初中几何辅助线大全.pdf

1三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：例如：如图例如：如图 7-17-1：已知：已知 ACACBDBD，ADACADAC 于于 A A ，BCBDBCBD 于于 B B，求证：求证：ADADBCBC分析：欲证 ADBC，先证分别含有 AD，BC 的三角形全等，有几种方案：ADC 与BCD，AOD 与BOC，ABD 与BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明证明：分别延长 DA，CB，它们的延长交于 E 点，ADAC BCBD （已知）CAEDBE 90（垂直的定义）在DBE 与CAE 中 )()()(已知已证公共角ACBDCAEDBEEE DBECAE （AAS）EDEC EBEA（全等三角形对应边相等）EDEAECEB 即：ADBC。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）二、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图例如：如图 9-19-1：在：在 RtABCRtABC 中，中，ABABACAC，BACBAC9090，1122，CEBDCEBD 的延长于的延长于 E E 。求证：。求证：BDBD2CE2CE 分析：要证 BD2CE，想到要构造线段 2CE，同时 CE与ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。证明：分别延长 BA，CE 交于点 F。BECF （已知）BEFBEC90（垂直的定义）在BEF 与BEC 中，19图DCBAEF12ABCDE17 图O2 )()()(21已证公共边已知BECBEFBEBEBEFBEC（ASA）CE=FE=CF （全等三角形对应边相等）21 BAC=90 BECF（已知）BACCAF90 1BDA901BFC90 BDABFC在ABD 与ACF 中 )()()(已知已证已证ACABBFCBDACAFBAC ABDACF（AAS）BDCF（全等三角形对应边相等）BD2CE四、取线段中点构造全等三有形。例如：如图例如：如图 11-111-1：ABABDCDC，AADD 求证：求证：ABCABCDCBDCB。分析：由 ABDC，AD，想到如取 AD 的中点 N，连接 NB，NC，再由 SAS 公理有ABNDCN，故 BNCN，ABNDCN。下面只需证NBCNCB，再取 BC 的中点M，连接 MN，则由 SSS 公理有NBMNCM，所以NBCNCB。问题得证。证明：取 AD，BC 的中点 N、M，连接 NB，NM，NC。则 AN=DN，BM=CM，在ABN 和DCN中 )()()(已知已知辅助线的作法DCABDADNANABNDCN （SAS）ABNDCN NBNC（全等三角形对应边、角相等）在NBM 与NCM 中 )()()(公共边辅助线的作法已证NMNMCMBMNCNBNMBNCM，(SSS)NBCNCB（全等三角形对应角相等）NBCABN NCBDCN 即ABCDCB。111图DCBAMN3巧求三角形中线段的比值例例 1.1.如图如图 1 1，在，在ABCABC 中，中，BDBD：DCDC1 1：3 3，AEAE：EDED2 2：3 3，求，求AFAF：FCFC。解：过点 D 作 DG/AC，交 BF 于点 G 所以 DG：FCBD：BC因为 BD：DC1：3 所以 BD：BC1：4 即 DG：FC1：4，FC4DG因为 DG：AFDE：AE 又因为 AE：ED2：3 所以 DG：AF3：2即 所以AF：FC：4DG1：6例例 2.2.如图如图 2 2，BCBCCDCD，AFAFFCFC，求，求 EFEF：FDFD解：过点 C 作 CG/DE 交 AB 于点 G，则有 EF：GCAF：AC因为 AFFC 所以 AF：AC1：2 即 EF：GC1：2，因为 CG：DEBC：BD 又因为 BCCD所以 BC：BD1：2 CG：DE1：2 即DE2GC因为 FDEDEF 所以 EF：FD小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！例例 3.3.如图如图 3 3，BDBD：DCDC1 1：3 3，AEAE：EBEB2 2：3 3，求，求 AFAF：FDFD。解：过点 B 作 BG/AD，交 CE 延长线于点 G。4所以 DF：BGCD：CB因为 BD：DC1：3 所以 CD：CB3：4 即 DF：BG3：4，因为 AF：BGAE：EB 又因为 AE：EB2：3所以 AF：BG2：3 即所以 AF：DF例例 4.4.如图如图 4 4，BDBD：DCDC1 1：3 3，AFAFFDFD，求，求 EFEF：FCFC。解：过点 D 作 DG/CE，交 AB 于点 G所以 EF：DGAF：AD因为 AFFD 所以 AF：AD1：2 图 4即 EF：DG1：2 因为 DG：CEBD：BC，又因为 BD：CD1：3，所以 BD：BC1：4即 DG：CE1：4，CE4DG因为 FCCEEF所以 EF：FC1：7练习：1.1.如图如图 5 5，BDBDDCDC，AEAE：EDED1 1：5 5，求，求 AFAF：FBFB。2.2.如图如图 6 6，ADAD：DBDB1 1：3 3，AEAE：ECEC3 3：1 1，求，求 BFBF：FCFC。