160，2151，2142，2133，2124、2115、2106七个；第八类，百位为0时，只有2070，2061，2052，2043，2034、2025、2016、2007八个； 根据加法原理，总计共个【巩固】 （难度等级 ）在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？【解析】 以个位数的值为分类标准，可以分成以下几类情况来考虑： 第1类个位数字是0，满足条件的数共有10个其中： 十位数字为0，有4000、3100、2200、1300，共4个； 十位数字为1，有3010、2110、1210，共3个； 十位数字为2，有2020、1120，共2个； 十位数字为3，有1030，共1个 第2类个位数字是1，满足条件的数共有6个其中： 十位数字为0，有3001、2101、1201，共3个； 十位数字为1，有2011、1111，共2个；十位数字为2，有1021，满足条件的数共有1个第3类个位数字是2，满足条件的数共有3个其中：十位数字为0，有2002、1102，共2个；十位数字为1，有1012，共1个第4类个位数字是3，满足条件的数共有1个其中：十位数字是0，有l003，共1个根据上面分析，由加法原理可求出满足条件的数共有个【例 11】 有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如，等等，这类数共有 个.【解析】 按自然数的最高位数分类： 最高位为的有，共个最高位为的有，共个最高位为的有，358，共个最高位为的有共个所以这类数共有个【例 12】 如果一个大于9的整数，其每个数位上的数字都比他右边数位上的数字小，那么我们称它为迎春数那么，小于2008的迎春数一共有多少个？【解析】 (法1)两位数中迎春数的个数十位数字为1的：12，13，198个十位数字为2的：23，24，297个十位数字为3的：34，35，396个十位数字为4的：45，46，495个十位数字为5的：56，57，594个十位数字为6的：67，68，693个十位数字为7的：78，792个十位数字为8的：891个两位数共个三位数中迎春数的个数百位数字是1的：123129，134139189共28个百位数字是2的：234239，289共21个百位数字是3的：345349，389共15个百位数字是4的：456458，489共10个百位数字是5的：567569，589共6个百位数字是6的：678，679，689共3个百位数字是7的：7891个10001999中迎春数的个数前两位是12的：12341239，1289共21个前两位是13的：13451349，1389共15个前两位是14的：14561459，1489共10个前两位是15的：15671569，1589共6个前两位是16的：1678，1679，16893个前两位是17的：17891个共56个所以小于2008的迎春数共个(法2)小于2008的迎春数只可能是两位数，三位数和1000多的数两位数的取法有个三位数的取法有个1000多的迎春数的取法有个所以共个【例 13】 有些五位数的各位数字均取自1，2，3，4，5，并且任意相邻两位数字(大减小)的差都是1问这样的五位数共有多少个？【解析】 首位取1时，千位只能是2，百位可以是1和3 百位是1，十位只能是2，个位可以是1和32种 百位是3，十位可以是2和4；十位是2，个位可以是1和3，十位是4，个位可以是3和54种 所以，首位取1时，共有种 首位取2时，千位可以是1和3 千位是1，百位只能是2，十位可以是1和3有3种 千位是3，百位可以是2和4百位是2，十位可是是1和3，有3种百位是4，十位可以是3和5，有3种千位是3时有种 所以首位取2时，共有种 首位取3时，千位可以取2和4 千位是2，百位可以取1和3百位是1，十位只能是2，个位可以是1和3；2种百位是3时，十位可以是2和4十位是2个位可以是1和3；十位是4，个位可以是3和5；4种 千位是4，百位可以取3和5 百位是5，十位只能是4，个位可以是3和5；2种百位是3，十位可能是2和4十位是2个位可以是1和3；十位是4个位可以是3和5；4种 所以，首位取3时，共有种 首位取4时，千位可以取3和5 千位是5，百位只能是4，十位可以是3和5十位是3个位可以是2和4；十位是5个位只能是4有3种 千位是3，百位可以是2和4百位是2，十位可以是1和3十位是1个位只能是2；十位是3个位可以是2和4有3种百位是4，十位可以是3和5十位是5个位只能是4；十位是3，个位可以是2和4有3种千位是3共有种 所以，首位取4时，共有种 首位取5时，千位只能是4，百位可以是3和5百位是5，十位只能是4，有2种；百位是3，十位可以是2和4，有4种所以，首位取5时共有种 总共有：个 也可以根据首位数字分别是1、2、3、4、5，画5个树状图，然后相加总共有：个 2、树形图法、标数法及简单的递推一、树形图法“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然【例 14】 （难度等级 ）A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？(2005年小数报数学邀请赛)【解析】 如图，第一次传给，到第五次传回有5种不同方式 同理，第一次传给，也有5种不同方式 所以，根据加法原理，不同的传球方式共有种【巩固】 （难度等级 ）一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？【解析】 6种，如图，第1步跳到，4步回到有3种方法；同样第1步到的也有3种方法根据加法原理，共有种方法【例 15】 （难度等级 ）甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止问：一共有多少种可能的情况？【解析】 如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：图中打的为胜者，一共有7种可能的情况同理，乙胜第一局也有 7种可能的情况一共有 77=14（种）可能的情况 勤学苦练1、阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？（2级）2、从29中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？（4级）3、大林和小林共有小人书不超过10本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？（4级）4、从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？5、一个文具店橡皮每块5角、圆珠笔每支1元、钢笔每支2元5角小明要在该店花5元购买两种文具，他有多少种不同的选择（6级）6、2007的数字和是2+0+0+7=9，问：大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个?（6级）7、袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出5个球，他拿出球的情况共有_种可能8、用100元钱购买4元、5元或8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法?（6级）9、一只青蛙在A，B，C，D四点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？（6级）