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四年级上册“钟面问题”详解
“大自然真是神奇，从来都给我们意想不到的答案。”——hcj0131
从四年级上册我们学到了人类是如何从实物记数、结绳记数、刻道记数发展到记数符号——数字的。虽然人们后来发现有二进制、八进制、十六进制等进位制，但人类与生俱来地适应了十进制——不过大自然给了我们许多例外，有音高的12进制、时间的60进制等等。“钟面问题”就是时间的多种进制在数学上的应用之一。
一、 研究“钟面问题”的基本知识
（一） 钟面的形状及角度
计时工具从古代的日晷（根据影子确定时间）、水钟、烧香计时，到现在的机械钟、石英钟、原子钟，虽然计时原理变化、时钟形状因为装饰而发生改变，但若是以指针表盘作为钟面，大都是圆形的。

人们将圆周平均分成360份，并规定每一份的大小称作1度，表示为1°。因此我们就有了周角360°、平角180°和直角90°的概念。而钟面被平均分成12个点钟，因此每两个整点数字刻度之间的夹角应该正好是360°÷12=30°。每两个整点数字刻度之间的夹角又被平均分成5份（每份是30°÷5=6°），因此整个钟面被平均分成5×12=60个刻度，正合每小时60分、每分钟60秒的进制，多么神奇！
（二） 指针运动（旋转）规律
钟面上一般有3种指针：秒针、分针和时针，三种指针都绕着同一个中心点按照顺时针作旋转运动。秒针每秒运行1个最小刻度，即旋转6°，分针每分钟运行1个最小刻度，即旋转6°，时针每小时运行一个整点刻度，即30°。
如果要统一这三种指针同一时间内运行的角度，将形成以下表格。

1秒钟
1分钟
1小时
1天
秒针
6°
360°
21600°
518400°
分针
0.1°或6’
6°
360°
8640°
时针
0.5’或30’’
0.5°或30’
30°
720°
其中，人们规定再将1°平均分成60份，每份为“1分”，记作“1’”；再将“1’”平均分成60份，每份为“1秒”，记作“1’’”——这个可与时间的“分、秒”有所不同——为了不导致混乱，我们尽量用°作单位来研究。
二、 不同类型的典型“钟面问题”
典型的钟面问题不考虑秒针（或是认为这时秒针在12点处，每一分都是完整的），简化了问题，只要求时针与分针的夹角。
（一） 整点的时针与分针夹角问题
不考虑24小时制（即将2点和14点——下午2点看做相同点钟），钟面上有12个整点，从1点整到12点整（也即0点整）。在这12个整点时，分针指向“12”，时针在各个整点上，因此时针与分针夹角为若干个30°。如：

但如果时针在7、8、9、10、11点，时针和分针的夹角有2个，我们一般计算不大于180°的那个（写210°也不是算错误的）。如：
7:00或19:00时，时针和分针夹角为7个整点，即30°×7=210°，但我们一般计算不大于180°的角，即360°－210°=150°。

（二） 半点的时针与分针夹角问题
不考虑24小时制，钟面上有12个半点，从1点半到12点半（也即0点半）。在这12个半点时，分针指向“6”，时针在两个整点中间（因为时针要随着分针运动而运动，分针走了半小时，时针也要走半小时），因此时针与分针夹角为若干个30°再加上1个半点30°÷2=15°。如：

0:30或12:30，时针和分针夹角为5又半个整点，即30°×5+30°÷2=165°，或者可以看作是平角还少半个整点，即180°－30°÷2=165°。

其实可以发现，整点、半点钟的夹角都是15°的倍数，正好是三角尺拼角的角度（请自己想象15°的各个倍数，各可以是几点钟）。
（三） 一般的时针与分针夹角问题
如果点钟不是整点和半点，就“比较麻烦”了，因为情况很多，但不变的规律是：分针走了一个小时（一周，即360°）的几分之几，时针也要走一个小时（一个点钟，即30°）的几分之几。因此，我们只要确定时针和分针各自的位置，再根据他们与指针“12”的角度之差就可以算出他们之间的夹角了。如：
3:24或15:24，时针在3点至4点之间，走了“1个小时的”（因为1个小时是60分钟，分针走了24分钟，时针也要走相应部分），即30°×=12°（也可以用表格中的数据来计算0.5°×24=12°），因此时针与指针“12”的夹角是30°×3+12°=102°，而分针与指针“12”的夹角是6°×24=144°，因此时针与分针的夹角是144°－102°=42°。

4:43或16:43，时针在4点至5点之间，与指针“12”的夹角是30°×4+0.5°×43=141.5°，而分针与指针“12”的夹角是6°×43=258°，因此时针与分针的夹角是258°－141.5°=116.5°