答案：1、1：10；2.9：15二二 由角平分线想到的辅助线由角平分线想到的辅助线图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线与角有关的辅助线（一）（一）、截取构全等、截取构全等例例 1 1 如图 1-2，AB/CD，BE 平分BCD，CE 平分BCD，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD。分析分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。例例 2 2 已知：如图 1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求证 DCAC分析分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。图 1-2ADBCEF图 1-3ABCDE6例例 3 3 已知：如图 1-4，在ABC 中，C=2B,AD 平分BAC，求证：AB-AC=CD分析分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？（二）（二）、角分线上点向角两边作垂线、角分线上点向角两边作垂线构全等构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例例 1 1 如图 2-1，已知 ABAD,BAC=FAC,CD=BC。求证：ADC+B=180 分析分析：可由 C 向BAD 的两边作垂线。近而证ADC与B 之和为平角。例例 2 2 如图 2-2，在ABC 中，A=90，AB=AC，ABD=CBD。求证：BC=AB+AD分析分析：过 D 作 DEBC 于 E，则 AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例例 3 3 已知如图 2-3，ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P。求证：BAC的平分线也经过点 P。分析分析：连接 AP，证 AP 平分BAC 即可，也就是证 P 到 AB、AC 的距离相等。图 1-4ABCDE图 2-1ABCDEF图 2-2ABCDE图 2-3PABCMNDF7（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。例例 1 1 已知：如图 3-1，BAD=DAC，ABAC,CDAD 于 D，H 是 BC 中点。求证：DH=（AB-AC）21分析分析：延长 CD 交 AB 于点 E，则可得全等三角形。问题可证。例例 2 2 已知：如图 3-2，AB=AC，BAC=90，AD 为ABC 的平分线，CEBE.求证：BD=2CE。分析分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例例 3 3已知：如图 3-3 在ABC 中，AD、AE 分别BAC 的内、外角平分线，过顶点 B 作 BFAD，交 AD 的延长线于 F，连结 FC 并延长交 AE 于 M。求证：AM=ME。分析分析：由 AD、AE 是BAC 内外角平分线，可得 EAAF，从而有 BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例例 4 4 已知：如图 3-4，在ABC 中，AD 平分BAC，AD=AB，CMAD 交 AD延长线于 M。求证：AM=（AB+AC）21分析分析：题设中给出了角平分线 AD，自然想到以AD 为轴作对称变换，作ABD 关于 AD 的对称AED图 图 3-1ABCDHE图 3-2DABEFC图 3-3DBEFNACM图 3-4nEBADCMF8，然后只需证 DM=EC，另外由求证的结果 AM=（AB+AC），即 2AM=AB+AC，也2121可尝试作ACM 关于 CM 的对称FCM，然后只需证 DF=CF 即可。三三 由线段和差想到的辅助线由线段和差想到的辅助线线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。例 1如图，AC 平分BAD，CEAB，且B+D=180，求证：AE=AD+BE。例 3 已知：如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，A=108，BD 平分ABC。求证：BC=AB+DC。例 4 如图，已知 RtABC 中，ACB=90，AD 是CAB 的平分线，DMAB于 M，且 AM=MB。求证：CD=DB。21DAECBDCBAMBDCA91如图，ABCD，AE、DE 分别平分BAD 各ADE，求证：AD=AB+CD。2.如图，ABC 中，BAC=90，AB=AC，AE 是过 A 的一条直线，且 B，C在 AE 的异侧，BDAE 于 D，CEAE 于 E。求证：BD=DE+CEEDCBA10四四 由中点想到的辅助线由中点想到的辅助线 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。（一）（一）、由中点应想到利用三角形的中位线、由中点应想到利用三角形的中位线例 2如图 3，在四边形 ABCD 中，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，BA、CD 的延长线分别交 EF 的延长线 G、H。