空间向量的正交分解及其坐标表示.ppt

课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题题理解基底、基向量及向量的线性组合的概念理解基底、基向量及向量的线性组合的概念掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标的坐标3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示【课标要求课标要求】【核心扫描核心扫描】空间向量基本定理空间向量基本定理(重点重点)用基底表示已知向量用基底表示已知向量(难点难点)在不同坐标系中向量坐标的相对性在不同坐标系中向量坐标的相对性(易错点易错点)123123课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练空间向量基本定理空间向量基本定理定理：如果三个向量定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组，存在有序实数组(x，y，z)，使得，使得p_，其中，其中a，b，c叫做空间的一个叫做空间的一个_，a，b，c都叫做都叫做_试一试试一试：空间的基底是唯一的吗空间的基底是唯一的吗？提示提示由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因此不唯一此不唯一自学导引自学导引1xaybzc基底基底基向量基向量课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底：三个有公共起点单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向的两两垂直的单位向量量e1，e2，e3称为单位正交基底称为单位正交基底(2)空间直角坐标系：以空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点的公共起点O为原点，分为原点，分别以别以e1，e2，e3的方向为的方向为x轴，轴，y轴，轴，z轴的正方向建立空间轴的正方向建立空间直角坐标系直角坐标系Oxyz.2课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练xe1ye2ze3x，y，zp(x，y，z)课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练试一试：试一试：你能写出空间直角坐标系，坐标轴或坐标平面上你能写出空间直角坐标系，坐标轴或坐标平面上的向量的坐标吗？的向量的坐标吗？课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练基底的选择基底的选择为了简便，在具体问题中选择基底时要注意两个方面：一是为了简便，在具体问题中选择基底时要注意两个方面：一是所选的基向量能方便地表示其他向量；二是各基向量的模及所选的基向量能方便地表示其他向量；二是各基向量的模及其夹角已知或易求其夹角已知或易求选定基底后，各基向量的系数组成的有序实数组就是向量在选定基底后，各基向量的系数组成的有序实数组就是向量在该基底下的坐标同一基底下的向量运算可以简化为坐标进该基底下的坐标同一基底下的向量运算可以简化为坐标进行一般情况下，选的基底是单位正交基底行一般情况下，选的基底是单位正交基底空间向量的正交分解及其坐标表示的理解空间向量的正交分解及其坐标表示的理解(1)建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Oxyz.分别沿分别沿x轴、轴、y轴、轴、z轴的正方轴的正方向引单位向量向引单位向量i，j，k，则，则i，j，k叫做单位正交基底单位叫做单位正交基底单位向量向量i，j，k都叫做坐标向量都叫做坐标向量名师点睛名师点睛12课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练(2)在空间直角坐标系中，已知任一向量在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)使使aa1ia2ja3k，a1i，a2j，a3k分别为向量分别为向量a在在i，j，k方向上的分向量，有方向上的分向量，有序实数组序实数组(a1，a2，a3)叫做向量叫做向量a在此直角坐标系中的坐标，在此直角坐标系中的坐标，可记作可记作a(a1，a2，a3)(3)空间任一点空间任一点P的坐标的确定，如的坐标的确定，如图所示，过点图所示，过点P作面作面xOy的垂线，垂的垂线，垂足为足为P，在面，在面xOy中，过中，过P分别作分别作x轴、轴、y轴的垂线，垂足分别为轴的垂线，垂足分别为A，C，则，则|x|PC，|y|AP，|z|PP.课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练空间中一点空间中一点P(a，b，c)关于关于xOy面、面、xOz面、面、yOz面、面、x轴、轴、y轴、轴、z轴及坐标原点对称的点的坐标分别为轴及坐标原点对称的点的坐标分别为P1(a，b，c)，P2(a，b，c)，P3(a，b，c)，P4(a，b，c)，P5(a，b，c)，P6(a，b，c)，P7(a，b，c)课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练题型一题型一基底的判断基底的判断 若若a，b，c是空间的一个基底，判断是空间的一个基底，判断ab，bc，ca能否作为该空间的一个基底能否作为该空间的一个基底 思路探索思路探索 可先用反证法判断可先用反证法判断ab，bc，ca是否共面，是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则不能作为一个基底若不共面，则可作为一个基底，否则不能作为一个基底【例例1】课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练解解假设假设ab，bc，ca共面，则存在实数共面，则存在实数，使得使得ab(bc)(ca)，abba()c.a，b，c为基底，为基底，a，b，c不共面，不共面，课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练规律方法规律方法 判断三个向量判断三个向量a，b，c能否作为基底，关键是理能否作为基底，关键是理解基底的概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空解基底的概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底判断间向量的一个基底判断a，b，c三个向量是否共面，常三个向量是否共面，常用反证法，即判断三个向量是否满足用反证法，即判断三个向量是否满足abb，若满足，若满足则共面，若不满足则不共面则共面，若不满足则不共面课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练以下四个命题中正确的是以下四个命题中正确的是_空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；若若a，b，c为空间的一个基底，则为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；全不是零向量；如果向量如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有一定有a与与b共线；共线；任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底解析解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故向量来表示，故不正确；不正确；正确；由空间向量基本定理可正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故知只有不共线的两向量才可以做基底，故正确；空间向量正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故基底是由三个不共面的向量组成的，故不正确不正确答案答案【变式变式1】课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练题型题型二二用基底表示向量用基底表示向量【例例2】课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练规律方法规律方法 (1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向量空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是唯来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是唯一的；一的；(2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练【变式变式2】课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练 题型题型三三求空间向量的坐标求空间向量的坐标【例例3】课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练【题后反思题后反思】根据空间向量基本定理，任一向量都可表根据空间向量基本定理，任一向量都可表示为基向量的线性关系式三个基向量的对应系数即为向示为基向量的线性关系式三个基向量的对应系数即为向量在这个基底下的坐标所以，求向量的坐标，关键是灵量在这个基底下的坐标所以，求向量的坐标，关键是灵活应用基底表示该向量活应用基底表示该向量课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练【变式变式3】课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练误区警示误区警示坐标系建立不当致误坐标系建立不当致误【示示例例】课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练 在建系时应该注意，若图中没有建系的环境，在建系时应该注意，若图中没有建系的环境，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的图形环境则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的图形环境课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练单击此处进入单击此处进入 活页规范训练活页规范训练