按照这个规律，我们可以分别用字母表示几点几分，来算出时针与分针的夹角。如设点钟为X（X范围在0至11）而分钟为Y（范围在00到59），则X点Y分时，时针与指针“12”夹角为30°×X+0.5°×Y，而分针与指针“12”夹角为6°×Y，它们之差为30°X－5.5°Y，即此时时针与分针夹角为|30°X－5.5°Y|（绝对值，如是负数则取其相反数）或这个角度与360°的差值。如：

如左图，8:16或20:16，时针与分针的夹角为30°×8－5.5°×16=240°－88°=152°。如右图，11:36或23:36，时针与分针的夹角为30°×11－5.5°×36=330°－198°=132°。

可以用这个“公式”来验证整点和半点的时针与分针夹角。
如果还要考虑秒针的位置，则道理相同，X：Y：Z点钟（即X点Y分Z秒）时，也有相应的“公式”：
X：Y：Z时，时针与指针“12”的夹角是30°X+0.5°Y+0.5’Z，分针与指针“12”的夹角是6°Y+0.1°Z，秒针与指针“12”的夹角是6°Z。
三、 其他“非典型钟面问题”
（一） 求一天有几次三针合一（时针、分针和秒针在同一位置）
有人会认为1点5分时时针与分针重合，但其实这时时针已经再走了一些。根据上面整理而成的公式30°X－5.5°Y可以很容易知道，当这个值是0的时候时针与分针重合。而其他值则需要用上面的公式来推导。
X：Y：Z时，时针与指针“12”的夹角是30°X+0.5°Y+0.5’Z，分针与指针“12”的夹角是6°Y+0.1°Z，秒针与指针“12”的夹角是6°Z。因此，这三个指针与指针“12”的夹角必须完全相同才算重合。而X取值只有0—11这12种情况，分别代入求得以下解：
方法：先都转化单位为°，统一消去，得方程组
1800X+30Y+0.5Z=360Y+6Z ①
360Y+6Z=360Z ②
由①可得1800X=330Y+5.5Z ③
由②可得360Y=354Z ④
由③④可得 1800X=330Z ⑤
将X=0，1，…，10，11代入⑤求得相应的Z，再用④求得相应的Y。

当X=0时，Y=0，Z=0，即0点0分0秒；
当X=1时，Y=5，Z=5，即1点5分5秒；
当X=2时，Y=10，Z=10，即2点10分10秒；
当X=3时，Y=16，Z=16，即3点16分16秒；
当X=4时，Y=21，Z=21，即4点21分21秒；
当X=5时，Y=26，Z=27，即5点26分27秒；
当X=6时，Y=32，Z=32，即6点32分32秒；
当X=7时，Y=37，Z=38，即7点37分38秒；
当X=8时，Y=42，Z=43，即8点42分43秒；
当X=9时，Y=48，Z=49，即9点48分49秒；
当X=10时，Y=53，Z=54，即10点53分54秒；
当X=11时，Y=58=59，Z=59=60，即11点59分60秒，也就是12点整，与0点0分0秒重合了。
因此，从0点0分0秒开始，每经过1小时5分5秒三针就重合一次，每12个点钟，时针、分针、秒针只重合11次，一天之内三针（头尾重复不计）只重合22次哦！
（二） 三针互相垂直的问题
来自百度知道：
http://zhidao.baidu./question/559159615.html?qbl=relate_question_3&word=%D6%D3%C3%E6%CE%CA%CC%E2
原题：
一昼夜中（24小时），是否存在这样的时刻，使得钟面上的时针、分针、秒针分别垂直（不包括重合），即三针中任意两针在一条直线上，另一针垂直于这条直线？
解法：这题也可以通过三个指针的位置关系来解决。
已知X：Y：Z时，时针与指针“12”的夹角是30°X+0.5°Y+0.5’Z，分针与指针“12”的夹角是6°Y+0.1°Z，秒针与指针“12”的夹角是6°Z。
当X在0至11时，Y都有2种情况使得分针与时针垂直（分别是分针与指针“12”夹角比时针与指针“12”夹角多90°和270°的情况），而相对应的Z又都有2种情况使得秒针与时针或分针垂直（分别是秒针与指针“12”的夹角比分针与指针“12”的夹角多90°或180°以及少90°或180°）。
而再细分一下发现，时针在不同位置时，分针与秒针与指针“12”的夹角公式可能会差一个周角，因此具体问题具体分析，结合图像来解答为宜（其实是觉得用绝对值的方法会把问题复杂化）。
当X=0时，时针在0到1之间，分针夹角有2种情况（比时针夹角多90°和270°），秒针夹角根据分针各有2种情况（分别是比分针多90°和180°，以及比分针少180°和少90°）。——用秒针和分针比较，因为两者公式相近，且不牵扯到X。
因此X=0就有4种情况（详见下面表格）。
由第一种，有：
30°X+0.5°Y+0.5’Z+90°=6°Y+0.1°Z （其中X=0）
6°Y+0.1°Z+90°=6°Z
解得X=0，Y=15，Z=31。即在0点15分31秒时“三针垂直”。