求证：BGE=CHE。证明：连结 BD，并取 BD 的中点为 M，连结 ME、MF，ME 是 BCD 的中位线，MECD，MEF=CHE，MF 是 ABD 的中位线，MFAB，MFE=BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=MFE，从而BGE=CHE。（二）（二）、由中线应想到延长中线、由中线应想到延长中线例 3图 4，已知 ABC 中，AB=5，AC=3，连 BC 上的中线 AD=2，求 BC 的长。解：延长 AD 到 E，使 DE=AD，则 AE=2AD=22=4。在 ACD 和 EBD 中，AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，11ACDEBD，AC=BE，从而 BE=AC=3。在 ABE 中，因 AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90，BD=，故 BC=2BD=2。例 4如图 5，已知 ABC 中，AD 是BAC 的平分线，AD 又是 BC 边上的中线。求证：ABC 是等腰三角形。证明：延长 AD 到 E，使 DE=AD。仿例 3 可证：BEDCAD，故 EB=AC，E=2，又1=2，1=E，AB=EB，从而 AB=AC，即 ABC 是等腰三角形。（三）（三）、直角三角形斜边中线的性质、直角三角形斜边中线的性质例 5如图 6，已知梯形 ABCD 中，AB/DC，ACBC，ADBD，求证：AC=BD。证明：取 AB 的中点 E，连结 DE、CE，则 DE、CE 分别为 RtABD，RtABC斜边 AB 上的中线，故 DE=CE=AB，因此CDE=DCE。AB/DC，CDE=1，DCE=2，1=2，在 ADE 和 BCE 中，DE=CE，1=2，AE=BE，ADEBCE，AD=BC，从而梯形 ABCD 是等腰梯形，因此 AC=BD。12（四）（四）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线例 6如图 7，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BD 平分ABC 交 AC于点 D，CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。证明：延长 BA，CE 交于点 F，在 BEF 和 BEC 中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BEFBEC，EF=EC，从而 CF=2CE。又1+F=3+F=90，故1=3。在 ABD 和 ACF 中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。注：此例中 BE 是等腰 BCF 的底边 CF 的中线。（五）中线延长（五）中线延长口诀：口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。三角形中有中线，延长中线等中线。题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。1 如图，AB=CD，E 为 BC 的中点，BAC=BCA，求证：AD=2AE。3 如图，AB=AC，AD=AE，M 为 BE 中点，BAC=DAE=90。求证：AMDC。DMCDEDADBDBECDA13DCBAEDFCBA5已知：如图 AD 为ABC 的中线，AE=EF，求证：BF=AC 五五 全等三角形辅助线全等三角形辅助线（一）（一）、倍长中线（线段）造全等、倍长中线（线段）造全等1：（“希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.2：如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.3：如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.EDCBA中考应用ABDCEF14EDCBA例题：以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰 Rt和等腰 RtABCABD，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AMACE90,BADCAE 与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ABC，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰 Rt绕点 A 沿逆时针方向旋转(090)后，ABD如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由（二）（二）、截长补短、截长补短1.如图，中，AB=2AC，AD 平分ABC，且 AD=BD，求证：CDACBAC2：如图，ACBD，EA,EB 分别平分CAB,DBA，CD 过点 E，求证;ABAC+BDCDBA15DCBAPQCBA3：如图，已知在内，P，Q 分别在 BC，CAABCA060BAC040C上，并且 AP，BQ 分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPBACABC4：如图，在四边形 ABCD 中，BCBA,ADCD，BD 平分，求证：ABC0180CA5 516OEDCBA（三）（三）、借助角平分线造全等、借助角平分线造全等1：如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD2：（06 郑州市中考题）如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F.