其他解法类似，解决过程略（有兴趣、有毅力的同学们可以借助计算器尝试一下）。得到如下表格。
时针在某整点之后（在下一整点之前）
分针夹角（比时针夹角）
秒针夹角（比分针夹角）
X
Y
Z
对应时间
0
多90°
多90°
0
15
31
0点15分31秒
0
多90°
多180°
0
15
46
0点15分46秒
0
多270°
少180°
0
48
19
0点48分19秒
0
多270°
少90°
0
48
34
0点48分34秒
1
多90°
多90°
1
21
36
1点21分36秒
1
多90°
多180°
1
20
51
1点20分51秒
1
多270°
少180°
1
54
24
1点54分24秒
1
多270°
少90°
1
53
39
1点53分39秒
2
多90°
多90°
2
26
42
2点26分42秒
2
多90°
多180°
2
26
57
2点26分57秒
2
多270°
少180°
2
59.5
30
2点59.5分30秒
2
多270°
少90°
2
59.25
45
2点59.25分45秒
算到这边，出现了一个问题。“2点59.5分30秒”和“2点59.25分45秒”秒针的指向非常精确，而同时的时针和分针却还差那么“一点”，是时间不可分割还是三个指针的角度公式有误？请大家继续解释，补充完善吧。
下面的部分类似，每3个点钟的情况相似。
时针在某整点之后（在下一整点之前）
分针夹角（比时针夹角）
秒针夹角（比分针夹角）
X
Y
Z
对应时间
3
多90°
多90°
3
31
47
3点31分47秒
3
多90°
少180°
3
32
2
3点32分2秒
3
少90°
多180°
3
-0.5
30
？2点59.5分30秒？
3
少90°
多270°
3
-0.75
45
？2点59.25分45秒？
4
多90°
多90°
4
37
53
4点37分53秒
4
多90°
少180°
4
38
8
4点38分8秒
4
少90°
多180°
4
4
35
4点4分35秒
4
少90°
多270°
4
4
50
4点4分50秒
5
多90°
多90°
5
42
58
5点42分58秒
5
多90°
少180°
5
43
13
5点43分13秒
5
少90°
多180°
5
10
40
5点10分40秒
5
少90°
多270°
5
9
55
5点9分55秒
可以发现，3点的2种情况正指向2点相应的2种情况，是完全相同的，因此产生的问题也一样。待解答。
接下来是6点到8点的部分。
时针在某整点之后（在下一整点之前）
分针夹角（比时针夹角）
秒针夹角（比分针夹角）
X
Y
Z
对应时间
6
少90°
少90°
6
16
1
6点16分1秒
6
少90°
多180°
6
15
46
6点15分46秒
6
多90°
少180°
6
48
19
6点48分19秒
6
多90°
少270°
6
49
4
6点49分4秒
7
少90°
少90°
7
21
6
7点21分6秒
7
少90°
多180°
7
20
51
7点20分51秒
7
多90°
少180°
7
54
24
7点54分24秒
7
多90°
少270°
7
54
9
7点54分9秒
8
少90°
少90°
8
27
12
8点27分12秒
8
少90°
多180°
8
26
57
8点26分57秒
8
多90°
少180°
8
59.5
30
8点59.5分30秒
8
多90°
少270°
8
59.75
15
8点59.75分15秒
同样的问题出现在8点多近9点时，这时的秒针应该也距离“30”和“15”差一点而不是正好在上面？
跳过同样的问题，继续9至11点的部分。
时针在某整点之后（在下一整点之前）
分针夹角（比时针夹角）
秒针夹角（比分针夹角）
X
Y
Z
对应时间
9
少90°
少90°
9
32
17
9点32分17秒
9
少90°
少180°
9
32
2
9点32分2秒
9
少270°
多90°
9
-0.25
15
？8点59.75分15秒？
9
少270°
多180°
9
-0.5
30
？8点59.5分30秒？
10
少90°
少90°
10
37
23
10点37分23秒
10
少90°
少180°
10
38
8
10点38分8秒
10
少270°
多90°
10
5
20
10点5分20秒
10
少270°
多180°
10
4
35
10点4分35秒
11
少90°
少90°
11
43
28
11点43分28秒
11
少90°
少180°
11
43
13
11点43分13秒
11
少270°
多90°
11
10
25
11点10分25秒
11
少270°
多180°
11
10
40
11点10分40秒
综上所述，一天之内有88次（不计首尾重复）时针、分针、秒针“互相垂直”（即三针中任意两针在一条直线上，另一针垂直于这条直线）。

（三） 其他待补充

Edited by hcj0131
2014年11月18日