（1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=，AC=，求 AE、BE 的ab长.3.如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。EDGFCBA(第 23 题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图17NMEFACBAFEDCBA（四）（四）、旋转、旋转1：正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.2：D 为等腰斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。Rt ABC（1）当绕点 D 转动时，求证 DE=DF。MDN（2）若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。3.如图，是边长为 3 的等边三角形，是等腰三角形，ABCBDC且，以 D 为顶点做一个角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC0120BDC060于点 N，连接 MN，则的周长为 ；AMNBCDNMA4已知四边形中，ABCDABADBCCDABBC120ABC，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延60MBN MBNBADDC，长线）于EF，当绕点旋转到时（如图 1），易证MBNBAECFAECFEF当绕点旋转到时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结MBNBAECF论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的AECF，EF18数量关系？请写出你的猜想，不需证明5.已知:PA=,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在直线 AB2的两侧.(1)如图,当APB=45时,求 AB 及 PD 的长;(2)当APB 变化,且其它条件不变时,求 PD 的最大值,及相应APB 的大小.6.在等边的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为外ABCABCA一点，且,BD=DC.探究：当 M、N 分别在直线 AB、A60MDN120BDCC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及的周长 Q 与等边的周AMNABC长 L 的关系图 1 图 2 图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ；此时 ；LQ（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN19（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN=，则 Q=（用、L 表示）xx梯形中的辅助线梯形中的辅助线1 1、平移一腰：、平移一腰：例例 1.1.如图所示，在直角梯形 ABCD 中，A90，ABDC，AD15，AB16，BC17.求 CD 的长.解：解：过点 D 作 DEBC 交 AB 于点 E.又 ABCD，所以四边形 BCDE 是平行四边形.所以 DEBC17，CDBE.在 RtDAE 中，由勾股定理，得AE2DE2AD2，即 AE217215264.所以 AE8.所以 BEABAE1688.即 CD8.A AB BC CD DA AB BC CD DE E20例例 2 2 如图，梯形 ABCD 的上底 AB=3，下底 CD=8，腰 AD=4，求另一腰 BC 的取值范围。解：解：过点 B 作 BM/AD 交 CD 于点 M，在BCM 中，BM=AD=4，CM=CDDM=CDAB=83=5，所以 BC 的取值范围是：54BC54，即 1BC9。2 2、平移两腰：、平移两腰：例例 3 3 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，BC=90，AD=1，BC=3，E、F分别是 AD、BC 的中点，连接 EF，求 EF 的长。解：解：过点 E 分别作 AB、CD 的平行线，交 BC 于点 G、H，可得EGHEHG=BC=90则EGH 是直角三角形因为 E、F 分别是 AD、BC 的中点，容易证得 F 是 GH 的中点所以)(2121CHBGBCGHEF1)13(21)(21)(21)(21ADBCDEAEBCDEAEBC3 3、平移对角线：、平移对角线：例例 4 4、已知：梯形 ABCD 中，AD/BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形 ABCD 的面积解解：如图，作 DEAC，交 BC 的延长线于 E 点ADBC 四边形 ACED 是平行四边形ABDCEH21BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4在DBE 中，BD=3，DE=4，BE=5BDE=90作 DHBC 于 H，则512BEEDBDDH6251252DHBC)(ADABCD梯形S例例 5 5 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：A25CBD。解：解：过点 C 作 BD 的平行线交 AD 的延长线于点 E，易得四边形 BCED 是平行四边形，则 DE=BC，CE=BD=，25所以 AE=ADDE=ADBC=37=10。在等腰梯形 ABCD 中，AC=BD=，25所以在ACE 中，22222100)25()25(AECEAC从而 ACCE，于是 ACBD。例例 6 6 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，AC=15cm，BD=20cm，高 DH=12cm，求梯形 ABCD 的面积。解：解：过点 D 作 DE/AC，交 BC 的延长线于点 E，则四边形 ACED 是平行四边形，即。DCEACDABDSSS所以DBEABCDSS梯形22由勾股定理得2222DHACDHDEEH（cm）9121522（cm）1612202222DHBDBH所以，即梯形 ABCD 的面积是)(15012)169(21212cmDHBESDBE150cm2。（二）（二）、延长、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。例例 7 7 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，B=50，C=80，AD=2，BC=5，求 CD 的长。解：解：延长 BA、CD 交于点 E。在BCE 中，B=50，C=80。所以E=50，从而 BC=EC=5同理可得 AD=ED=2所以 CD=ECED=52=3例例 8.8.如图所示，四边形 ABCD 中，AD 不平行于 BC，ACBD，ADBC.判断四边形 ABCD 的形状，并证明你的结论.解：解：四边形 ABCD 是等腰梯形.证明：延长 AD、BC 相交于点 E，如图所示.ACBD，ADBC，ABBA，DABCBA.DABCBA.EAEB.又 ADBC，DECE，EDCECD.A AB BC CD DA AB BC CD DE E23而EEABEBAEEDCECD180，EDCEAB，DCAB.又 AD 不平行于 BC，四边形 ABCD 是等腰梯形.（三）（三）、作对角线、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。即通过作对角线，使梯形转化为三角形。例例 9 9 如图 6，在直角梯形 ABCD 中，AD/BC，ABAD，BC=CD，BECD 于点E，求证：AD=DE。解：解：连结 BD，由 AD/BC，得ADB=DBE；由 BC=CD，得DBC=BDC。所以ADB=BDE。又BAD=DEB=90，BD=BD，所以 RtBADRtBED，得 AD=DE。（四）（四）、作梯形的高、作梯形的高1 1、作一条高、作一条高例例 1010 如图，在直角梯形 ABCD 中，AB/DC，ABC=90，AB=2DC，对角线ACBD，垂足为 F，过点 F 作 EF/AB，交 AD 于点 E，求证：四边形 ABFE 是等腰梯形。24证：证：过点 D 作 DGAB 于点 G，则易知四边形 DGBC 是矩形，所以 DC=BG。因为 AB=2DC，所以 AG=GB。从而 DA=DB，于是DAB=DBA。又 EF/AB，所以四边形 ABFE 是等腰梯形。2 2、作两条高、作两条高例例 1111、在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=CD，ABC=60，AD=3cm，BC=5cm，求：(1)腰 AB 的长；(2)梯形 ABCD 的面积解：解：作 AEBC 于 E，DFBC 于 F，又ADBC，四边形 AEFD 是矩形，EF=AD=3cmAB=DCcmEFBCFCBE1)(21在 RtABE 中，B=60，BE=1cmAB=2BE=2cm，cmBEAE332342)(cmAEBCADSABCD梯形（五）（五）、作中位线、作中位线1 1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。例例 1313 如图，在梯形 ABCD 中，AB/DC，O 是 BC 的中点，AOD=90，求证：ABCD=AD。ABCDDEDFD25证：证：取 AD 的中点 E，连接 OE，则易知 OE 是梯形 ABCD 的中位线，从而 OE=（ABCD）21在AOD 中，AOD=90，AE=DE所以ADOE21由、得 ABCD=AD。2 2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。例例 1414 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，E、F 分别是 BD、AC 的中点，求证：（1）EF/AD；（2）。)(21ADBCEF证：证：连接 DF，并延长交 BC 于点 G，易证AFDCFG则 AD=CG，DF=GF由于 DE=BE，所以 EF 是BDG 的中位线从而 EF/BG，且BGEF21因为 AD/BG，ADBCCGBCBG所以 EF/AD，EF)(21ADBC 3 3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。题的目的。例例 1515、在梯形 ABCD 中，ADBC，BAD=900，E 是 DC 上的中点，连接 AE和 BE，求AEB=2CBE。解：解：分别延长 AE 与 BC，并交于 F 点BAD=900且 ADBC26FBA=1800BAD=900 又ADBCDAE=F(两直线平行内错角相等)AED=FEC （对顶角相等）DE=EC （E 点是 CD 的中点）ADEFCE （AAS）AE=FE在ABF 中FBA=900 且 AE=FE BE=FE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）在FEB 中 EBF=FEBAEB=EBF+FEB=2CBE例例 1616、已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，ABBC，E 是 CD 中点，试问：线段 AE 和 BE 之间有怎样的大小关系？解解：AE=BE，理由如下：延长 AE，与 BC 延长线交于点 FDE=CE，AED=CEF，DAE=FADEFCEAE=EFABBC，BE=AE例例 1717、已知：梯形 ABCD 中，AD/BC，E 为 DC 中点，EFAB 于 F 点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形 ABCD 的面积解：解：如图，过 E 点作 MNAB，分别交 AD 的延长线于 M 点，交 BC 于 N 点DE=EC，ADBCDEMCNE四边形 ABNM 是平行四边形EFAB，S梯形 ABCD=SABNM=ABEF=15cm2【模拟试题模拟试题】（答题时间：40 分钟）ABDCEFABCDEFMN272.如图所示，已知等腰梯形 ABCD 中，ADBC，B60，AD2，BC8，则此等腰梯形的周长为（）A.19B.20C.21D.22A AB BC CD D*8.如图所示，梯形 ABCD 中，ADBC，（1）若 E 是 AB 的中点，且 ADBCCD，则 DE 与 CE 有何位置关系？（2）E 是ADC 与BCD 的角平分线的交点，则 DE 与 CE 有何位置关系？A AB BC CD DE E28圆中作辅助线的常用方法：例题 1：如图 2，在圆 O 中，B 为的中点，BD 为 AB 的延长线，OAB=500，求CBD 的度数。解：如图，连结 OB、OC 的圆 O 的半径，已知OAB=500B 是弧 AC 的中点弧 AB=弧 BCAB=BC又OA=OB=OCAOBBOC（S.S.S）图 2OBC=ABO=500ABO+OBC+CBD=1800CBD=1800-500-500CBD=800答:CBD 的度数是 800.例题 2:如图 3,在圆 O 中,弦 AB、CD 相交于点 P，求证：APD 的度数=（弧 AD+弧 BC）的度数。21 证明：连接 AC，则DPA=C+AC 的度数=弧 AD 的度数21A 的度数=弧 BC 的度数21APD=（弧 AD+弧 BC）的度数。图 321 一、造直角三角形法一、造直角三角形法1.构成 Rt,常连接半径例 1.过O 内一点 M,最长弦 AB=26cm,最短弦 CD=10cm,求AM 长;2.遇有直径,常作直径上的圆周角例 2.AB 是O 的直径,AC 切O 于 A,CB 交O 于 D,过 D 作O 的切线,交 AC 于 E.求证:CE=AE;3.遇有切线,常作过切点的半径29ACBO1PCEBOAD例 3.割线 AB 交O 于 C、D,且 AC=BD,AE 切O 于 E,BF 切O 于 F.求证:OAE=OBF;4.遇有公切线,常构造 Rt(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长)例 4.小 O1与大O2外切于点 A,外公切线 BC、DE 分别和O1、O2切于点 B、C 和D、E，并相交于 P，P=60。求证：O1与O2的半径之比为 1：3；5正多边形相关计算常构造 Rt例 5.O 的半径为 6,求其内接正方形 ABCD 与内接正六边形 AEFCGH 的公共部分的面积.二、欲用垂径定理常作弦的垂线段二、欲用垂径定理常作弦的垂线段例 6.AB 是O 的直径,CD 是弦,AECD 于 E,BFCD 于 F.(1)求证:EC=DF;(2)若 AE=2,CD=BF=6,求O 的面积;三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形例 7.AB 是O 直径,弦 CDAB,M 是上一点,AM 延长线交 DC 延长线于 F.AAC求证:F=ACM;四、切线的综合运用四、切线的综合运用1已知过圆上的点，常_例 8.如图，已知：O1与O2外切于 P，AC 是过 P 点的割线交O1于 A，交O2于 C，过点 O1的直线 AB BC 于 B.求证：BC 与O2相切.六、开放性题目六、开放性题目例 17已知：如图，以的边为直径的交边于点，且过点的切线ABCABOAACDD平分边DEBC（1）与是否相切？请说明理由；BCOA（2）当满足什么条件时，以点，为顶点的四边形是平行四边形？ABCOBED并说明理由CEBOAD（第 23 题）